Сэдвийн хичээл: "Ижил ба өөр илтгэгчтэй хүчийг үржүүлэх, хуваах дүрэм. Жишээ"
Нэмэлт материал
Эрхэм хэрэглэгчид, сэтгэгдэл, сэтгэгдэл, хүслээ үлдээхээ бүү мартаарай. Бүх материалыг вирусны эсрэг програмаар шалгасан.
7-р ангийн Integral онлайн дэлгүүрт заах хэрэгсэл, симуляторууд
Сурах бичгийн гарын авлага Ю.Н. Макарычевагийн сурах бичгийн гарын авлага А.Г. Мордкович
Хичээлийн зорилго: Тоонуудын хүчээр үйлдлүүдийг хийж сурах.
Эхлээд "тооны хүч" гэсэн ойлголтыг санацгаая. $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ хэлбэрийн илэрхийллийг $a^n$ хэлбэрээр илэрхийлж болно.
Мөн эсрэгээр нь үнэн: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.
Энэ тэгш байдлыг "зэрэглэлийг бүтээгдэхүүн болгон бүртгэх" гэж нэрлэдэг. Энэ нь хүчийг хэрхэн үржүүлж, хуваахыг тодорхойлоход тусална.
Санаж байна уу:
а- зэрэг олгох үндэслэл.
n– илтгэгч.
Хэрэв n=1, энэ нь тоо гэсэн үг Анэг удаа авсан бөгөөд үүний дагуу: $a^n= 1$.
Хэрэв n= 0, дараа нь $a^0= 1$.
Эрх мэдлийг үржүүлэх, хуваах дүрэмтэй танилцсаны дараа яагаад ийм зүйл болдгийг олж мэдэх боломжтой.
Үржүүлэх дүрэм
a) Хэрэв ижил суурьтай хүчийг үржүүлбэл.$a^n * a^m$ авахын тулд бид градусуудыг бүтээгдэхүүн болгон бичнэ: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a ) _(м)$.
Зураг нь тоог харуулж байна Аавсан n+mудаа, дараа нь $a^n * a^m = a^(n + m)$.
Жишээ.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.
Энэ өмч нь тоог илүү өндөр түвшинд хүргэх ажлыг хялбарчлахад тохиромжтой.
Жишээ.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.
b) Хэрэв суурь нь өөр өөр градустай боловч ижил илтгэгчийг үржүүлсэн бол.
$a^n * b^n$ авахын тулд бид градусуудыг бүтээгдэхүүн болгон бичнэ: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(м)$.
Хэрэв бид хүчин зүйлүүдийг сольж, үүссэн хосуудыг тоолвол $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$ болно.
Тэгэхээр $a^n * b^n= (a * b)^n$.
Жишээ.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.
Хуваалтын дүрэм
a) Зэрэглэлийн суурь нь ижил, үзүүлэлтүүд нь өөр.Бага илтгэгчтэй хүчийг хуваах замаар илүү том илтгэгчтэй хүчийг хуваах талаар бодож үзээрэй.
Тэгэхээр, бидэнд хэрэгтэй $\фрак(а^н)(а^м)$, Хаана н>м.
Зэрэглэлүүдийг бутархай хэлбэрээр бичье.
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.
Тохиромжтой болгох үүднээс бид хуваалтыг энгийн бутархай хэлбэрээр бичдэг.Одоо бутархайг багасгая.
Эндээс харахад: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
гэсэн үг, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.
Энэ өмч нь тоог тэг хүртэл өсгөх нөхцөл байдлыг тайлбарлахад тусална. Ингэж бодъё n=m, дараа нь $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.
Жишээ.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.
$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.
б) Зэрэглэлийн суурь нь өөр, үзүүлэлтүүд нь ижил байна.
$\frac(a^n)( b^n)$ шаардлагатай гэж үзье. Тоонуудын хүчийг бутархай болгон бичье.
$\frac(\underbrace(a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.
Тохиромжтой болгохын тулд төсөөлөөд үз дээ.
Бутархайн шинж чанарыг ашиглан бид том бутархайг жижиг хэсгүүдийн үржвэрт хуваана.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Үүний дагуу: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.
Жишээ.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.
Нэг суурьтай эрх мэдлийн хуваарилалт. Үржүүлэх шинж чанарт суурилсан зэрэглэлийн үндсэн шинж чанарыг ижил суурь ба натурал илтгэгчтэй гурав ба түүнээс дээш зэрэглэлийн үржвэрт нэгтгэж болно.
3.a-3 нь a0 = 1, хоёр дахь тоологч. Илүү төвөгтэй жишээн дээр үржүүлэх, хуваах үйлдлийг өөр өөр суурьтай, өөр илтгэгчтэй зэрэгцүүлэн гүйцэтгэх тохиолдол байж болно. Одоо тэдгээрийг тодорхой жишээн дээр авч үзээд нотлохыг хичээцгээе.
Ийнхүү бид ижил суурьтай хоёр хүчийг хуваахдаа тэдгээрийн илтгэгчийг хасах шаардлагатайг нотолсон. Тооны зэрэглэл тогтоогдсоны дараа зэрэглэлийн шинж чанарын талаар ярих нь логик юм.
Энд бид градусын бүх шинж чанаруудын нотолгоог өгөх бөгөөд жишээг шийдвэрлэхэд эдгээр шинж чанаруудыг хэрхэн ашиглахыг харуулах болно. Жишээ нь ам·ан=ам+н бутархайн үндсэн шинж чанарыг илэрхийллийг хялбарчлахдаа ихэвчлэн am+n=am·an хэлбэрээр ашигладаг. Зэрэглэлийн үндсэн шинж чанарыг баталгаажуулсан жишээг өгье. Энэ өмчийн нотолгоог танилцуулахын өмнө томъёолол дахь нэмэлт нөхцлийн утгыг авч үзье.
Байгалийн илтгэгчтэй зэрэглэлийн шинж чанарууд
Байгалийн илтгэгчээс цааш гарахгүйн тулд m>n нөхцөлийг оруулав. Үүссэн am−n·an=am тэгшитгэл ба үржүүлэх, хуваах хоорондын холболтоос am−n нь am ба an зэрэглэлийн хуваалт болно. Энэ нь ижил суурьтай хуваалтын хүчийг нотолж байна. Тодорхой болгохын тулд бид энэ өмчийг жишээгээр харуулах болно. Жишээлбэл, p, q, r, s аль ч натурал тоонуудын хувьд тэгш байдал нь үнэн юм. Илүү тодорхой болгохын тулд тодорхой тоонуудын жишээг өгье: (((5,2)3)2)5=(5,2)3+2+5=(5,2)10.
Мономиаль нэмэх, хасах
Энэ баримт болон үржүүлгийн шинж чанарууд нь аль ч тооны эерэг тоог үржүүлсний үр дүн нь эерэг тоо байх болно гэдгийг харуулж байна. a=0 бүхий эерэг бүхэл n тоонуудын хувьд a-ийн зэрэг нь тэг байх нь ойлгомжтой. Үнэхээр 0n=0·0·…·0=0. Жишээлбэл, 03=0 ба 0762=0. Зэрэглэлийн сөрөг суурь руу шилжье. Экспонент нь тэгш тоо байх тохиолдлоос эхэлье, үүнийг 2·m гэж тэмдэглэе, m нь натурал тоо.
Энэ үл хөдлөх хөрөнгийн нотолгоог үргэлжлүүлье. m>n ба 0-ийн хувьд өмчийн хоёрдугаар хэсгийг батлахад үлдлээ гэдгийг баталъя. Иймд am−an>0 ба am>an гэж нотлох шаардлагатай. Эдгээр шинж чанар бүрийг нотлох нь тийм ч хэцүү биш бөгөөд үүнийг хийхийн тулд натурал болон бүхэл тоон үзүүлэлт бүхий градусын тодорхойлолт, мөн бодит тоонуудтай үйлдлийн шинж чанаруудыг ашиглахад хангалттай.
Хэрэв p=0 бол (a0)q=1q=1 ба a0·q=a0=1, үүнээс (a0)q=a0·q байна. Үүнтэй ижил зарчмыг ашиглан та зэрэглэлийн бусад бүх шинж чанарыг тэгш байдлын хэлбэрээр бичсэн бүхэл тоон үзүүлэлтээр нотолж болно. Энэ тохиолдолд p 0 нөхцөл нь m 0 нөхцөлтэй тэнцүү байх болно.
Энэ тохиолдолд p>q нөхцөл нь ижил хуваагчтай энгийн бутархайг харьцуулах дүрмийн дагуу m1>m2 нөхцөлтэй тохирно. Үндэсний шинж чанаруудын эдгээр тэгш бус байдлыг мөн гэж дахин бичиж болно. Рационал экспонент бүхий зэрэглэлийн тодорхойлолт нь тэгш бус байдал руу шилжих боломжийг олгодог.
Логарифмын үндсэн шинж чанарууд
Хүч чадлын утгыг тооцоолохыг экспонентацийн үйлдэл гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл, хаалт агуулаагүй илэрхийллийн утгыг тооцоолохдоо эхлээд гурав дахь шат, дараа нь хоёр дахь (үржүүлэх, хуваах), эцэст нь эхний (нэмэх, хасах) үйлдлийг гүйцэтгэнэ. Үндэстэй үйлдлүүд.
Зэрэглэлийн тухай ойлголтыг өргөжүүлэх. Одоогийн байдлаар бид хүчийг зөвхөн натурал илтгэгчээр авч үзсэн боловч зэрэг болон язгууртай үйлдлүүд нь сөрөг, тэг, бутархай илтгэгчид хүргэж болно. Эдгээр бүх илтгэгчид нэмэлт тодорхойлолт шаарддаг. Хэрэв бид a m: a n=a m - n томъёог m = n-д хүчинтэй байлгахыг хүсвэл тэг зэрэглэлийн тодорхойлолт хэрэгтэй болно.
Ижил илтгэгчтэй тоонуудын хүчийг үржүүлэх. Дараа нь бид ижил суурьтай хүчийг хуваах теоремыг томъёолж, тайлбарлах асуудлыг шийдэж, теоремыг ерөнхий тохиолдолд нотлох болно. Одоо сөрөг хүчний тодорхойлолт руу шилжье. Тодорхойлолтоос томьёог үлдсэн шинж чанарууд руу орлуулах замаар та үүнийг хялбархан шалгаж болно. Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд: 49 = 7^2, 147 = 7^2 * 3^1 гэдгийг санаарай. Хэрэв та одоо хүч чадлын шинж чанарыг анхааралтай ашиглаж байгаа бол (хүчийг хүч болгон нэмэгдүүлэх үед илтгэгч ...
Өөрөөр хэлбэл, илтгэгчийг бодитоор хасдаг, харин илтгэгч нь хуваагчдаа хасах үзүүлэлттэй байдаг тул хасахыг хасахад нэмэх нь нэмэгдэж, илтгэгчүүд нь нэмэгддэг. Мономиаль гэж юу вэ, мономиалуудаар ямар үйлдлүүд хийж болохыг санацгаая. Мономиалыг стандарт хэлбэрт оруулахын тулд эхлээд бүх тоон хүчин зүйлийг үржүүлэх замаар тоон коэффициентийг олж авах ёстой бөгөөд дараа нь харгалзах хүчийг үржүүлэх хэрэгтэй гэдгийг санаарай.
Шинэ суурь руу шилжих
Энэ нь бид ижил төстэй ба ижил төстэй бус мономиалуудыг ялгаж сурах ёстой. Дүгнэлт хийцгээе: ижил төстэй мономиалууд нь ижил үсэгтэй байдаг бөгөөд ийм мономиалуудыг нэмж, хасаж болно.
Санал хүсэлтээ өгсөнд баярлалаа. Хэрэв танд манай төсөл таалагдсан бөгөөд үүнд туслах эсвэл оролцоход бэлэн байгаа бол төслийн талаарх мэдээллийг найз нөхөд, хамтран ажиллагсаддаа дамжуулаарай. Өмнөх видеон дээр мономиалтай жишээнүүдэд зөвхөн үржүүлэх боломжтой гэж хэлсэн: "Эдгээр илэрхийлэл болон өмнөх хэллэгүүдийн ялгааг олцгооё.
Математикийн нэгж болох мономиал гэдэг ойлголт нь зөвхөн тоо болон хувьсагчдыг үржүүлэхийг хэлдэг бөгөөд хэрэв өөр үйлдлүүд байвал илэрхийлэл нь мономиал байхаа болино. Гэхдээ үүнтэй зэрэгцэн мономиалуудыг хооронд нь нэмж, хасах, хуваах боломжтой... Логарифмыг ямар ч тооны нэгэн адил нэмэх, хасах, өөрчлөх боломжтой. Гэхдээ логарифм нь яг энгийн тоо биш учраас үндсэн шинж чанарууд гэж нэрлэгддэг өөрийн гэсэн дүрэмтэй байдаг.
Анхаарна уу: энд гол зүйл бол ижил үндэслэл юм. Хэрэв шалтгаан нь өөр бол эдгээр дүрэм ажиллахгүй болно! Логарифмыг нэмэх, хасах дүрмийн талаар ярихдаа тэдгээр нь зөвхөн ижил суурьтай ажилладаг гэдгийг би онцлон тэмдэглэв. Хоёрдахь томъёоноос харахад логарифмын суурь ба аргументыг сольж болох боловч энэ тохиолдолд илэрхийлэл бүхэлдээ "эргэв", өөрөөр хэлбэл. логарифм нь хуваагч дээр гарч ирнэ.
Өөрөөр хэлбэл, k хүчин зүйлийн үржвэрийн байгалийн n зэрэглэлийн шинж чанарыг (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn гэж бичнэ. Ижил үндэслэлтэй хүчийг нэмэх, хасах дүрэм байдаггүй. Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. 4. 2a4/5a3 ба 2/a4 илтгэгчийг багасгаж, нийтлэг хуваагч руу ав.
Арифметик үйлдэл бүр заримдаа бичихэд хэтэрхий төвөгтэй болж, үүнийг хялбарчлахыг хичээдэг. Нэгэн цагт нэмэх үйлдэлд ийм тохиолдол гарч байсан. Хүмүүс ижил төрлийн дахин нэмэлтийг хийх шаардлагатай байсан, жишээлбэл, нэг зуун перс хивсний өртөгийг тооцоолоход тус бүр нь 3 алтан зоос юм. 3+3+3+…+3 = 300. Тэмдэглэгээг нүсэр учраас 3 * 100 = 300 болгон богиносгохоор шийдсэн. Уг нь “зууг гурваар үржүүлсэн” гэсэн тэмдэглэгээ нь нэгийг авах шаардлагатай гэсэн үг юм. зуун гурвыг нэмээд тэдгээрийг нэгтгэнэ. Үржүүлэх нь баригдаж, нийтлэг алдартай болсон. Гэвч дэлхий зогсохгүй байгаа бөгөөд Дундад зууны үед ижил төрлийн олон дахин үржүүлэх хэрэгцээ гарч ирэв. Хийсэн ажлынхаа шагнал болгон улаан буудайн үр тариа өгөхийг хүссэн мэргэдийн тухай Энэтхэгийн эртний оньсого би санаж байна: шатрын тавцангийн эхний дөрвөлжинд нэг тариа, хоёр дахь нь хоёр, гурав дахь нь дөрөв, тав дахь нь - найм гэх мэт. Үр тарианы тоо нь эсийн тооны чадалтай хоёртой тэнцэж байсан тул хүч чадлын анхны үржвэр ийм байдлаар гарч ирэв. Жишээлбэл, сүүлчийн нүдэн дээр 2*2*2*...*2 = 2^63 ширхэг байх бөгөөд энэ нь 18 тэмдэгтийн урттай тэнцүү бөгөөд энэ нь үнэндээ оньсогоын утга юм.
Экспонентацийн ажиллагаа нэлээд хурдан хэрэгжиж, хүчийг нэмэх, хасах, хуваах, үржүүлэх хэрэгцээ маш хурдан гарч ирэв. Сүүлийнх нь илүү нарийвчлан авч үзэх нь зүйтэй юм. Хүч нэмэх томъёо нь энгийн бөгөөд санахад хялбар байдаг. Үүнээс гадна, эрчим хүчний үйл ажиллагаа нь үржүүлэх замаар солигдвол тэд хаанаас ирснийг ойлгоход маш хялбар байдаг. Гэхдээ эхлээд зарим үндсэн нэр томъёог ойлгох хэрэгтэй. a^b илэрхийлэл ("a"-ийн хүчийг "b-ийн хүчийг" уншина) нь a тоог өөртөө b дахин үржүүлэх ёстой гэсэн үг бөгөөд "a" нь чадлын суурь, "b" нь чадлын илтгэгч гэж нэрлэгддэг. Хэрэв градусын суурь нь ижил байвал томъёог маш энгийнээр гаргаж авсан болно. Тодорхой жишээ: 2^3 * 2^4 илэрхийллийн утгыг ол. Юу тохиолдохыг мэдэхийн тулд шийдлийг эхлүүлэхийн өмнө компьютер дээрх хариултыг олж мэдэх хэрэгтэй. Энэ илэрхийллийг дурын онлайн тооцоолуур, хайлтын системд оруулж, "өөр өөр суурьтай, ижил хүчин чадлын үржүүлэх" эсвэл математикийн багц гэж бичвэл үр дүн нь 128 болно. Одоо энэ илэрхийлэлийг бичье: 2^3 = 2*2*2, ба 2^4 = 2 *2*2*2. 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) болж байна. Ижил суурьтай хүчнүүдийн үржвэр нь өмнөх хоёр хүчний нийлбэртэй тэнцэх зэрэгт өргөгдсөн суурьтай тэнцүү байна.
Та үүнийг осол гэж бодож магадгүй, гэхдээ үгүй: өөр ямар ч жишээ энэ дүрмийг баталж чадна. Тиймээс ерөнхийдөө томъёо нь дараах байдалтай байна: a^n * a^m = a^(n+m) . Мөн тэг хүртэлх тоо нь нэгтэй тэнцүү гэсэн дүрэм бий. Энд бид сөрөг хүчний дүрмийг санах хэрэгтэй: a^(-n) = 1 / a^n. Өөрөөр хэлбэл, 2^3 = 8 бол 2^(-3) = 1/8 болно. Энэ дүрмийг ашигласнаар та a^0 = 1 тэгш байдлын үнэн зөвийг баталж чадна: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^( n) , a^ (n) -ийг багасгаж, нэг үлдэж болно. Эндээс ижил суурьтай зэрэглэлийн коэффициент нь ногдол ашиг ба хуваагчийн хуваагчтай тэнцүү зэрэгтэй тэнцүү байх дүрэм гарна: a^m = a^(n-m) . Жишээ нь: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) илэрхийллийг хялбарчлах. Үржүүлэх нь солигддог үйлдэл тул та эхлээд үржүүлэх илтгэгчийг нэмэх хэрэгтэй: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. Дараа нь та сөрөг хүчээр хуваагдах асуудлыг шийдэх хэрэгтэй. Ногдол ашгийн илтгэгчээс хуваагчийн илтгэгчийг хасах шаардлагатай: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. Сөрөг градуст хуваах үйлдэл нь ижил төстэй эерэг үзүүлэлтээр үржүүлэх үйлдэлтэй ижил байна. Тэгэхээр эцсийн хариулт 8 байна.
Эрх мэдлийн каноник бус үржүүлгийн жишээ байдаг. Өөр өөр суурьтай хүчийг үржүүлэх нь ихэвчлэн илүү хэцүү, заримдаа бүр боломжгүй байдаг. Янз бүрийн боломжит техникүүдийн зарим жишээг өгөх хэрэгтэй. Жишээ нь: илэрхийллийг хялбарчлах 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Өөр өөр суурьтай хүчийг үржүүлэх нь ойлгомжтой. Гэхдээ бүх суурь нь гурвын өөр өөр хүч гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. 9 = 3^2.1 = 3^4.3 = 3^5.9 = 3^6. (a^n) ^m = a^(n*m) дүрмийг ашиглан та илэрхийллийг илүү тохиромжтой хэлбэрээр дахин бичих хэрэгтэй: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7) -4+12 -10+6) = 3^(11) . Хариулт: 3^11. Өөр өөр суурьтай тохиолдолд a^n * b^n = (a*b) ^n дүрэм нь тэнцүү үзүүлэлтүүдэд ажилладаг. Жишээлбэл, 3^3 * 7^3 = 21^3. Үгүй бол суурь болон илтгэгч нь өөр бол бүрэн үржүүлэх боломжгүй. Заримдаа та компьютерийн технологийн тусламжийг хэсэгчлэн хялбарчилж эсвэл ашиглаж болно.
Хэрэв та тодорхой тоог хүч болгон өсгөх шаардлагатай бол ашиглаж болно. Одоо бид илүү нарийвчлан авч үзэх болно градусын шинж чанарууд.
Экспоненциал тооасар их боломжуудыг нээж өгдөг, тэдгээр нь үржүүлгийг нэмэлт болгон хувиргах боломжийг олгодог бөгөөд нэмэх нь үржүүлэхээс хамаагүй хялбар юм.
Жишээ нь: 16-г 64-өөр үржүүлэх хэрэгтэй.Энэ хоёр тоог үржүүлбэл 1024. Харин 16 нь 4х4, 64 нь 4х4х4 болно. Энэ нь 16-аас 64 = 4x4x4x4x4, энэ нь мөн 1024-тэй тэнцүү байна.
Мөн 16 тоог 2х2х2х2, 64-ийг 2х2х2х2х2х2 гэж илэрхийлж болох ба үржүүлбэл дахин 1024 болно.
Одоо дүрмийг ашиглая. 16=4 2, эсвэл 2 4, 64=4 3, эсвэл 2 6, нэгэн зэрэг 1024=6 4 =4 5, эсвэл 2 10.
Тиймээс бидний бодлыг өөр өөрөөр бичиж болно: 4 2 x4 3 =4 5 эсвэл 2 4 x2 6 =2 10, бид 1024-ийг авдаг.
Бид ижил төстэй хэд хэдэн жишээг шийдэж, тоонуудыг зэрэгтэй үржүүлэх нь хүртэл буурдаг болохыг харж болно илтгэгч нэмэх, эсвэл экспоненциал нь мэдээжийн хэрэг хүчин зүйлсийн суурь тэнцүү байх нөхцөлд.
Тиймээс үржүүлэхгүйгээр бид 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20 гэж шууд хэлж болно.
Энэ дүрэм нь тоонуудыг хүчээр хуваахдаа бас үнэн боловч энэ тохиолдолд хуваагчийн илтгэгчийг ногдол ашгийн илтгэгчээс хасна. Тиймээс 2 5:2 3 =2 2, энэ нь энгийн тоогоор 32:8 = 4, өөрөөр хэлбэл 2 2 байна. Дүгнэж хэлье:
a m x a n =a m+n, a m: a n =a m-n, энд m ба n нь бүхэл тоо.
Эхлээд харахад энэ нь тийм юм шиг санагдаж магадгүй юм Тоонуудыг үржүүлэх болон зэрэгт хуваахтийм ч тохиромжтой биш, учир нь эхлээд та тоог экспоненциал хэлбэрээр илэрхийлэх хэрэгтэй. 8 ба 16, өөрөөр хэлбэл 2 3 ба 2 4 гэсэн тоонуудыг энэ хэлбэрээр илэрхийлэх нь тийм ч хэцүү биш боловч 7 ба 17 тоогоор яаж хийх вэ? Эсвэл тоог экспоненциал хэлбэрээр илэрхийлж болох боловч тооны экспоненциал илэрхийллийн үндэс нь маш өөр байдаг тохиолдолд яах вэ. Жишээлбэл, 8х9 нь 2 3 x 3 2 бөгөөд энэ тохиолдолд илтгэгчийг нэгтгэж болохгүй. 2 5 ч, 3 5 ч биш, хариулт нь энэ хоёр тооны хоорондох зайд оршдоггүй.
Тэгвэл энэ аргыг огтхон ч зовоох нь зүйтэй болов уу? Энэ нь гарцаагүй үнэ цэнэтэй юм. Энэ нь ялангуяа нарийн төвөгтэй, цаг хугацаа шаардсан тооцооллын хувьд асар их ашиг тусыг өгдөг.
Шинжлэх ухаан, математикийн талаархи нийтлэлүүд
Ижил суурьтай эрх мэдлийн шинж чанарууд
Суурь болон натурал илтгэгчтэй ижил зэрэглэлийн гурван шинж чанар байдаг. Энэ
- Ажил нийлбэр
- Хувийнижил суурьтай хоёр зэрэглэл нь суурь нь ижил, илтгэгч нь ижил байх илэрхийлэлтэй тэнцүү байна ялгааанхны хүчин зүйлийн үзүүлэлтүүд.
- Тоог хүч болгон өсгөхсуурь нь ижил тоо, илтгэгч нь ижил байх илэрхийлэлтэй тэнцүү ажилхоёр градус.
Болгоомжтой байгаарай! холбоотой дүрэм нэмэх ба хасахижил суурьтай градус байдаггүй.
Эдгээр шинж чанаруудын дүрмийг томъёо хэлбэрээр бичье.
- а м? a n = a m+n
- а м? a n = a m–n
- (a m) n = a mn
Одоо тэдгээрийг тодорхой жишээн дээр авч үзээд нотлохыг хичээцгээе.
5 2 ? 5 3 = 5 5 - энд бид дүрмийг ашигласан; Одоо бид дүрмийг мэдэхгүй байсан бол энэ жишээг хэрхэн шийдэхээ төсөөлцгөөе.
5 2 ? 5 3 = 5? 5 ? 5 ? 5 ? 5 = 5 5 - тавын квадрат нь тавыг тав, шоо бол гурван тавын үржвэр юм. Үр дүн нь таван тавын үржвэр боловч энэ нь таваас тав дахь зэрэглэлээс өөр зүйл юм: 5 5 .
3 9 ? 3 5 = 3 9–5 = 3 4. Хуваалтыг бутархай болгон бичье.
Үүнийг богиносгож болно: 
Үүний үр дүнд бид: 
Ийнхүү бид ижил суурьтай хоёр хүчийг хуваахдаа тэдгээрийн илтгэгчийг хасах шаардлагатайг нотолсон.
Гэсэн хэдий ч хуваах үед хуваагч нь тэгтэй тэнцүү байж болохгүй (учир нь та тэгээр хувааж чадахгүй). Үүнээс гадна бид градусыг зөвхөн натурал илтгэгчээр авч үздэг тул илтгэгчийг хассаны үр дүнд 1-ээс бага тоог гаргаж чадахгүй.Тиймээс a m томьёо? a n = a m–n хязгаарлалт тавигдана: a ? 0 ба m > n.
Гурав дахь өмч рүү шилжье:
(2 2) 4 = 2 2?4 = 2 8
Үүнийг өргөтгөсөн хэлбэрээр бичье:
(2 2) 4 = (2 ? 2) 4 = (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? (2 ? 2) = 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 = 2 8
Та логик үндэслэлээр ийм дүгнэлтэд хүрч болно. Та хоёр квадратыг дөрөв дахин үржүүлэх хэрэгтэй. Гэхдээ квадрат бүрт хоёр хоёр байгаа нь нийт найман хоёр байх болно гэсэн үг юм.
Scienceland.info
Нэмэх, хасах дүрэм.
1. Нэр томъёоны газрыг өөрчлөх нь нийлбэрийг өөрчлөхгүй (нэмэлтийн солих шинж чанар)
13+25=38, дараах байдлаар бичиж болно: 25+13=38
2. Хэрэв зэргэлдээ нэр томъёог тэдгээрийн нийлбэрээр (нэмэлтийн ассоциатив шинж чанар) орлуулбал нэмэхийн үр дүн өөрчлөгдөхгүй.
10+13+3+5=31-ийг дараах байдлаар бичиж болно: 23+3+5=31; 26+5=31; 23+8=31 гэх мэт.
3. Нэгж нь нэг хүртэл, арав нь арав хүртэл гэх мэт.
34+11=45 (3 арав нэмэх 1 арав; 4 нэгж нэмэх 1 нэгж).
4. Нэгжээс нэгжийг, араваас аравыг хасна гэх мэт.
53-12=41 (3 нэгж хасах 2 нэгж; 5 арав хасах 1 арав)
Жич: 10 нь нэгийг арав болгоно. Үүнийг хасахдаа санаж байх ёстой, учир нь хэрвээ хасалтын нэгжийн тоо минуэндийнхаас их байвал бид минуэндээс нэг арав “зээлдэж” болно.
41-12 = 29 (2-оос 1-ийг хасахын тулд бид эхлээд арваас нэгийг "зээлдэх" хэрэгтэй, бид 11-2 = 9-ийг авна; бууруулж байгаа нь 1-ээс арав дутуу байх тул 3 арав үлдэнэ гэдгийг санаарай. 1 аравыг хасна.Хариулт 29).
5. Хоёр гишүүний нийлбэрээс аль нэгийг нь хасвал хоёр дахь гишүүн болно.
Энэ нь хасах аргыг ашиглан нэмэхийг шалгаж болно гэсэн үг юм.
Шалгахдаа нийлбэрээс нэг гишүүнийг хасна: 49-7=42 эсвэл 49-42=7
Хэрэв хасалтын үр дүнд та нөхцлүүдийн аль нэгийг хүлээн аваагүй бол таны нэмэхэд алдаа гарсан байна.
6. Хэрэв та зөрүү дээр хасагдахыг нэмбэл хасах утгыг авна.
Энэ нь хасахыг нэмэх замаар шалгаж болно гэсэн үг юм.
Шалгахын тулд зөрүү дээр хасахыг нэмнэ: 19+50=69.
Хэрэв дээр дурдсан процедурын үр дүнд та хасалтыг хүлээж аваагүй бол таны хасах үйлдэлд алдаа гарсан байна.
Рационал тоог нэмэх, хасах
Энэ хичээл нь рационал тоог нэмэх, хасах үйлдлийг авч үзнэ. Сэдвийг нарийн төвөгтэй гэж ангилдаг. Энд өмнө нь олж авсан мэдлэгийн бүх арсеналыг ашиглах шаардлагатай байна.
Бүхэл тоог нэмэх, хасах дүрэм нь рационал тоонуудад мөн хамаарна. Рационал тоонууд нь бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болох тоонууд гэдгийг санаарай a -энэ бол бутархайн тоо, бнь бутархайн хуваагч юм. Түүнээс гадна бтэг байх ёсгүй.
Энэ хичээлээр бид бутархай ба холимог тоог нэг нийтлэг хэллэгээр улам бүр нэрлэх болно. рационал тоо.
Хичээлийн навигаци:
Жишээ 1.Илэрхийллийн утгыг ол
Рационал тоо бүрийг тэмдгийн хамт хаалтанд оруулъя. Илэрхийлэлд өгөгдсөн нэмэх нь үйлдлийн тэмдэг бөгөөд бутархайд хамаарахгүй гэдгийг бид анхаарч үздэг. Энэ бутархай нь өөрийн нэмэх тэмдэгтэй бөгөөд үүнийг бичээгүйгээс үл үзэгдэх болно. Гэхдээ бид үүнийг тодорхой болгохын тулд бичих болно:
Энэ нь өөр өөр тэмдэгтэй рационал тоог нэмэх явдал юм. Өөр өөр тэмдэгт бүхий оновчтой тоонуудыг нэмэхийн тулд том модулиас жижигийг нь хасч, үр дүнгийн хариултыг модуль нь илүү байгаа тэмдгээр угтварлах хэрэгтэй. Аль модуль нь их, аль нь бага болохыг ойлгохын тулд та эдгээр бутархайн модулиудыг тооцоолохын өмнө харьцуулах чадвартай байх хэрэгтэй.
Рационал тооны модуль нь рационал тооны модулиас их байна. Тиймээс бид -ээс хассан. Бид хариулт авсан. Дараа нь энэ бутархайг 2-оор бууруулснаар бид эцсийн хариултыг авсан.
Хэрвээ хүсвэл тоонуудыг хаалтанд оруулах, модуль нэмэх зэрэг зарим энгийн үйлдлүүдийг алгасаж болно. Энэ жишээг товчхон бичиж болно:
Жишээ 2.Илэрхийллийн утгыг ол
Рационал тоо бүрийг тэмдгийн хамт хаалтанд оруулъя. Илэрхийлэлд өгөгдсөн хасах нь үйлдлийн шинж тэмдэг бөгөөд бутархайд хамаарахгүй гэдгийг бид анхаарч үздэг.
Энэ тохиолдолд бутархай нь үл үзэгдэх нэмэх тэмдэг бүхий эерэг оновчтой тоо юм. Гэхдээ бид үүнийг тодорхой болгохын тулд бичих болно:
Хасалтыг нэмэхээр орлуулъя. Үүнийг хийхийн тулд та хасалтын хасах хэсэгт эсрэг тоог нэмэх хэрэгтэй гэдгийг сануулъя.
Бид сөрөг рационал тоонуудын нэмэгдлийг олж авлаа. Сөрөг оновчтой тоонуудыг нэмэхийн тулд та тэдгээрийн модулиудыг нэмж, үр дүнгийн хариултын өмнө хасах тэмдэг тавих хэрэгтэй.
Жишээ 3.Илэрхийллийн утгыг ол
Энэ илэрхийлэлд бутархайнууд өөр өөр хуваагчтай байна. Даалгавраа хөнгөвчлөхийн тулд эдгээр бутархайг ижил (нийтлэг) хуваагч болгон бууруулъя. Бид энэ талаар дэлгэрэнгүй ярихгүй. Хэрэв танд хүндрэлтэй байгаа бол бутархай тоогоор ажиллах хичээл рүү буцаж очоод давтана уу.
Бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруулсны дараа илэрхийлэл дараах хэлбэрийг авна.
Энэ нь өөр өөр тэмдэгтэй рационал тоог нэмэх явдал юм. Бид том модулиас жижиг модулийг хасч, үр дүнгийн хариултын өмнө модуль нь том байх тэмдгийг тавьдаг.
Жишээ 4.Илэрхийллийн утгыг ол
Бид гурван гишүүний нийлбэрийг авсан. Эхлээд илэрхийллийн утгыг олъё, дараа нь гарсан хариулт дээр нэмнэ үү
Эхний үйлдэл:
Хоёр дахь үйлдэл:
Тиймээс илэрхийллийн утга нь тэнцүү байна.
Энэ жишээний шийдлийг товч бичиж болно
Жишээ 5. Илэрхийллийн утгыг ол
Тоо бүрийг тэмдгийнх нь хамт хаалтанд оруулъя. Үүнийг хийхийн тулд холимог тоог түр хугацаанд өргөжүүлье
Бүхэл хэсгүүдийг тооцоолъё:
Үндсэн илэрхийлэлд оронд нь 
Үр дүнгийн нэгжийг бичье:
Үүссэн илэрхийлэлийг нураацгаая. Үүнийг хийхийн тулд хашилтыг орхиж, нэгж ба бутархайг хамт бичнэ
Энэ жишээний шийдлийг товчоор бичиж болно:
Жишээ 6.Илэрхийллийн утгыг ол
Холимог тоог буруу бутархай болгон хөрвүүлье. Үлдсэнийг нь дараах байдлаар дахин бичье.
Рационал тоо бүрийг тэмдгүүдийн хамт хаалтанд оруулъя.
Хасалтыг нэмэхээр орлуулъя:
Бид сөрөг рационал тоонуудын нэмэгдлийг олж авлаа. Эдгээр тоонуудын модулиудыг нэмж, хариултын өмнө хасах тэмдэг тавьцгаая.
Тиймээс илэрхийллийн утга нь .
Энэ жишээний шийдлийг товчоор бичиж болно:
Жишээ 7.Илэрхийллийн утгыг ол
Холимог тоог өргөтгөсөн хэлбэрээр бичье. Үлдсэнийг нь байгаагаар нь дахин бичье.
Бид оновчтой тоо бүрийг тэмдгүүдийн хамт хаалтанд оруулдаг
Боломжтой бол хасахыг нэмэхээр сольж үзье.
Бүхэл хэсгүүдийг тооцоолъё:
Үндсэн илэрхийлэлд гарсан тоог бичихийн оронд?7
Илэрхийлэл нь холимог тоог бичих өргөтгөсөн хэлбэр юм. 7 тоо ба бутархайг хамтад нь бичээд хариултыг шууд бичиж болно (энэ бутархайн хасахыг нуух)
Тэгэхээр илэрхийллийн утга нь байна
Энэ жишээний шийдлийг илүү богино хугацаанд бичиж болно. Хэрэв бид зарим нарийн ширийн зүйлийг алгасах юм бол дараах байдлаар бичиж болно.
Жишээ 8.Илэрхийллийн утгыг ол
Энэ илэрхийллийг хоёр аргаар тооцоолж болно. Тэдгээрийг тус бүрээр нь харцгаая.
Эхний арга.Илэрхийллийн бүхэл ба бутархай хэсгүүдийг тусад нь үнэлдэг.
Эхлээд холимог тоонуудыг өргөтгөсөн хэлбэрээр бичье.
Тоо бүрийг тэмдгүүдийн хамт хаалтанд оруулъя.
Боломжтой бол хасахыг нэмэхээр сольж үзье.
Бид хэд хэдэн нэр томъёоны нийлбэрийг авсан. Нэмэлт нэмэх хуулийн дагуу хэрэв илэрхийлэл нь хэд хэдэн нэр томъёог агуулж байвал нийлбэр нь үйлдлийн дарааллаас хамаарахгүй. Энэ нь бүхэл болон бутархай хэсгүүдийг тусад нь бүлэглэх боломжийг бидэнд олгоно.
Бүхэл хэсгүүдийг тооцоолъё:
Үндсэн илэрхийлэлд гарсан тоог бичихийн оронд?3
Бутархай хэсгүүдийг тооцоолъё:
Үндсэн илэрхийлэлд үүссэн холимог тоог бичихийн оронд
Үүссэн илэрхийлэлийг үнэлэхийн тулд та холимог тоог түр өргөжүүлж, дараа нь тоо бүрийн эргэн тойронд хаалт хийж, хасахыг нэмэх замаар солих хэрэгтэй. Нэр томъёоны шинж тэмдгийг төөрөгдүүлэхгүйн тулд үүнийг маш болгоомжтой хийх хэрэгтэй.
Илэрхийллийг хувиргасны дараа бид тооцоолоход хялбар шинэ илэрхийлэлтэй болсон. Үүнтэй төстэй илэрхийлэл нь жишээ 7-д байсан. Бид бүхэл хэсгүүдийг тусад нь нэмж, бутархай хэсгийг дараах байдлаар үлдээснээ эргэн санацгаая.
Тэгэхээр илэрхийллийн утга нь байна
Энэ жишээний шийдлийг товч бичиж болно
Богино шийдэл нь тоонуудыг хаалтанд оруулах, хасах үйлдлийг нэмэх, модуль нэмэх зэрэг алхмуудыг алгасдаг. Хэрэв та сургууль эсвэл өөр боловсролын байгууллагад сурч байгаа бол цаг хугацаа, орон зайг хэмнэхийн тулд эдгээр энгийн үйлдлүүдийг алгасах шаардлагатай болно. Дээрх богино шийдлийг бүр ч богино бичиж болно. Энэ нь дараах байдлаар харагдах болно.
Тиймээс, та сургууль эсвэл өөр боловсролын байгууллагад байхдаа зарим үйлдлийг оюун ухаандаа хийх ёстой гэдэгт бэлэн байгаарай.
Хоёр дахь арга зам.Холимог тооны илэрхийлэлийг буруу бутархай болгон хувиргаж, энгийн бутархай шиг тооцдог.
Рационал тоо бүрийг тэмдгүүдийн хамт хаалтанд оруулъя
Хасалтыг нэмэхээр орлуулъя:
Одоо холимог тоонуудыг буруу бутархай болгон хөрвүүлье:
Бид сөрөг рационал тоонуудын нэмэгдлийг олж авлаа. Тэдний модулиудыг нэмж, хариултын өмнө хасах тэмдэг тавьцгаая.
Бид өнгөрсөн удаад адилхан хариулт авсан.
Хоёрдахь аргын нарийвчилсан шийдэл нь дараах байдалтай байна.
Жишээ 9.Илэрхийллийн илэрхийллийг ол 
Эхний арга.Бүхэл ба бутархай хэсгүүдийг тус тусад нь нэмье.
Энэ удаад бид илэрхийлэлийг өргөтгөсөн хэлбэрээр бичих, тоонуудыг хаалтанд оруулах, хасах үйлдлийг нэмэхээр солих, модуль нэмэх зэрэг энгийн үйлдлүүдийг алгасахыг хичээх болно.
Бутархай хэсгүүдийг нийтлэг хуваагч болгон бууруулсан болохыг анхаарна уу.
Хоёр дахь арга зам.Холимог тоог буруу бутархай болгон хувиргаж, энгийн бутархай шиг тооцоолъё.
Жишээ 10.Илэрхийллийн утгыг ол 
Хасалтыг нэмэхээр орлуулъя:
Үүссэн илэрхийлэл нь сөрөг тоо агуулаагүй бөгөөд энэ нь алдааны гол шалтгаан болдог. Сөрөг тоо байхгүй тул бид хасалтын өмнөх нэмэхийг хасч, хашилтыг ч хасаж болно. Дараа нь бид тооцоолоход хялбар хамгийн энгийн илэрхийлэлийг олж авна.
Энэ жишээнд бүхэл ба бутархай хэсгүүдийг тусад нь тооцсон.
Жишээ 11.Илэрхийллийн утгыг ол
Энэ нь өөр өөр тэмдэгтэй рационал тоог нэмэх явдал юм. Том модулиас жижигийг нь хасаад гарсан тооны өмнө модуль нь их байх тэмдгийг тавь.
Жишээ 12.Илэрхийллийн утгыг ол 
Илэрхийлэл нь хэд хэдэн параметрээс бүрдэнэ. Үйлдлийн дарааллын дагуу та эхлээд хаалтанд байгаа үйлдлүүдийг хийх хэрэгтэй.
Эхлээд бид илэрхийлэлийг тооцоолж, дараа нь гарсан хариултуудыг нэмнэ.
Эхний үйлдэл:
Хоёр дахь үйлдэл:
Гурав дахь үйлдэл:
Хариулт:илэрхийллийн утга тэнцүү байна
Жишээ 13.Илэрхийллийн утгыг ол 
Хасалтыг нэмэхээр орлуулъя:
Өөр өөр тэмдэгтэй рационал тоог нэмэх замаар олж авна. Том модулиас жижгийг хасаад хариултын өмнө модуль нь том байх тэмдгийг тавья. Гэхдээ бид холимог тоотой харьцаж байна. Аль модуль их, аль нь бага болохыг ойлгохын тулд эдгээр холимог тоонуудын модулийг харьцуулах хэрэгтэй. Холимог тоонуудын модулиудыг харьцуулахын тулд тэдгээрийг буруу бутархай болгон хувиргаж, энгийн бутархайтай харьцуулах хэрэгтэй.
Дараах зурагт холимог тоонуудын модулиудыг харьцуулах бүх үе шатыг харуулав
Аль модуль нь том, аль нь жижиг болохыг олж мэдээд бид жишээгээ үргэлжлүүлэн тооцоолж болно.
Тиймээс илэрхийллийн утга тэнцүү байна
Аравтын бутархайг нэмэх, хасах үйлдлийг авч үзье, тэдгээр нь мөн рационал тоонд хамаарах бөгөөд эерэг ба сөрөг аль аль нь байж болно.
Жишээ 14.Илэрхийллийн утгыг ол?3.2 + 4.3
Рационал тоо бүрийг тэмдгийн хамт хаалтанд оруулъя. Илэрхийлэлд өгөгдсөн нэмэх нь үйлдлийн тэмдэг бөгөөд аравтын бутархай 4.3-д хамаарахгүй гэдгийг бид анхаарч үздэг. Энэ аравтын бутархай өөрийн гэсэн нэмэх тэмдэгтэй бөгөөд энэ нь бичигдээгүйн улмаас үл үзэгдэх юм. Гэхдээ бид үүнийг тодорхой болгохын тулд бичих болно:
Энэ нь өөр өөр тэмдэгтэй рационал тоог нэмэх явдал юм. Өөр өөр тэмдэгт бүхий оновчтой тоонуудыг нэмэхийн тулд том модулиас жижигийг нь хасч, үр дүнгийн хариултыг модуль нь илүү байгаа тэмдгээр угтварлах хэрэгтэй. Аль модуль нь том, аль нь жижиг болохыг ойлгохын тулд та эдгээр аравтын бутархайн модулиудыг тооцоолохын өмнө харьцуулах чадвартай байх хэрэгтэй.
4.3 тооны модуль нь ?3.2 тооны модулиас их тул 4.3-аас 3.2-ыг хассан. Бид 1.1 гэсэн хариултыг авсан. Хариулт нь илүү том модулийн тэмдэг, өөрөөр хэлбэл |+4,3| модулийг агуулсан байх ёстой тул хариулт эерэг байна.
Ийнхүү илэрхийллийн утга?3.2 + (+4.3) нь 1.1 байна
Жишээ 15. 3.5 + (?8.3) илэрхийллийн утгыг ол.
Энэ нь өөр өөр тэмдэгтэй рационал тоог нэмэх явдал юм. Өмнөх жишээний адил том модулиас жижигийг нь хасаад хариултын өмнө модуль нь том гэсэн тэмдгийг тавина.
3,5 + (?8,3) = ?(|?8,3| ? |3,5|) = ?(8,3 ? 3,5) = ?(4,8) = ?4,8
Ийнхүү 3.5 + (?8.3) илэрхийллийн утга нь?4.8-тай тэнцүү байна
Энэ жишээг товчхон бичиж болно:
Жишээ 16.Илэрхийллийн утгыг ол?7,2 + (?3,11)
Энэ нь сөрөг рационал тоонуудын нэмэгдэл юм. Сөрөг оновчтой тоонуудыг нэмэхийн тулд та тэдгээрийн модулиудыг нэмж, үр дүнгийн хариултын өмнө хасах тэмдэг тавих хэрэгтэй. Илэрхийллийг эмх замбараагүй болгохгүйн тулд та модулийн оруулгыг алгасаж болно.
7,2 + (?3,11) = ?7,20 + (?3,11) = ?(7,20 + 3,11) = ?(10,31) = ?10,31
Тэгэхээр?7.2 + (?3.11) илэрхийллийн утга нь?10.31-тэй тэнцүү байна.
Энэ жишээг товчхон бичиж болно:
Жишээ 17.Илэрхийллийн утгыг ол?0.48 + (?2.7)
Энэ нь сөрөг рационал тоонуудын нэмэгдэл юм. Тэдний модулиудыг нэмж, үр дүнгийн хариултын өмнө хасах тэмдэг тавьцгаая. Илэрхийллийг эмх замбараагүй болгохгүйн тулд та модулийн оруулгыг алгасаж болно.
0,48 + (?2,7) = (?0,48) + (?2,70) = ?(0,48 + 2,70) = ?(3,18) = ?3,18
Жишээ 18.Илэрхийллийн утгыг ол?4,9 ? 5.9
Рационал тоо бүрийг тэмдгийн хамт хаалтанд оруулъя. Илэрхийлэлд өгсөн хасах нь үйлдлийн шинж тэмдэг бөгөөд аравтын бутархай 5.9-д хамаарахгүй гэдгийг бид анхаарч үздэг. Энэ аравтын бутархай өөрийн гэсэн нэмэх тэмдэгтэй бөгөөд энэ нь бичигдээгүйн улмаас үл үзэгдэх юм. Гэхдээ бид үүнийг тодорхой болгохын тулд бичих болно:
Хасалтыг нэмэхээр орлуулъя:
Бид сөрөг рационал тоонуудын нэмэгдлийг олж авлаа. Тэдний модулиудыг нэмж, үр дүнгийн хариултын өмнө хасах тэмдэг тавь. Илэрхийллийг эмх замбараагүй болгохгүйн тулд та модулийн оруулгыг алгасаж болно.
(?4,9) + (?5,9) = ?(4,9 + 5,9) = ?(10,8) = ?10,8
Ийнхүү илэрхийллийн утга нь ?4.9 ? 5.9 тэнцүү?10.8
= ?(4,9 + 5,9) = ?(10,8) = ?10,8
Жишээ 19. 7 илэрхийллийн утгыг олно уу? 9.3
Тоо бүрийг тэмдгүүдийнх нь хамт хаалтанд хийцгээе
Хасалтыг нэмэхээр орлуулъя
Бид өөр өөр тэмдэгтэй рационал тоонуудын нэмэгдлийг олж авсан. Том модулиас жижгийг хасаад хариултын өмнө модуль нь том байх тэмдгийг тавья. Илэрхийллийг эмх замбараагүй болгохгүйн тулд та модулийн оруулгыг алгасаж болно.
(+7) + (?9,3) = ?(9,3 ? 7) = ?(2,3) = ?2,3
Иймд 7 илэрхийллийн утга ? 9.3 тэнцүү байна уу?2.3
Энэ жишээний нарийвчилсан шийдлийг дараах байдлаар бичнэ.
7 ? 9,3 = (+7) ? (+9,3) = (+7) + (?9,3) = ?(|?9,3| ? |+7|) =
Богино шийдэл нь иймэрхүү харагдах болно:
Жишээ 20.Илэрхийллийн утгыг олоорой?0.25 ? (?1,2)
Хасалтыг нэмэхээр орлуулъя:
Бид өөр өөр тэмдэгтэй рационал тоонуудын нэмэгдлийг олж авсан. Том модулиас жижиг модулийг хасаад хариултын өмнө модуль нь том байх тэмдгийг тавь.
0,25 + (+1,2) = |+1,2| ? |?0,25| = 1,2 ? 0,25 = 0,95
Энэ жишээний нарийвчилсан шийдлийг дараах байдлаар бичнэ.
0,25 ? (?1,2) = (?0,25) + (+1,2) = |+1,2| ? |?0,25| = 1,2 ? 0,25 = 0,95
Богино шийдэл нь иймэрхүү харагдах болно:
Жишээ 21.Илэрхийллийн утгыг ол?3.5 + (4.1 ? 7.1)
Юуны өмнө хаалтанд хийсэн үйлдлүүдийг хийж, дараа нь гарсан хариултыг тоогоор нэмнэ үү?3.5. Илэрхийллийг эмх замбараагүй болгохгүйн тулд бид модулиудын оруулгыг алгасах болно.
Эхний үйлдэл:
4,1 ? 7,1 = (+4,1) ? (+7,1) = (+4,1) + (?7,1) = ?(7,1 ? 4,1) = ?(3,0) = ?3,0
Хоёр дахь үйлдэл:
3,5 + (?3,0) = ?(3,5 + 3,0) = ?(6,5) = ?6,5
Хариулт:илэрхийллийн утга?3.5 + (4.1 ? 7.1) тэнцүү?6.5.
3,5 + (4,1 ? 7,1) = ?3,5 + (?3,0) = ?6,5
Жишээ 22.(3.5 ? 2.9) илэрхийллийн утгыг олоорой? (3.7 ? 9.1)
Үйлдлүүдийг хаалтанд хийцгээе, дараа нь эхний хаалтыг гүйцэтгэсний үр дүнд олж авсан тооноос хоёр дахь хаалтыг гүйцэтгэсний үр дүнд олж авсан тоог хасна. Илэрхийллийг эмх замбараагүй болгохгүйн тулд бид модулиудын оруулгыг алгасах болно.
Эхний үйлдэл:
3,5 ? 2,9 = (+3,5) ? (+2,9) = (+3,5) + (?2,9) = 3,5 ? 2,9 = 0,6
Хоёр дахь үйлдэл:
3,7 ? 9,1 = (+3,7) ? (+9,1) = (+3,7) + (?9,1) = ?(9,1 ? 3,7) = ?(5,4) = ?5,4
Гурав дахь үйлдэл
0,6 ? (?5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6
Хариулт:илэрхийллийн утга (3.5 ? 2.9) ? (3.7 ? 9.1) нь 6-тай тэнцүү.
Энэ жишээний богино шийдлийг дараах байдлаар бичиж болно.
(3,5 ? 2,9) ? (3,7 ? 9,1) = 0,6 ? (?5,4) = 6,0 = 6
Жишээ 23.Илэрхийллийн утгыг ол?3.8 + 17.15 ? 6.2? 6.15
Рационал тоо бүрийг тэмдгүүдийн хамт хаалтанд оруулъя
Боломжтой бол хасахыг нэмэхээр солино
Илэрхийлэл нь хэд хэдэн нэр томъёоноос бүрдэнэ. Нэмэлт нэмэх хуулийн дагуу хэрэв илэрхийлэл нь хэд хэдэн гишүүнээс бүрддэг бол нийлбэр нь үйлдлийн дарааллаас хамаарахгүй. Энэ нь нэр томъёог ямар ч дарааллаар нэмж болно гэсэн үг юм.
Дугуйг дахин зохион бүтээхгүй, бүх нэр томьёог гарч ирэх дарааллаар нь зүүнээс баруун тийш нэмье.
Эхний үйлдэл:
(?3,8) + (+17,15) = 17,15 ? 3,80 = 13,35
Хоёр дахь үйлдэл:
13,35 + (?6,2) = 13,35 ? ?6,20 = 7,15
Гурав дахь үйлдэл:
7,15 + (?6,15) = 7,15 ? 6,15 = 1,00 = 1
Хариулт:илэрхийллийн утга?3.8 + 17.15 ? 6.2? 6.15 нь 1-тэй тэнцүү.
Энэ жишээний богино шийдлийг дараах байдлаар бичиж болно.
3,8 + 17,15 ? 6,2 ? 6,15 = 13,35 + (?6,2) ? 6,15 = 7,15 ? 6,15 = 1,00 = 1
Богино шийдэл нь бага асуудал, төөрөгдөл үүсгэдэг тул тэдэнд дасахыг зөвлөж байна.
Жишээ 24.Илэрхийллийн утгыг ол
Аравтын бутархай?1.8-ыг холимог тоонд хөрвүүлье. Бид үлдсэнийг нь байгаагаар нь дахин бичих болно. Хэрэв та аравтын бутархайг холимог тоо болгон хувиргахад хүндрэлтэй байгаа бол аравтын бутархайн хичээлийг заавал уншаарай.
Жишээ 25.Илэрхийллийн утгыг ол 
Хасалтыг нэмэхээр орлуулъя. Үүний зэрэгцээ аравтын бутархайг (?4,4) буруу бутархай болгон хөрвүүлье
Үүссэн илэрхийлэлд сөрөг тоо байхгүй байна. Мөн сөрөг тоо байхгүй тул бид хоёр дахь тооны өмнөх нэмэхийг хасч, хашилтыг орхиж болно. Дараа нь бид нэмэх энгийн илэрхийлэлийг олж авдаг бөгөөд үүнийг амархан шийдэж болно
Жишээ 26.Илэрхийллийн утгыг ол 
Холимог тоог буруу бутархай, аравтын бутархай?0.85-ыг энгийн бутархай болгон хувиргая. Бид дараах илэрхийлэлийг авна.
Бид сөрөг рационал тоонуудын нэмэгдлийг олж авлаа. Тэдний модулиудыг нэмж, үр дүнгийн хариултын өмнө хасах тэмдэг тавьцгаая. Илэрхийллийг эмх замбараагүй болгохгүйн тулд та модулийн оруулгыг алгасаж болно.
Жишээ 27.Илэрхийллийн утгыг ол 
Хоёр бутархайг буруу бутархай болгон хөрвүүлье. Аравтын 2.05-ыг буруу бутархай руу хөрвүүлэхийн тулд эхлээд холимог тоо, дараа нь буруу бутархай руу хөрвүүлж болно.
Хоёр бутархайг буруу бутархай болгон хөрвүүлсний дараа бид дараах илэрхийллийг авна.
Бид өөр өөр тэмдэгтэй рационал тоонуудын нэмэгдлийг олж авсан. Том модулиас жижиг модулийг хасаад гарч ирсэн хариултын өмнө модуль нь том байх тэмдгийг тавь.
Жишээ 28.Илэрхийллийн утгыг ол
Хасалтыг нэмэхээр орлуулъя. Үүний зэрэгцээ аравтын бутархайг энгийн бутархай руу хөрвүүлье
Жишээ 29.Илэрхийллийн утгыг ол 
?0,25 ба ?1,25 гэсэн аравтын бутархайг энгийн бутархай болгон хувиргаж, үлдсэнийг нь хэвээр үлдээе. Бид дараах илэрхийлэлийг авна.
Та эхлээд хасах үйлдлийг боломжтой бол нэмэхээр сольж, оновчтой тоонуудыг ар араас нь нэмж болно. Хоёрдахь хувилбар бий: эхлээд оновчтой тоонуудыг нэмээд дараа нь гарсан тооноос оновчтой тоог хасна. Бид энэ сонголтыг ашиглах болно.
Эхний үйлдэл:
Хоёр дахь үйлдэл:
Хариулт:илэрхийллийн утга тэнцүү?2.
Жишээ 30.Илэрхийллийн утгыг ол
Аравтын бутархайг энгийн бутархай руу хөрвүүлье. Үлдсэнийг нь байгаагаар нь үлдээе
Бид хэд хэдэн нэр томъёоны нийлбэрийг авсан. Хэрэв нийлбэр нь хэд хэдэн нөхцлөөс бүрдсэн бол илэрхийллийг ямар ч дарааллаар үнэлж болно. Энэ нь нэмэхийн ассоциатив хуулиас үүдэлтэй.
Тиймээс бид хамгийн тохиромжтой сонголтыг зохион байгуулж чадна. Юуны өмнө та эхний болон сүүлчийн гишүүн, тухайлбал оновчтой тоо болон . Эдгээр тоонууд нь ижил хуваагчтай бөгөөд энэ нь биднийг багасгах шаардлагаас чөлөөлнө гэсэн үг юм.
Эхний үйлдэл:
Үр дүнгийн тоог хоёр дахь гишүүн, тухайлбал оновчтой тоо дээр нэмж болно. Рационал тоонууд нь бутархай хэсэгтээ ижил хуваагчтай байдаг нь бидний хувьд дахин давуу тал болно.
Хоёр дахь үйлдэл:
За, үр дүнгийн тоог сүүлийн гишүүнтэй, тухайлбал рационал тоогоор нэмье. Тохиромжтойгоор, энэ илэрхийллийг тооцоолохдоо долоо нь алга болно, өөрөөр хэлбэл эсрэг тоонуудын нийлбэр нь тэг тул тэдгээрийн нийлбэр тэгтэй тэнцүү байх болно.
Гурав дахь үйлдэл:
Хариулт:илэрхийллийн утга нь байна
Хичээл таалагдсан уу?
Манай шинэ ВКонтакте группт нэгдэж, шинэ хичээлүүдийн талаар мэдэгдэл хүлээн авч эхлээрэй
Бүхэл тоог нэмэх, хасах
Энэ хичээлээр бид суралцах болно бүхэл тоог нэмэх, хасах, түүнчлэн тэдгээрийг нэмэх, хасах дүрэм.
Бүхэл тоонууд нь эерэг ба сөрөг тоо, мөн 0 тоо гэдгийг санаарай. Жишээлбэл, дараах тоонууд нь бүхэл тоонууд юм:
Эерэг тоог нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваахад хялбар байдаг. Харамсалтай нь сөрөг тоонуудын талаар ижил зүйлийг хэлж болохгүй бөгөөд энэ нь олон эхлэгчдэд тоо бүрийн өмнө хасах зүйлээ төөрөлдүүлдэг. Дадлагаас харахад сөрөг тоонуудын улмаас гаргасан алдаа нь оюутнуудыг хамгийн ихээр бухимдуулдаг.
Бүхэл тоог нэмэх, хасах жишээ
Таны сурах ёстой хамгийн эхний зүйл бол координатын шугам ашиглан бүхэл тоог нэмэх, хасах явдал юм. Координатын шугам зурах шаардлагагүй. Үүнийг өөрийн бодлоор төсөөлж, сөрөг тоо хаана байрлаж, эерэг тоо хаана байгааг харахад хангалттай.
Хамгийн энгийн илэрхийлэлийг авч үзье: 1 + 3. Энэ илэрхийллийн утга нь 4:
Энэ жишээг координатын шугам ашиглан ойлгож болно. Үүнийг хийхийн тулд 1-ийн тоо байрлаж байгаа цэгээс баруун тийш гурван алхам хийх хэрэгтэй. Үүний үр дүнд бид 4-ийн тоо байгаа цэг дээр өөрсдийгөө олох болно. Зураг дээр энэ нь хэрхэн болж байгааг харж болно.
1 + 3 илэрхийлэл дэх нэмэх тэмдэг нь тоо нэмэгдэх чиглэлд бид баруун тийш шилжих ёстойг хэлдэг.
Жишээ 2. 1 илэрхийллийн утгыг олъё? 3.
Энэ илэрхийллийн утга нь?2
Энэ жишээг координатын шугам ашиглан дахин ойлгож болно. Үүнийг хийхийн тулд 1-ийн тоо байрлах цэгээс зүүн тийш гурван алхам руу шилжих хэрэгтэй. Үүний үр дүнд бид сөрөг тоо?2 байрлаж буй цэг дээр өөрсдийгөө олох болно. Зураг дээр та энэ нь хэрхэн болж байгааг харж болно:
Хасах тэмдэгтийн илэрхийлэл 1? 3 нь тоо буурах чиглэлд бид зүүн тийш шилжих ёстойг хэлж байна.
Ерөнхийдөө, хэрэв нэмэлтийг хийвэл өсөлтийн чиглэлд баруун тийш шилжих хэрэгтэй гэдгийг санах хэрэгтэй. Хэрэв хасах үйлдлийг хийвэл буурах чиглэлд зүүн тийш шилжих хэрэгтэй.
Жишээ 3.Илэрхийллийн утгыг ол?2 + 4
Энэ илэрхийллийн утга нь 2 байна
Энэ жишээг координатын шугам ашиглан дахин ойлгож болно. Үүнийг хийхийн тулд сөрөг тоо?2 байрлаж байгаа цэгээс баруун тийш дөрвөн алхмаар шилжих хэрэгтэй. Үүний үр дүнд бид эерэг тоо 2 байрлаж буй цэг дээр өөрсдийгөө олох болно.
Сөрөг тоо?2 байрлаж байгаа цэгээс баруун тийш дөрвөн шат дамжлага хөдөлж, эерэг тоо 2 байрлах цэг дээр дууссан нь харагдаж байна.
?2 + 4 илэрхийлэл дэх нэмэх тэмдэг нь тоо нэмэгдэх чиглэлд бид баруун тийш шилжих ёстойг хэлдэг.
Жишээ 4.Илэрхийллийн утгыг олоорой?1 ? 3
Энэ илэрхийллийн утга нь?4
Энэ жишээг координатын шугам ашиглан дахин шийдэж болно. Үүнийг хийхийн тулд сөрөг тоо?1 байрлаж байгаа цэгээс зүүн гурван алхам руу шилжих хэрэгтэй. Үүний үр дүнд бид сөрөг тоо байрлах цэг дээр өөрсдийгөө олох болно?4
Сөрөг тоо?1 байрлаж байгаа цэгээс зүүн тийш гурван алхмаар хөдөлж, сөрөг тоо?4 байрлах цэг дээр дууссан нь харагдаж байна.
Илэрхийлэл дэх хасах тэмдэг?1 ? 3 нь тоо буурах чиглэлд бид зүүн тийш шилжих ёстойг хэлж байна.
Жишээ 5.Илэрхийллийн утгыг ол?2 + 2
Энэ илэрхийллийн утга нь 0 байна
Энэ жишээг координатын шугам ашиглан шийдэж болно. Үүний тулд сөрөг тоо?2 байрлаж байгаа цэгээс зөв хоёр алхам руу шилжих хэрэгтэй. Үүний үр дүнд бид 0-ийн тоо байгаа цэг дээр өөрсдийгөө олох болно
Сөрөг тоо?2 байрлаж байгаа цэгээс баруун тийш 2 алхамаар шилжиж, 0-ийн тоо байрлах цэг дээр дууссан нь харагдаж байна.
?2 + 2 илэрхийлэл дэх нэмэх тэмдэг нь тоо нэмэгдэх чиглэлд бид баруун тийш шилжих ёстойг хэлдэг.
Бүхэл тоог нэмэх, хасах дүрэм
Энэ эсвэл өөр илэрхийллийг тооцоолохын тулд координатын шугамыг зурах бүрдээ төсөөлөх шаардлагагүй. Бэлэн болсон дүрмийг ашиглах нь илүү тохиромжтой.
Дүрмийг хэрэглэхдээ үйл ажиллагааны тэмдэг, нэмэх, хасах шаардлагатай тоонуудын тэмдгүүдэд анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй. Энэ нь ямар дүрмийг хэрэглэхийг тодорхойлох болно.
Жишээ 1.Илэрхийллийн утгыг ол?2 + 5
Энд сөрөг тоо дээр эерэг тоо нэмэгдэнэ. Өөрөөр хэлбэл, өөр өөр тэмдэгтэй тоонууд нэмэгддэг. ?2 нь сөрөг тоо, 5 нь эерэг тоо. Ийм тохиолдолд дараахь дүрмийг баримтална.
Тэгэхээр аль модуль илүү том болохыг харцгаая:
5-ын тооны модуль нь тооны модулиас их үү?2. Дүрэм нь том модулиас жижиг хэсгийг хасахыг шаарддаг. Тиймээс бид 5-аас 2-ыг хасах ёстой бөгөөд үр дүнгийн хариултын өмнө модуль нь их байх тэмдгийг тавина.
5-ын тоо нь илүү том модультай тул энэ тооны тэмдэг нь хариултанд байх болно. Өөрөөр хэлбэл, хариулт эерэг байх болно:
Ихэвчлэн богино бичдэг үү? 2 + 5 = 3
Жишээ 2. 3 + (?2) илэрхийллийн утгыг ол.
Энд өмнөх жишээний адил өөр өөр тэмдэгтэй тоонуудыг нэмж оруулсан болно. 3 нь эерэг тоо, ?2 нь сөрөг байна. Илэрхийллийг илүү ойлгомжтой болгохын тулд?2 гэсэн тоог хаалтанд оруулсан болохыг анхаарна уу. Энэ илэрхийлэл нь 3+?2 илэрхийллээс хамаагүй хялбар юм.
Тиймээс өөр өөр тэмдэгтэй тоог нэмэх дүрмийг хэрэгжүүлье. Өмнөх жишээний нэгэн адил бид том модулиас жижиг модулийг хасч, хариултын өмнө модуль нь том байх тэмдгийг тавьдаг.
3 + (?2) = |3| ? |?2| = 3 ? 2 = 1
3-ын тооны модуль нь тооны модулиас их байна?2, тиймээс бид 3-аас 2-ыг хасч, үр дүнгийн хариултын өмнө бид илүү их модулийн тэмдгийг тавьдаг. 3-ын тоо нь илүү том модультай тул хариултанд энэ тооны тэмдгийг оруулсан болно. Энэ нь эерэг хариулт юм.
Ихэвчлэн 3 + (?2) = 1 гэж богино бичдэг
Жишээ 3. 3-р илэрхийллийн утгыг олоорой? 7
Энэ илэрхийлэлд бага тооноос их тоог хасна. Ийм тохиолдолд дараахь дүрмийг баримтална.
Бага тооноос их тоог хасахын тулд том тооноос жижиг тоог хасч, гарсан хариултын өмнө хасах тэмдэг тавих хэрэгтэй.
Энэ илэрхийлэлд бага зэрэг ойлголт бий. Хэмжигдэхүүн ба илэрхийлэл хоорондоо тэнцүү байх үед тэнцүү тэмдэг (=) тавигддаг гэдгийг санацгаая.
Илэрхийллийн утга 3? 7 тэнцүү гэдгийг бид яаж мэдсэн бэ?4. Энэ нь бидний энэ илэрхийлэлд хийх аливаа хувиргалт тэнцүү байх ёстой гэсэн үг үү?4
Гэхдээ бид хоёр дахь шатанд 7 илэрхийлэл байгааг харж байна уу? 3, аль нь тэнцүү биш вэ?4.
Энэ байдлыг засахын тулд илэрхийлэл 7 ? 3-ыг хаалтанд хийж, энэ хаалтны өмнө хасах тэмдэг тавих ёстой.
3 ? 7 = ? (7 ? 3) = ? (4) = ?4
Энэ тохиолдолд тэгш байдлыг үе шат бүрт ажиглана.
Илэрхийллийг үнэлсний дараа хашилтыг арилгаж болох бөгөөд энэ нь бидний хийсэн зүйл юм.
Тиймээс илүү нарийвчлалтай байхын тулд шийдэл нь иймэрхүү харагдах ёстой:
3 ? 7 = ? (7 ? 3) = ? (4) = ? 4
Энэ дүрмийг хувьсагч ашиглан бичиж болно. Энэ нь дараах байдлаар харагдах болно.
а? b =? (б? а)
Олон тооны хаалт ба үйлдлийн тэмдэг нь энгийн мэт санагдах асуудлыг шийдвэрлэхэд хүндрэл учруулж болзошгүй тул ийм жишээг хэрхэн товч бичиж сурах нь илүү дээр юм, жишээ нь 3 ? 7 =? 4.
Үнэн хэрэгтээ бүхэл тоог нэмэх, хасах нь нэмэхээс өөр зүйл биш юм. Энэ юу гэсэн үг вэ? Энэ нь хэрэв та тоог хасах шаардлагатай бол энэ үйлдлийг нэмэх замаар сольж болно гэсэн үг юм.
Ингээд шинэ дүрэмтэй танилцацгаая:
Нэг тооноос нөгөө тоог хасна гэдэг нь хасагдаж байгаа тооноос эсрэг тоог нэмэх гэсэн үг.
Жишээлбэл, хамгийн энгийн илэрхийлэл 5-ыг авч үзье? 3. Математикийг судлах эхний үе шатанд бид зүгээр л тэнцүү тэмдэг тавиад хариултыг бичдэг.
Харин одоо бид судалгаагаа ахиулж байгаа тул шинэ дүрэмд дасан зохицох хэрэгтэй. Нэг тооноос нөгөө тоог хасна гэдэг нь хасагдсан тооноос эсрэг тоог нэмэх гэсэн шинэ дүрэмд заасан.
5?3 илэрхийллийн жишээг ашиглан энэ дүрмийг ойлгохыг хичээцгээе. Энэ илэрхийлэл дэх хасах нь 5, хасах нь 3. Дүрэмд зааснаар 5-аас 3-ыг хасахын тулд 3-ын эсрэг тоо 5 дээр нэмэх шаардлагатай. 3-ын эсрэг нь тоо вэ?3 . Шинэ илэрхийлэл бичье:
Ийм илэрхийллийн утгыг хэрхэн олохыг бид аль хэдийн мэддэг болсон. Энэ бол дээр дурдсан өөр өөр тэмдэг бүхий тоонуудын нэмэгдэл юм. Өөр өөр тэмдэгтэй тоонуудыг нэмэхийн тулд том модулиас жижигийг нь хасах хэрэгтэй бөгөөд хариу гарахын өмнө модуль нь том байх тэмдгийг тавина.
5 + (?3) = |5| ? |?3| = 5 ? 3 = 2
5-ын тооны модуль нь тооны модулиас их үү?3. Тиймээс бид 5-аас 3-ыг хасаад 2-ыг авсан.5-ын тоо илүү том модультай тул хариултанд энэ тооны тэмдгийг тавьсан. Энэ нь эерэг хариулт юм.
Эхлээд хүн бүр хасахыг нэмэх замаар хурдан сольж чаддаггүй. Энэ нь эерэг тоог нэмэх тэмдэггүйгээр бичдэгтэй холбоотой юм.
Жишээлбэл, 3-р илэрхийлэлд? Хасах үйлдлийг харуулсан 1 хасах тэмдэг нь үйлдлийн тэмдэг бөгөөд нэгийг заадаггүй. Энэ тохиолдолд нэгж нь эерэг тоо бөгөөд энэ нь өөрийн нэмэх тэмдэгтэй боловч эерэг тоонуудын өмнө нэмэхийг бичдэггүй тул бид үүнийг харахгүй байна.
Тиймээс тодорхой болгохын тулд энэ илэрхийллийг дараах байдлаар бичиж болно.
Тохиромжтой болгохын тулд өөрийн гэсэн тэмдэгтэй тоонуудыг хаалтанд байрлуулна. Энэ тохиолдолд хасахыг нэмэхээр солих нь илүү хялбар байдаг. Энэ тохиолдолд хасагдсан тоо нь тоо (+1), эсрэг тоо нь (?1) юм. Хасах үйлдлийг нэмэхээр сольж, хасах (+1) оронд эсрэг тоо (?1) бичнэ.
(+3) ? (+1) = (+3) + (?1) = |+3| ? |?1| = 3 ? 1 = 2
Өнгөц харахад, хэрэв та хуучин сайн аргыг ашиглан тэнцүү тэмдэг тавьж, хариултыг 2-ыг шууд бичиж чадвал эдгээр нэмэлт хөдөлгөөнүүд ямар ч утгагүй мэт санагдаж магадгүй юм. Үнэндээ энэ дүрэм бидэнд нэгээс олон удаа туслах болно.
Өмнөх жишээ 3-ыг шийдье? 7, хасах дүрмийг ашиглан. Эхлээд тоо тус бүрт өөрийн гэсэн тэмдэг тавьж, илэрхийллийг хэвийн хэлбэрт оруулъя. Гурав нь эерэг тоо тул нэмэх тэмдэгтэй. Хасах үйлдлийг харуулсан хасах тэмдэг нь долоон дээр хамаарахгүй. Долоо нь эерэг тоо учраас нэмэх тэмдэгтэй:
Хасалтыг нэмэхээр орлуулъя:
Цаашид тооцоолох нь хэцүү биш юм:
Жишээ 7.Илэрхийллийн утгыг олоорой?4 ? 5
Бид дахин хасах үйлдэлтэй. Энэ үйлдлийг нэмэлтээр солих шаардлагатай. Хасах (?4) хэсэгт бид хасах (+5)-ийн эсрэг талын тоог нэмнэ. Хасах (+5)-ын эсрэг тоо нь (?5) тоо юм.
Сөрөг тоог нэмэх шаардлагатай нөхцөл байдалд хүрлээ. Ийм тохиолдолд дараахь дүрмийг баримтална.
Сөрөг тоог нэмэхийн тулд тэдгээрийн модулиудыг нэмж, үр дүнгийн хариултын өмнө хасах тэмдэг тавих хэрэгтэй.
Тиймээс, дүрмийн дагуу тоон модулиудыг нэмж, хариултын өмнө хасах тэмдэг тавьцгаая.
(?4) ? (+5) = (?4) + (?5) = |?4| + |?5| = 4 + 5 = ?9
Модулиуд бүхий оруулга нь хаалтанд байх ёстой бөгөөд эдгээр хаалтны өмнө хасах тэмдэг тавих ёстой. Ингэснээр бид хариултын өмнө гарч ирэх хасах зүйлийг өгөх болно:
(?4) ? (+5) = (?4) + (?5) = ?(|?4| + |?5|) = ?(4 + 5) = ?(9) = ?9
Энэ жишээний шийдлийг товчоор бичиж болно:
Жишээ 8.Илэрхийллийн утгыг олоорой?3 ? 5 ? 7? 9
Илэрхийлэлийг тодорхой хэлбэрт оруулъя. Энд, 3-аас бусад тоонууд эерэг тул нэмэх тэмдэгтэй байна:
Хасах үйлдлийг нэмэх үйлдлээр орлуулъя. Бүх хасах (гурвын урд байгаа хасахаас бусад) нэмэх болон бүх эерэг тоо эсрэгээр өөрчлөгдөнө.
Одоо сөрөг тоог нэмэх дүрмийг хэрэгжүүлье. Сөрөг тоо нэмэхийн тулд та тэдгээрийн модулиудыг нэмж, үр дүнгийн хариултын өмнө хасах тэмдэг тавих хэрэгтэй.
= ?(|?3| + |?5| + |?7| + |?9|) = ?(3 + 5 + 7 + 9) = ?(24) = ?24
Энэ жишээний шийдлийг товчоор бичиж болно:
3 ? 5 ? 7 ? 9 = ?(3 + 5 + 7 + 9) = ?24
Жишээ 9.Илэрхийллийн утгыг олоорой?10 + 6? 15 + 11? 7
Илэрхийлэлийг тодорхой хэлбэрт аваачъя:
Энд нэмэх, хасах гэсэн хоёр үйлдэл байна. Бид нэмэхийг байгаагаар нь үлдээж, хасахыг нэмэхээр солино.
(?10) + (+6) ? (+15) + (+11) ? (+7) = (?10) + (+6) + (?15) + (+11) + (?7)
Үйлдлийн дарааллыг дагаж бид өмнө нь сурсан дүрмүүд дээр үндэслэн үйлдэл бүрийг ээлжлэн гүйцэтгэх болно. Модуль бүхий оруулгуудыг алгасаж болно:
Эхний үйлдэл:
(?10) + (+6) = ? (10 ? 6) = ? (4) = ? 4
Хоёр дахь үйлдэл:
(?4) + (?15) = ? (4 + 15) = ? (19) = ? 19
Гурав дахь үйлдэл:
(?19) + (+11) = ? (19 ? 11) = ? (8) = ?8
Дөрөв дэх үйлдэл:
(?8) + (?7) = ? (8 + 7) = ? (15) = ? 15
Тэгэхээр илэрхийллийн утга?10 + 6? 15 + 11? 7 тэнцүү байна уу?15
Анхаарна уу. Тоонуудыг хашилтанд оруулах замаар илэрхийллийг ойлгомжтой хэлбэрт оруулах шаардлагагүй. Сөрөг тоонд дассан тохиолдолд энэ алхамыг алгасаж болно, учир нь энэ нь цаг хугацаа их шаарддаг бөгөөд төөрөгдөл үүсгэдэг.
Тиймээс бүхэл тоог нэмэх, хасахын тулд та дараах дүрмийг санах хэрэгтэй.
Өөр өөр тэмдэгтэй тоонуудыг нэмэхийн тулд том модулиас жижиг модулийг хасах хэрэгтэй бөгөөд хариултын өмнө модуль нь том байх тэмдгийг тавина.
Бага тооноос их тоог хасахын тулд та том тооноос бага тоог хасч, гарсан хариултын өмнө хасах тэмдэг тавих хэрэгтэй.
Нэг тооноос нөгөө тоог хасна гэдэг нь хасагдаж байгаа тоондоо эсрэг тоог нэмэхийг хэлнэ.
Сөрөг тоог нэмэхийн тулд тэдгээрийн модулиудыг нэмж, үр дүнгийн хариултын өмнө хасах тэмдэг тавих хэрэгтэй.
