Владимир 2002 год
Владимирский государственный университет, Кафедра общей и прикладной физики
Вступление
Символ интеграла введен с 1675г., а вопросами интегрального исчисления занимаются с 1696г. Хотя интеграл изучают, в основном, ученые–математики, но и физики внесли свой вклад в эту науку. Практически ни одна формула физики не обходится без дифференциального и интегрального исчислений. Поэтому, я и решила исследовать интеграл и его применение.
История интегрального исчисления
История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи на вычисление площадей. Латинское слово quadratura переводится как “придание квадратной формы”. Необходимость в специальном термине объясняется тем, что в античнoe время (и позднее, вплоть до XVIII столетия) еще не были достаточно развиты представления о действительных числах. Математики оперировали с их геометрическими аналогами или скалярными величинами, которые нельзя перемножать. Поэтому и задачи на нахождение площадей приходилось формулировать, например, так: «Построить квадрат, равновеликий данному кругу». (Эта классическая задача “о квадратуре круга” круга» не может, как известно, быть решена с помощью циркуля и линейки.)
Символ ò введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова summ a). Само слово интеграл придумал Я. Б е р у л л и (1690 г.) Вероятн о, оно происходит от латинского integro , которое переводится как приводи ь в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования восстанавливает функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно, происхождение термина инт грал иное: слово integer означает целый.
В современной литературе множество всех первообразных для функции f(х) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что в е первообразные функции отличаются на произвольн ю постоянн ю. b
называют определенным интегралом (обо начение ввел К. Фурье (1768-1830), но пределы интегрирования указывал уже Эй лер).
Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т. е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н.э.). С помощью этого метода Евдокс доказал, например, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров, а объем конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же основание и высоту.
Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом. Основные этапы, характеризующие метод Архимеда: 1) доказывается, что площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади любого вписанного; 2) доказывается, что при неограниченном удвоении числа сторон разность площадей этих многоугольн иков стремится к нулю; 3) для вычисления площади круга остается найти значение, к которому стремится отношение площади правильного многоугольника при неограниченном удвоении числа его сторон.
С помощью метода исчерпывания, целого ряда других остроумных соображений (в том числе с привлечением моделей механики) Архимед решил многие задачи. Он дал оценку числа p (3.10/71
Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. (Добавим, что практически и первые теоремы о пределах были доказаны им.) Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.
Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод - метод неделимых, который также зародился в Древней Греции (он связан в первую очередь с атомистическими воззрениями Демокрита). Например, криволинейную трапецию (рис. 1, а) они представляли себе составленной из вертика ьных отрезков длиной f(х), которым тем не менее приписывали площадь, равн ю бесконечно малой величине f(х) . В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме
бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме - нули, но нули особого рода, которые, сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.
На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер (1571-1630) в своих сочинениях “Новая астрономия”.
(1609 г.) и «Стереометрия винных бочек» (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например, площадь фигуры ограниченной эллипсом) и объемов (тело разрезалось на 6ecконечно тонкие пластинки). Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери (1598-1647) и Э.Торричелли (1608-1647). Сохраняет свое значение и в наше время сформулированный Б. Кавальери принцип, введенный им при некоторых дополнительных предположениях.
Пусть требуется найти площадь фигуры, изображенной на рисунке 1,б, где кривые, ограничивающие фигуру сверху и снизу, имеют уравнения y = f(x) и y=f(x)+c.
Представляя фигуру составленной из «неделимых», по терминологии Кавальери, бесконечно тонких столбиков, замечаем, что все они имеют общую длину с. Передвигая их в вертикальном направлении, можем составить из них прямоугольник с основанием b-а и высотой с. Поэтому искомая площадь равна площади полученного прямоугольника, т.е.
S = S1 = c (b – а).
Общий принцип Кавальери для площадей плоских фигур формулируется так: Пусть прямые некоторого пучка параллельных пересекают фигуры Ф1 и Ф2 по отрезкам равной длины (рис. 1,в). Тогда площади фигур Ф1 и Ф2 равны.
Аналогичный принцип действует в стереометрии и оказывается полезн м при нахождении объемов.
В XVII в. были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П.Ферма уже в 1629 г. задачу квадратуры любой кривой у = хn, где п - целое (т.е по существу вывел формулу ò хndx = (1/n+1)хn+1), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1630-1677), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функций в виде степенных рядов.
Однако при всей значимости результатов, полученных многими чрезвычайно изобретательными математиками XVII столетия исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно общий алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известным под названием формулы Ньютона - Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научится находить первообразные многих функций, дать логические нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.
Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М.В.Остроградский (1801-1862), В.Я.Буняковский (1804-1889), П.Л.Ч бышев (1821-1894). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.
Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке. Решение этой задачи связано с именами О.Коши, одного из крупнейших математиков, немецкого ученого Б.Римана (1826-1866), французского математика Г.Дарбу (1842-1917).
Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1838-1922) теории меры.
Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint
на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации:
Интеграл и его применение в жизни человека.
Цель: изучение и использование интеграла в деятельности человека. Задачи: узнать что такое интеграл; выявить все сферы деятельности человека где применяется интеграл;выяснить какое значение интеграл занимает в жизни человека.
Ученый, создавший интеграл.Евдокс Книдский. Дал полное доказательство теоремы об объёме пирамиды; теоремы о том, что площади двух кругов относятся как квадраты их радиусов. При доказательстве он использовал так называемый метод «исчерпывания» их радиусов. Через две тысячи лет метод «исчерпывания» был преобразован в метод интегрирования.
Что такое интеграл? Интеграл (от лат.Integer – целый) –интегралом называется величина, обратная дифференциалу функции. Многие физические и другие задачи сводятся к решению сложных дифференциальных или интегральных уравнений. Для этого необходимо знать, что представляют собой дифференциальное и интегральное исчисление.𝑓𝑥𝑑𝑥
Символ введен Готфрид Лейбницем (1675г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова summa). Само слово интеграл придумал Якоб Бернулли (1690 г.). Оно происходит от латинского integro, которое переводится как восстанавливать. Я. БернуллиГ. Лейбниц
Применение интеграла.
В геометрии.Площадь плоской фигуры.Определение: Фигура, ограниченная графиком непрерывной, знакопостоянной функции 𝑓(𝑥), осью абсцисс и прямыми 𝑥=𝑎, 𝑥=𝑏, называется криволинейной трапецией.Теорема. Если 𝑓(𝑥) непрерывная и неотрицательная функция на отрезке [𝑎;𝑏], то площадь соответствующей криволинейной трапеции равна определенному интегралу на этом отрезке.𝑆 =𝑎𝑏𝑓𝑥𝑑𝑥= 𝐹(𝑏)–𝐹(𝑎)
Объем фигур вращения.Тело, полученное в результате вращения плоской фигуры, относительно какой-то оси, называют фигурой вращения.Функция 𝑆(𝑥)𝑓(𝑥) фигуры вращения есть круг.𝑆сеч = 𝑟2 Sсеч(𝑥)=𝜋𝑓 2(𝑥)𝑉= 𝑎𝑏𝑓 2(𝑥)𝑑𝑥
В физике.Координаты центра масс.Центр масс – точка, через которую проходит равнодействующая сил тяжести при любом пространственном расположении тела. Пусть материальная однородная пластина имеет форму криволинейной трапеции 𝑥;𝑦 𝑎≤𝑥≤𝑏; 0≤𝑦≤𝑓(𝑥)} и функция 𝑦=𝑓(𝑥) непрерывна на [𝑎;𝑏], а площадь этой криволинейной трапеции равна 𝑆, тогда координаты центра масс пластины о находят по формулам:𝑥0 = 1𝑆 𝑎𝑏𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥; 𝑦0 = 12𝑆 𝑎𝑏𝑓 2(𝑥) 𝑑𝑥;
Работа силы 𝐴=𝐹𝑆𝑐𝑜𝑠, 𝑐𝑜𝑠 1. Если на частицу действует сила 𝐹, кинетическая энергия не остается постоянной. В этом случае согласно𝑑(𝑚2/2) = 𝐹𝑑𝑠приращение кинетической энергии частицы за время dt равно скалярному произведению 𝐹𝑑𝑠, где 𝑑𝑠 – перемещение частицы за время 𝑑𝑡. Величина𝑑𝐴=𝐹𝑑𝑠называется работой, совершаемой силой F.А = 𝑎𝑏𝑓𝑥𝑑𝑥
Путь, пройденный материальной точкой.Если материальная точка движется прямолинейно со скоростью 𝑣=𝑣(𝑡) и за время 𝑇= 𝑡2–𝑡1 (𝑡2>𝑡1) прошла путь 𝑆, то 𝑆=𝑡1𝑡2𝑣(𝑡)𝑑𝑡.
В экономикеВ курсе микроэкономики часто рассматривают так называемые предельные величины, т.е. для данной величины, представляемой некоторой функцией 𝑦 =𝑓(𝑥), рассматривают ее производную 𝑓′(𝑥). Например, если дана функция издержек С в зависимости от объема q выпускаемого товара 𝐶= 𝐶(𝑞), то предельные издержки будут задаваться производной этой функции МС=С′(q). Ее экономический смысл – это издержки на производство дополнительной единицы выпускаемого товара. Поэтому часто приходится находить функцию издержек по данной функции предельных издержек.
В биологииСредняя длина пролета.Нас интересует средняя длина пролета. Так как круг симметричен относительно любого своего диаметра, нам достаточно ограничиться лишь теми птицами, которые летят в каком-нибудь одном направлении, параллельном оси Оу. Тогда средняя длина пролета - это среднее расстояние между дугами АСВ и 𝐴𝐶1𝐵. Иными словами, это среднее значение функции 𝑓1𝑥−𝑓2𝑥, где 𝑦=𝑓1𝑥 – уравнение верхней дуги, а 𝑦=𝑓2𝑥 уравнение нижней дуги, т. е.𝐿=𝑎𝑏𝑓1𝑥−𝑓2𝑥𝑑𝑥𝑏−𝑎 Так как 𝑎𝑏𝑓1𝑥𝑑𝑥 равен площади криволинейной трапеции аАСВb, 𝑎𝑏𝑓2𝑥𝑑𝑥 равен площади криволинейной трапеции аА𝐶1Вb, то их разность равна площади круга, т. е. 𝜋𝑅2. Разность 𝑏−а равна 2R. Подставив это в 𝐿=𝑎𝑏𝑓1𝑥−𝑓2𝑥𝑑𝑥𝑏−𝑎 , получим: 𝐿=𝜋𝑅22𝑅=𝜋2𝑅
Cлайд 1
МКОУ «Большеатлымская средняя общеобразовательная школа» Тема: «Интеграл и его практическое применение» Сближение теории с практикой дает самые благоприятные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает, сами науки развиваются под влиянием ее. П. Л. ЧебышевCлайд 2
![](https://i0.wp.com/bigslide.ru/images/23/22680/389/img1.jpg)
Cлайд 3
![](https://i0.wp.com/bigslide.ru/images/23/22680/389/img2.jpg)
Cлайд 4
![](https://i0.wp.com/bigslide.ru/images/23/22680/389/img3.jpg)
Cлайд 5
![](https://i0.wp.com/bigslide.ru/images/23/22680/389/img4.jpg)
Cлайд 6
![](https://i0.wp.com/bigslide.ru/images/23/22680/389/img5.jpg)
Cлайд 7
![](https://i1.wp.com/bigslide.ru/images/23/22680/389/img6.jpg)
Cлайд 8
![](https://i1.wp.com/bigslide.ru/images/23/22680/389/img7.jpg)
Cлайд 9
![](https://i2.wp.com/bigslide.ru/images/23/22680/389/img8.jpg)
Cлайд 10
![](https://i1.wp.com/bigslide.ru/images/23/22680/389/img9.jpg)
Cлайд 11
![](https://i2.wp.com/bigslide.ru/images/23/22680/389/img10.jpg)
Cлайд 12
![](https://i0.wp.com/bigslide.ru/images/23/22680/389/img11.jpg)
Cлайд 13
![](https://i2.wp.com/bigslide.ru/images/23/22680/389/img12.jpg)
Cлайд 14
![](https://i0.wp.com/bigslide.ru/images/23/22680/389/img13.jpg)
Cлайд 15
![](https://i2.wp.com/bigslide.ru/images/23/22680/389/img14.jpg)
Cлайд 18
![](https://i2.wp.com/bigslide.ru/images/23/22680/389/img17.jpg)
Девиз урока: “Математика – язык, на котором говорят все точные науки” Н.И. Лобачевский
Цель урока: обобщить знания учащихся по теме “Интеграл”, “Применение интеграла”;расширить кругозор, знания о возможном применении интеграла к вычислению различных величин; закрепить навыки использовать интеграл для решения прикладных задач; прививать познавательный интерес к математике, развивать культуру общения и культуру математической речи; уметь учиться выступать перед учащимися и учителями.
Тип урока: повторительно-обобщающий.
Вид урока: урок – защита проекта “Применение интеграла”.
Оборудование: магнитная доска, плакаты “Применение интеграла”, карточки с формулами и заданиями для самостоятельной работы.
План урока:
1. Защита проекта:
- из истории интегрального исчисления;
- свойства интеграла;
- применение интеграла в математике;
- применение интеграла в физике;
2. Решение упражнений.
Ход урока
Учитель: Мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах является определенный интеграл – одно из основных понятий математического анализа. Геометрический смысл интеграла – площадь криволинейной трапеции. Физический смысл интеграла – 1) масса неоднородного стержня с плотностью, 2) перемещение точки, движущейся по прямой со скоростью за промежуток времени.
Учитель: Ребята нашего класса провели большую работу, они подобрали задачи, где применяется определенный интеграл. Им слово.
2 ученик: Свойства интеграла
3 ученик: Применение интеграла (на магнитной доске таблица).
4 ученик: Рассматриваем применение интеграла в математике для вычисления площади фигур.
Площадь всякой плоской фигуры,
рассматриваемая в прямоугольной системе
координат, может быть составлена из площадей
криволинейных трапеций, прилежащих к оси Ох
и
оси Оу.
Площадь криволинейной трапеции,
ограниченной кривой у = f(х),
осью Ох
и
двумя прямыми х=а
и х=b,
где а х b
, f(х) 0
вычисляется по формуле см. рис.
Если криволинейная трапеция
прилегает к оси Оу
, то её площадь вычисляется
по формуле
, см. рис.
При вычислении площадей
фигур могут представиться следующие случаи:
а)Фигура расположена над осью Ох и ограничена
осью Ох, кривой у=f(х) и двумя прямыми х=а и х=b.(См. рис.
) Площадь этой фигуры
находится по формуле 1 или 2. б) Фигура расположена
под осью Ох и ограничена осью Ох, кривой у=f(х) и
двумя прямыми х=а и х=b (см. рис.
).
Площадь находится по формуле
. в) Фигура расположена над и под
осью Ох и ограничена осью Ох, кривой у=f(х) и двумя
прямыми х=а и х=b(рис.
). г) Площадь
ограничена двумя пересекающимися кривыми у=f(х) и
у = (х) (рис.
)
5 ученик: Решим задачу
х-2у+4=0 и х+у-5+0 и у=0
7 ученик: Интеграл, широко применяющийся в физике. Слово физикам.
1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПУТИ, ПРОЙДЕННОГО ТОЧКОЙ
Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью за промежуток времени от до вычисляется по формуле .
Примеры:
1. Скорость движения точки м/с. Найти путь, пройденный
точкой за 4-ю секунду.
Решение: согласно условию, . Следовательно,
2. Два тела начали двигаться одновременно из
одной точки в одном направлении по прямой. Первое
тело движется со скоростью м/с, второе - со скоростью v =
(4t+5)
м/с. На каком расстоянии друг от друга они
окажутся через 5 с?
Решение: очевидно, что искомая величина есть разность расстояний, пройденных первым и вторым телом за 5 с:
3. Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью и = (39,2-9,8^) м/с. Найти наибольшую высоту подъема тела.
Решение: тело достигнет наибольшей высоты подъема в такой момент времени t, когда v = 0, т.е. 39,2-9,8t = 0, откуда I = 4 с. По формуле (1) на ходим
2. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ СИЛЫ
Работа, произведенная переменной силой f(х) при
перемещении по оси Ох
материальной точки от х
= а
до х=b,
находится по формуле При решении
задач на вычисление работы силы часто
используется закон Г у к а: F=kx, (3)
где F
-
сила Н; х
-абсолютное удлинение пружины, м,
вызванное силой F
, а k
-коэффициент
пропорциональности, Н/м.
Пример:
1. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м. Сила в 50 Н растягивает пружину на 0,01 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее от 0,22 до 0,32 м?
Решение: используя равенство (3), имеем 50=0,01k, т. е. kК = 5000 Н/м. Находим пределы интегрирования: а = 0,22 - 0,2 = 0,02 (м), b=0,32 - 0,2 = 0,12(м). Теперь по формуле (2) получим
3. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ, ПРОИЗВОДИМОЙ ПРИ ПОДНЯТИИ ГРУЗА
Задача. Цилиндрическая цистерна с радиусом основания 0,5 м и высотой 2 м заполнена водой. Вычислить работу, которую необходимо произвести, чтобы выкачать воду из цистерны.
Решение: выделим на глубине х горизонтальный слой высотой dх (рис. ). Работа А, которую надо произвести, чтобы поднять слой воды весом Р на высоту х, равна Рх.
Изменение глубины х на малую величину dх вызовет изменение объема V на величину dV = пr 2 dх и изменение веса Р на величину * dР = 9807 r 2 dх; при этом совершаемая работа А изменится на величину dА=9807пr 2 хdх. Проинтегрировав это равенство при изменении x от 0 до Н, получим
4. ВЫЧИСЛЕНИЕ СИЛЫ ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ
Значение силы Р давления жидкости на горизонтальную площадку зависит от глубины погружения х этой площадки, т. е. от расстояния площадки до поверхности жидкости.
Сила давления (Н) на горизонтальную площадку вычисляется по формуле Р =9807 S x,
где - плотность жидкости, кг/м 3 ; S - площадь площадки, м 2 ; х - глубина погружения площадки, м.
Если площадка, испытывающая давление жидкости, не горизонтальна, то давление на нее различно на разных глубинах, следовательно, сила давления на площадку есть функция глубины ее погружения Р (х).
5. ДЛИНА ДУГИ
Пусть плоская кривая АВ
(рис.)
задана уравнением у =f(x) (a
x
b),
причем f(x)
и f ?(x)
- непрерывные функции в промежутке [а,b]. Тогда
дифференциал dl
длины дуги АВ
выражается
формулой
или , а
длина дуги АВ
вычисляется по формуле (4)
где а и b-значения независимой
переменной х
в точках А и В. Если кривая
задана уравнением х =
(у)(с у
d),
то длина дуги АВ вычисляется по
формуле (5) где с
и д
значения независимой переменной у
в
точках А
и В.
6. ЦЕНТР МАСС
При нахождении центра масс пользуются следующими правилами:
1) Координата х? центра масс системы материальных точек А 1 , А 2 ,..., А n с массами m 1 , m 2 , ..., m n , расположенных на прямой в точках с координатами х 1 , х 2 , ..., х n , находятся по формуле
(*);
2) При вычислении координаты центра масс можно
любую часть фигуры заменить на материальную
точку, поместив ее в центр масс этой части, и
приписать ей массу, равную массе рассматриваемой
части фигуры. Пример. Пусть вдоль стержня-отрезка
[а;b] оси Ох - распределена масса плотностью (х), где (х) -
непрерывная функция. Покажем, что
а)
суммарная масса М стержня равна ; б) координата центра
масс х"
равна
.
Разобьем отрезок [а; b] на n равных
частей точками а= х 0 < х 1 < х 2 <
... <х n = b (рис.
). На каждом
из n этих отрезков плотность можно считать при
больших n постоянно и примерно равной (х k - 1)
на k-м отрезке (в силу непрерывности (х). Тогда масса k-ого
отрезка примерно равна
а масса всего стержня равна
Тема исследования
Применение интегрального исчисления в планировании расходов семьи
Актуальность проблемы
Все чаще в социальных и экономических сферах при вычислении степени неравенства в распределении доходов используется математика, а именно, интегральное исчисление. Изучая практическое применение интеграла мы узнаем:
- Как интеграл и вычисление площади с помощью интеграла помогает в распределении материальных затрат?
- Как интеграл поможет в накоплении денег на отпуск.
Цель
спланировать расходы семьи с использованием интегрального вычисления
Задачи
- Изучить геометрический смысл интеграла.
- Рассмотреть методы интегрирования в социальной и экономической сферах жизни.
- Составить прогноз материальных затрат семьи при ремонте квартиры с использованием интеграла.
- Рассчитать объем потребления энергии семьи на год с учетом интегрального исчисления.
- Расчитать сумму накопительного вклада в Сбербанк на отпуск.
Гипотеза
интегральное исчисление помогает в экономичных расчетах при планировании доходов и расходов семьи.
Этапы исследования
- Изучили геометрический смысл интеграла и методы интегрирования в социальной и экономической сферах жизни.
- Произвели расчет материальных затрат, необходимых при ремонте квартиры с помощью интеграла.
- Расчитали объем потребления электроэнегрии в квартире и затраты на электроэнергию семьи на год.
- Рассмотрели один из вариантов полонения доходов семьи через вклады в Сбербанк с помощью интеграла.
Объект исследования
инегральное исчисление в социальной и экономических сферах жизни.
Методы
- Анализ литературы по теме "Практическое применение интгрального исчисления"
- Изучение методов интегрирования при решении задач на вычисление площадей и объемов фигур с помощью интеграла.
- Анализ расходов и доходов семьи с помощью интегрального вычисления.
Ход работы
- Обзор литературы по теме "Практическое применение интегрального исчисления"
- Решение системы задач на вычисление площадей и объемов фигур с помощью интеграла.
- Расчет расходов и доходов семьи с помощью интегрального вычисления: ремонт комнаты, объем электроэнергии, вклады в Сбербанк на отпуск.
Наши результаты
Как интеграл и вычисление объема с помощью интеграла помогает в прогнозировании объемов потребления электроэнергии?
Выводы
- Экономический расчет необходимых средств при ремонте квартиры можно быстрее и более точно выполнить с помощью интегрального вычисления.
- Расход объемов электроэнергии семьи легче и быстрее рассчитать с помощью интегрального вычисления и программы Microsoft Office Excel, а значит прогнозировать затраты семьи на оплату электроэнергии на год.
- Прибыль от вкладов в сбербанк можно рассчитать с помощью интегрального вычисления, значит спланировать отпуск семьи.
Список ресурсов
Печатные издания:
- Учебник. Алгебра и начала анализа 10-11 класс. А.Г. Мордкович. Мнемозина. М: 2007
- Учебник. Алгебра и начала анализа 10-11 класс. А. Колмогоров Просвещение. М: 2007
- Математика для социологов и экономистов. Ахтямов А.М. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 464 с.
- Интегральное вычисление.Справочник по Высшей Математике М. Я. Выгодского, Просвещение, 2000