Решая задачи при помощи уравнений, мы искали, как правило, одно неизвестное. Но встречаются и задачи, где есть несколько неизвестных. Такие задачи принято решать посредством составления систем уравнений.
Навстречу друг другу из одного города в другой, расстояние между которыми составляет 30 км, едут два велосипедиста. Предположим, что если велосипедист 1 выедет на 2 ч раньше своего товарища, то они встретятся через 2,5 часа после отъезда велосипедиста 2; если же велосипедист 2 выедет 2мя часами ранее велосипедсита 1, то встреча произойдет через 3 часа после отъезда первого. С какой скоростью движется каждый велосипедист?
Решение.
1. Определим скорость велосипедиста 1 как х км/ч, а скорость велосипедиста 2 как у км/ч.
2. Если первый велосипедист выедет на 2 ч раньше второго, то, согласно условию, он будет ехать до встречи 4,5 ч, тогда как второй 2,5 часа. За 4,5 ч первый проедет путь 4,5х км, а за 2,5 ч второй проедет путь 2,5у км.
3. Встреча двух велосипедистов означает, что суммарно они проехали путь 30 км, т.е. 4,5х + 2,5 у = 30. Это и есть наше первое уравнение.
4. Если второй выедет на 2 ч раньше первого, то, согласно условию, он будет ехать до встречи 5 ч, тогда как первый – 3 ч. Используя рассуждения, аналогичные изложенным выше рассуждениям, приходим к уравнению:
5. Итак, мы получили систему уравнений
{4,5х + 2,5 у = 30,
{3х + 5у = 30.
6. Решив полученную систему уравнений, мы найдем корни: х = 5, у = 3.
Т.о., первый велосипедист едет со скоростью 5 км/ч, а второй – 3 км/ч.
Ответ: 5 км/ч, 3 км/ч.
Вкладчику на его сбережения через год было начислено 6 $ процентных денег. Добавив 44 $, вкладчик оставил деньги еще на год. По истечении года вновь было произведено начисление процентов, и теперь вклад вместе с процентами составил 257,5 $. Какая сумма составляла вклад первоначально и сколько процентов начисляет банк?
Решение.
1. Пусть х ($) – первоначальный вклад, а у (%) – это проценты, которые начисляются ежегодно.
2. Тогда к концу года к первоначальному вкладу добавится (у/100) ∙ х $.
Из условия получаем уравнение (ух/100) = 6.
3. По условию известно, что в конце года вкладчик внес еще 44 $, так что вклад в начале второго года составил х + 6 + 44, т.е. (х + 50) $. Таким образом, сумма, полученная к концу второго года с учетом начисления, равнялась (х + 50 + (у/100)(х + 50)) $. По условию эта сумма равна 275,5 $. Это позволило нам составить второе уравнение:
х + 50 + (у/100)(х + 50) = 257,5
4. Итак, мы получили систему уравнений:
{(ух/100) = 6,
{х + 50 + (у/100)(х + 50) = 257,5
После преобразования системы уравнений мы получим:
{ху = 600,
{100х + 50у + ху = 20750.
Решив систему уравнений, мы нашли два корня: 200 и 1,5. Только первое значение удовлетворяет нашему условию.
Подставим значение х в уравнение и найдем значение у:
если х = 200, то у = 3.
Таким образом, первоначальный вклад составлял 200 $, а банк в год производит начисление а размере 3 %.
Ответ: 200 $; 3 %.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Против течения
По течению
№ 1193. Математика 5 класс. Н.Я.Виленкин
? км/ч
? км/ч
№ 14.1
Расстояние между двумя пунктами по реке равно 80 км. Это расстояние лодка проплывает по течению реки за 4 часа, а против течения – за 5 часов. Найдите скорость катера по течению и против течения.
По течению
4(х+у)
5(х-у)
Ответ:
№ 14.4
Катер за 4 часа по течению реки проплывает на 10 км меньше, чем за 6 часов против течения. Найдите собственную скорость катера, если плот по этой же реке за 15 ч проплывает за 15 часов такое же расстояние, что и катер за 2 часа по озеру.
Против теч.
По течению
4(х+у)
на 10
6(х-у)
4(х+у) +10 =6(х-у)
4х+4у+10=6х-6у
4х-6х+4у+6у=-10
Ответ:
№ 14.10
Кол-во га
за 1 день
Кол-во
дней
Всего га
1 тракторист
2 тракторист
№ 14.10
- Два тракториста вспахали вместе 678 га. Первый тракторист работал 8 дней, а второй – 11 дней. Сколько га вспахивал за день каждый тракторист, если первый тракторист за каждые 3 дня вспахивал на 22 га меньше, чем второй за 4 дня?
Кол-во га
за 1 день
Кол-во
дней
Всего га
1 тракторист
на 22 га
меньше
2 тракторист
Ответ:
№ 14.5
Теплоход 120 км проходит за 5 часов против течения реки и 180 км за 6 часов по течению. Найдите скорость течения реки и собственную скорость теплохода.
По течению
6(х+у)
5(х-у)
Ответ:
№ 14.11
Кол-во ц
за 1 час
Кол-во
часов
Всего
бригада
бригада
№ 14.11
- Две бригады работали на уборке картофеля. В первый день одна бригада работала 2 часа, а вторая – 3 часа, причем ими было собрано 23 ц картофеля. Во второй день первая бригада за 3 часа работы собрала на 2 ц больше, чем вторая за 2 часа. Сколько центнеров картофеля собирала каждая бригада за 1 час работы?
Кол-во ц
за 1 час
Кол-во
часов
Всего
бригада
на 2 ц
больше
бригада
Ответ:
№ 14.7
х-1 число
у-2 число
3(х-у)=(х+у)+6
2(х-у)=(х+у)+9
Ответ:
№ 14.12
Кол-во т
за 1 рейс
Кол-во
рейсов
Всего
тонн
машина
машина
№ 14.12
- В первый день было вывезено 27 тонн зерна, причем одна машина сделала 4 рейса, а другая – 3 рейса. На следующий день вторая машина за 4 рейса перевезла на 11 тонн больше, чем первая машина за 3 рейса. Сколько тонн зерна перевозили на каждой машине за один рейс?
Кол-во т
за 1 рейс
Кол-во
рейсов
Всего
тонн
машина
на 11т
больше
машина
Ответ:
№ 14.14
Кол-во кг
в 1 ящике
Кол-во
ящиков
Всего
черешня
на 3 ящика
меньше
вишня
№ 14.14
- На рынке было закуплено 84 кг черешни и вишни, причем черешни куплено на 3 ящика меньше, чем вишни. Сколько ящиков черешни и вишни закуплено по отдельности, если в 1 ящике черешни 8 кг, а вишни 10 кг?
Кол-во кг
в 1 ящике
Кол-во
ящиков
Всего
черешня
вишня
Ответ:
№ 14.8
№ 14.25
№ 14.31
10 А +В- формула двузначного числа
А- число десятков, В - число единиц
Маслова С. В.
МГПИ им. М. Е. Евсевьева, каф. методики начального образования
Решение задач с помощью систем уравнений
В настоящее время изучение системы уравнений и решение задач с их помощью является прерогативой курса алгебры старших классов. В основном система уравнений рассматривается как два или несколько уравнений, в которых одни и те же буквы обозначают одни и те же числа. Приведем примеры некоторых видов задач, решаемых с помощью системы уравнений в курсе алгебры. В итоге решение системы уравнений сводится к решению одного квадратного уравнения. Особо обратим внимание на способ составления самой системы.
1. Задача с геометрическим содержанием : «Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, а его площадь 30 см 2 . Найти катеты».
Решение: Пусть катеты равны х и у сантиметрам. Используя теорему Пифагора и формулу площади прямоугольного треугольника, условие задачи запишем так:
Прибавляя к первому
уравнению системы второе, умноженное на 4, получаем: 
откуда 
или Так как х
и у
– положительные числа, то Из этого уравнения
выразим у
через х
и подставим в одно из уравнений системы, например во второе: 
Решим полученное
уравнение:
Подставляя эти
значения в формулу находим 
В обоих случаях один
из катетов равен 5 см,другой
12 см.
Ответ: катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см.
2. Задача с нумерационным содержанием : «При делении двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 6, а в остатке 4. При делении этого же числа на произведение его цифр в частном получается 2, а в остатке 16. Найти это число».
Решение: Пусть двузначное число будет записано как 10х+у. Используя правило о взаимодействии компонентов при делении с остатком, условие задачи запишем так:
Раскрыв скобки в первом уравнении, выразим из него значение у : Подставив значение у в первое уравнение системы, получим квадратное уравнение: - не удовлетворяет условию задачи.
Подставляя полученное значение в формулу находим
Ответ: двузначное число 64.
3. Задача на нахождение площади : «Участок прямоугольной формы нужно огородить забором длиной 1 км. Каковы должны быть длина и ширина участка, если его площадь равна 6 га?»
Решение: Пусть длина и ширина участка прямоугольной формы равны х и у метрам. Используя формулы нахождения периметра и площади прямоугольника, а также соотношения 1 км=1000 м и 1 га=10000 м, условие задачи запишем так:
Выразим из второго уравнения значение у : Подставив значение у в первое уравнение системы, получим квадратное уравнение:
Подставляя полученные
значения в формулу 
Ответ: длина и ширина участка 300 м и 200 м.
Если старшеклассники по условию задачи составляют систему уравнений, в процессе решения которой не фигурирует квадратное уравнение, то сама задача может быть решена и учащимися младших классов. Единственная программа, взявшая на себя смелость использовать системы уравнений в начальном курсе математики, это система развивающего обучения Л. В. Занкова. Рассмотрим некоторые примеры решения задач с помощью составления системы уравнений из начального курса математики.
1. Задача на движение : «Расстояние между городами 564 км. Навстречу друг другу из городов одновременно вышли поезда и встретились через 6 часов. Скорость одного поезда на 10 км больше скорости другого. Чему равна скорость каждого поезда?»
Решение: Пусть х км/ч - скорость первого поезда, а у км /ч – скорость второго поезда. По условию задачи поезда встретились через 6 часов. Тогда, 6х км - пройдёт до встречи первый поезд, 6у км - пройдёт до встречи второй поезд. Их встреча означает, что суммарно они прошли до встречи путь в 564 км, то есть 6х+6у=564 – первое уравнение.
Скорость первого поезда на 10 км/ч больше скорости второго, то есть, разность между скоростями равняется 10. Получим второе уравнение: х-у=10
Ответ: 52 км/ч, 42 км/ч.
2. Задача на уравнивание двух совокупностей : «На двух полках 84 книги. Если с одной полки снять 12 книг, то на обоих полках книг станет поровну. Сколько книг станет на каждой полке? А сколько было сначала?»
Решение: Пусть х книг – на первой полке, а у книг - на второй полке. По условию задачи на двух полках суммарно составляют 84 книги, то есть х+у=84 – первое уравнение.
Если с первой полки снять 12 книг, то количество книг на обоих полках будет поровну. Получим второе уравнение: х-12=у.
В итоге получим систему уравнений:
(книг) - было на первой полке.
84-48=36 (к.) - было на второй полке.
48-12=36 (к.) - станет на каждой полке.
Ответ: по 36 книг, 48 книг и 36 книг.
3. Задача на предположение : «У мальчика в коллекции есть жуки и пауки – всего 8 штук. Если пересчитать все ноги в коллекции. То их окажется 54. Сколько в коллекции жуков и сколько пауков?»
Решение: Пусть х – количество жуков, а у - количество пауков. Суммарно составляют 8 штук. Получим первое уравнение – х+у=8.
А так как у жука 6 ног, то ног всего будет 6х. У паука 8 ног, то 8у – это всего ног у паука. Суммарно составляют 54.Тогда приходим ко второму уравнению: 6х+8у=54.
Тема урока: «Решение уравнений с помощью систем»
Цель: научить решать уравнения с помощью систем.
Задачи:
Обучающиие.
Научить решать уравнения с помощью систем и закрепить эти знания
Развивающие.
Развитие операций мышления (обобщение, анализа, выделение существенного). Развитие внимания.
Развития навыков сотрудничества.
Воспитательные.
Воспитание сознательного отношения к изучению алгебры.
Воспитание стремления к самосовершенствованию.
Тип урока – комбинированный.
Ход урока
Ι.Мотивация к учебной деятельности.
Цель: организовать актуализацию требований к ученику со стороны учебной деятельности.
– Добрый день, ребята! Эпиграфом нашего урока будут слова – «В единстве наша сила».
Тема нашего урока «Решение уравнений с помощью систем. Как Вы думаете, чем мы будем заниматься на уроке? (Ответы обучающихся). Обобщим и закрепим полученные знания о решении уравнений с помощью систем.
ΙΙ. Проверка домашнего задания.
Цель: организовать актуализацию изученных способов действий, достаточных для построения нового знания.
Обменяйтесь, пожалуйста, тетрадями и проверьте, как выполнено задание друг у друга.
Продолжите предложение «Я знаю по данной теме …», «Я умею по данной теме….». Скажите чем отличаются понятия «знаю» и «умею»?
III . Выявление места и причины затруднения
Цель: организовать восстановление фиксацию места затруднения, соотнесение своих действий с используемыми эталонами – определить те знания и умения, которых недостаёт для решения исодной задачи.
Я предлагаю вам решить следующее уравнение
Скажите, пожалуйста, что мы называем уравнением? (Уравнением называется математическое соотношение, выражающее равенство двух алгебраических выражений)
Что означает решить уравнение? (Решить уравнение - значит найти все его корни, то есть те значения x , которые обращают уравнение в тождество, или доказать, что корней нет)
IV . Построение проекта выхода из затруднения
Цель: организовать построение проекта выхода из затруднения.
Как Вы думаете, что нужно сделать, чтобы решить это уравнение с помощью систем? (Возвести в квадрат) Правильно. Какой вы знаете способ решения этого уравнения? (Возможные варианты ответов: возвести в квадрат и сделать проверку, но при этом могут появиться лишние корни; нет, не можем). Нужно учесть, при решении этого уравнения, что правая часть его больше или равна 2.
Какое уравнение мы получили? (Квадратное). Предположите, ребята, можно ли правильно и грамотно решить уравнение сразу и целиком? (Нет) А если разбить его на составляющие части и решить по отдельности? (Да, можно) То есть мы можем сказать, что даже в уравнениях в единстве – сила. Подумайте и скажите, что является примером проявления единства и силы? (Ответы: во время войны люди едины).
Корни данного уравнения 3 и -23/7. Первый корень удовлетворяет неравенству х>2, а второй корень не удовлетворяет. Решением уравнения является только один корень. (Ответ х=3)
Ребята, сейчас при решении данного уравнения мы использовали теорему:
Этой теоремой мы будем пользоваться при решении подобных уравнений. Откройте пожалуйста учебник на странице 243. Прочитайте еще раз теорему.
V .Первичное закрепление.
Сейчас я предлагаю вам решить следующие уравнения.
Тем, кто занимается на «5» уравнение под номером один, остальным задание под номером 2.
(В тетрадях решение записывают все. На доске записывает решение один обучающийся. После решения открываю слайд с правильным ответом для задания под номером 1)
V . Самостоятельная работа с самопроверкой.
Цель: организовать самостоятельное выполнение обучающимися типовых заданий на новый способ действия.
Тест на компьютерах.
VI .Включение в систему знаний и повторение.
Цель: организовать выявление типов заданий, где используется новый способ.
Может вы уже где - то встречались с подобными уравнениями? (Это задание В5,
Итак, с чем мы с вами сегодня познакомились? Что вы узнали нового? (Ответы)
Сейчас я снова хочу обратиться к эпиграфу нашего урока «В единстве наша сила». Ребята, как вы думаете, почему к уроку я выбрала именно этот эпиграф? (Ответы обучающихся).
VII . Рефлексия учебной деятельности .
Цель: организовать оценивание обучающимися собственной деятельности на уроке.
«Ребята, продолжите, пожалуйста, фразу «На уроке мне удалось….» (Ответы обучающихся.)
VIII . Домашнее задание .
Уметь решать системы линейных уравнений это очень хорошо, но само по себе решение систем уравнение - это лишь метод для более сложных задач. С помощью систем уравнений можно решать различные задачи, которые встречаются нам в жизни.
Алгебра - это наука о решении уравнений и систем уравнений. Именно таким определением пользовались ученые к концу 20 века. Известный ученый Рене Декарт известен одним из своих трудов, который называют «Метод Декарта». Декарт положил, что любую задачу можно свести к математической, любую математическую задачу можно свести к алгебраической системе уравнений. А любую систему можно свести к решению одного уравнения.
К сожалению, Декарт не успел полностью закончить свой метод, написал не все его пункты, но идея очень хорошая.
И теперь и мы, подобно Декарту, будем решать задачи с помощью систем уравнений, конечно, не любые, а только те, которые можно свести к решению систем линейных уравнений.
Общая схема решения задачи с помощью систем уравнений
Опишем общую схему решения задач с помощью систем уравнений:
- 1. Для неизвестных величин вводим определенные обозначения и составляем систему линейных уравнений.
- 2. Решаем полученную систему линейных уравнений.
- 3. Использую введенные обозначения, записываем ответ.
Попробуем применить данную схему на конкретной задаче.
Известно что, два карандаша и три тетради стоят 35 рублей, а две тетради и три карандаша стоят 40 рублей. Необходимо выяснить, сколько стоят пять карандашей и шесть тетрадей.
Решение:
Нам необходимо найти, сколько стоит по отдельности один карандаш и одна тетрадь. Если такие данные у нас будут, то решить, сколько стоят пять карандашей и шесть тетрадей, не составит труда.
Обозначим за х цену одного карандаша в рублях. А у - цена одной тетради в рублях. Теперь внимательно читаем условие и составляем уравнение.
«два карандаша и три тетради стоят 35 рублей» значит
- 2*x+3*y = 35;
«две тетради и три карандаша стоят 40 рублей» следовательно
- 3*x+2*y = 40;
Получаем систему уравнений:
{2*x+3*y = 35;
{3*x+2*y = 40;
С первым пунктом покончено. Теперь необходимо решить полученную систему уравнений любым из известных способов.
Решив, получаем х=10, а y=5.
Вернувшись к исходным обозначениям имеем, цена одного карандаша 10 рублей, а цена одной тетрадки 5 рублей.
