Propriétés de base des logarithmes. Propriétés des logarithmes et exemples de leurs solutions

En relation avec

la tâche de trouver l'un des trois nombres parmi les deux autres donnés peut être définie. Si a puis N sont donnés, ils sont trouvés par exponentiation. Si N puis a sont donnés en prenant la racine du degré x (ou en l'élevant à la puissance). Considérons maintenant le cas où, étant donné a et N, nous devons trouver x.

Soit le nombre N positif : le nombre a soit positif et non égal à un : .

Définition. Le logarithme du nombre N à la base a est l'exposant auquel il faut élever a pour obtenir le nombre N ; le logarithme est noté

Ainsi, dans l’égalité (26.1), l’exposant est le logarithme de N en base a. Des postes

ont la même signification. L'égalité (26.1) est parfois appelée l'identité principale de la théorie des logarithmes ; en réalité il exprime la définition de la notion de logarithme. Par cette définition, la base du logarithme a est toujours positive et différente de l'unité ; le nombre logarithmique N est positif. Les nombres négatifs et zéro n'ont pas de logarithme. On peut prouver que tout nombre ayant une base donnée possède un logarithme bien défini. L’égalité implique donc. Notez que la condition est ici essentielle ; sinon, la conclusion ne serait pas justifiée, puisque l'égalité est vraie pour toutes les valeurs de x et y.

Exemple 1. Rechercher

Solution. Pour obtenir un nombre, il faut élever la base 2 à la puissance Donc.

Vous pouvez prendre des notes lors de la résolution de tels exemples sous la forme suivante :

Exemple 2. Rechercher .

Solution. Nous avons

Dans les exemples 1 et 2, nous avons facilement trouvé le logarithme souhaité en représentant le nombre du logarithme comme une puissance de base avec un exposant rationnel. Dans le cas général, par exemple pour etc., cela ne peut pas être fait, car le logarithme a une valeur irrationnelle. Prêtons attention à un problème lié à cette déclaration. Au paragraphe 12, nous avons donné le concept de la possibilité de déterminer toute puissance réelle d'un nombre positif donné. Cela était nécessaire pour l'introduction des logarithmes, qui, d'une manière générale, peuvent être des nombres irrationnels.

Examinons quelques propriétés des logarithmes.

Propriété 1. Si le nombre et la base sont égaux, alors le logarithme est égal à un et, inversement, si le logarithme est égal à un, alors le nombre et la base sont égaux.

Preuve. Soit Par la définition d'un logarithme nous avons et d'où

A l’inverse, soit Alors par définition

Propriété 2. Le logarithme de un sur n'importe quelle base est égal à zéro.

Preuve. Par définition d'un logarithme (la puissance nulle de toute base positive est égale à un, voir (10.1)). D'ici

Q.E.D.

L’affirmation inverse est également vraie : si , alors N = 1. En effet, nous avons .

Avant de formuler la propriété suivante des logarithmes, convenons de dire que deux nombres a et b se trouvent du même côté du troisième nombre c s'ils sont tous deux supérieurs à c ou inférieurs à c. Si l’un de ces nombres est supérieur à c et l’autre inférieur à c, alors nous dirons qu’ils se situent sur des côtés opposés de c.

Propriété 3. Si le nombre et la base se trouvent du même côté de un, alors le logarithme est positif ; Si le nombre et la base se trouvent sur des côtés opposés de un, alors le logarithme est négatif.

La preuve de la propriété 3 est basée sur le fait que la puissance de a est supérieure à un si la base est supérieure à un et l'exposant est positif ou si la base est inférieure à un et l'exposant est négatif. Une puissance est inférieure à un si la base est supérieure à un et l'exposant est négatif ou si la base est inférieure à un et l'exposant est positif.

Il y a quatre cas à considérer :

Nous nous limiterons à analyser le premier d’entre eux ; le lecteur considérera le reste par lui-même.

Supposons donc que, dans l'égalité, l'exposant ne puisse être ni négatif ni égal à zéro, il est donc positif, c'est-à-dire comme il faut le prouver.

Exemple 3. Découvrez lesquels des logarithmes ci-dessous sont positifs et lesquels sont négatifs :

Solution, a) puisque le chiffre 15 et la base 12 sont situés du même côté de l'un ;

b) puisque 1000 et 2 sont situés d'un côté de l'unité ; dans ce cas, il n'est pas important que la base soit supérieure au nombre logarithmique ;

c) puisque 3,1 et 0,8 se situent sur des côtés opposés de l'unité ;

G) ; Pourquoi?

d) ; Pourquoi?

Les propriétés suivantes 4 à 6 sont souvent appelées règles de logarithmation : elles permettent, connaissant les logarithmes de certains nombres, de trouver les logarithmes de leur produit, quotient et degré de chacun d'eux.

Propriété 4 (règle du logarithme du produit). Le logarithme du produit de plusieurs nombres positifs à une base donnée est égal à la somme des logarithmes de ces nombres à la même base.

Preuve. Que les nombres donnés soient positifs.

Pour le logarithme de leur produit, on écrit l'égalité (26.1) qui définit le logarithme :

De là, nous trouverons

En comparant les exposants de la première et de la dernière expressions, on obtient l'égalité recherchée :

A noter que la condition est essentielle ; le logarithme du produit de deux nombres négatifs a du sens, mais dans ce cas on obtient

De manière générale, si le produit de plusieurs facteurs est positif, alors son logarithme est égal à la somme des logarithmes des valeurs absolues de ces facteurs.

Propriété 5 (règle de prise des logarithmes de quotients). Le logarithme d'un quotient de nombres positifs est égal à la différence entre les logarithmes du dividende et du diviseur, pris sur la même base. Preuve. Nous trouvons systématiquement

Q.E.D.

Propriété 6 (règle du logarithme de puissance). Le logarithme de la puissance de tout nombre positif est égal au logarithme de ce nombre multiplié par l'exposant.

Preuve. Réécrivons l'identité principale (26.1) du nombre :

Q.E.D.

Conséquence. Le logarithme d'une racine d'un nombre positif est égal au logarithme du radical divisé par l'exposant de la racine :

La validité de ce corollaire peut être prouvée en imaginant comment et en utilisant la propriété 6.

Exemple 4. Prendre un logarithme pour baser a :

a) (on suppose que toutes les valeurs b, c, d, e sont positives) ;

b) (on suppose que ).

Solution, a) Il est pratique de passer aux puissances fractionnaires dans cette expression :

A partir des égalités (26.5)-(26.7), on peut maintenant écrire :

On remarque que des opérations plus simples sont effectuées sur les logarithmes des nombres que sur les nombres eux-mêmes : lors de la multiplication des nombres, leurs logarithmes sont ajoutés, lors de la division, ils sont soustraits, etc.

C'est pourquoi les logarithmes sont utilisés dans la pratique informatique (voir paragraphe 29).

L'action inverse du logarithme est appelée potentialisation, à savoir : la potentialisation est l'action par laquelle le nombre lui-même est trouvé à partir d'un logarithme donné d'un nombre. Essentiellement, la potentialisation n'est pas une action particulière : elle revient à élever une base à une puissance (égale au logarithme d'un nombre). Le terme « potentialisation » peut être considéré comme synonyme du terme « exponentiation ».

Lors de la potentialisation, il faut utiliser les règles inverses des règles de logarithmation : remplacer la somme des logarithmes par le logarithme du produit, la différence des logarithmes par le logarithme du quotient, etc. En particulier, s'il y a un facteur devant du signe du logarithme, puis lors de la potentialisation il faut le transférer aux degrés exposants sous le signe du logarithme.

Exemple 5. Trouvez N si l'on sait que

Solution. En relation avec la règle de potentialisation qui vient d'être énoncée, nous transférerons les facteurs 2/3 et 1/3 placés devant les signes des logarithmes du côté droit de cette égalité en exposants sous les signes de ces logarithmes ; on a

Remplaçons maintenant la différence des logarithmes par le logarithme du quotient :

pour obtenir la dernière fraction de cette chaîne d'égalités, nous avons libéré la fraction précédente de l'irrationalité au dénominateur (article 25).

Propriété 7. Si la base est supérieure à un, alors le plus grand nombre a un logarithme plus grand (et le plus petit a un plus petit), si la base est inférieure à un, alors le plus grand nombre a un logarithme plus petit (et le plus petit a un logarithme plus petit). on en a un plus grand).

Cette propriété est également formulée comme une règle pour prendre des logarithmes d'inégalités dont les deux côtés sont positifs :

Lors du logarithme des inégalités à une base supérieure à un, le signe de l'inégalité est conservé, et lors du logarithme à une base inférieure à un, le signe de l'inégalité change à l'opposé (voir également le paragraphe 80).

La preuve est basée sur les propriétés 5 et 3. Considérons le cas où Si , alors et, en prenant des logarithmes, on obtient

(a et N/M se trouvent du même côté de l’unité). D'ici

Dans le cas a suivant, le lecteur le découvrira par lui-même.

Logarithme d'un nombre N basé sur UN appelé exposant X , auquel vous devez construire UN pour obtenir le numéro N

À condition que
,
,

De la définition du logarithme, il résulte que
, c'est à dire.
- cette égalité est l'identité logarithmique de base.

Les logarithmes en base 10 sont appelés logarithmes décimaux. Au lieu de
écrire
.

Logarithmes à la base e sont appelés naturels et sont désignés
.

Propriétés de base des logarithmes.

Le logarithme de un est égal à zéro pour n'importe quelle base.

Le logarithme du produit est égal à la somme des logarithmes des facteurs.

3) Le logarithme du quotient est égal à la différence des logarithmes

Facteur
appelé module de transition des logarithmes à la base un aux logarithmes à la base b .

En utilisant les propriétés 2 à 5, il est souvent possible de réduire le logarithme d'une expression complexe au résultat d'opérations arithmétiques simples sur des logarithmes.

Par exemple,

De telles transformations d'un logarithme sont appelées logarithmes. Les transformations inverses des logarithmes sont appelées potentialisation.

Chapitre 2. Éléments de mathématiques supérieures.

1. Limites

Limite de la fonction
est un nombre fini A si, comme xx 0 pour chaque prédéterminé
, il y a un tel nombre
que dès que
, Que
.

Une fonction qui a une limite en diffère d'une quantité infinitésimale :
, où- b.m.v., c'est-à-dire
.

Exemple. Considérez la fonction
.

En s'efforçant
, fonction oui tend vers zéro :

1.1. Théorèmes de base sur les limites.

La limite d'une valeur constante est égale à cette valeur constante

La limite de la somme (différence) d'un nombre fini de fonctions est égale à la somme (différence) des limites de ces fonctions.

La limite du produit d'un nombre fini de fonctions est égale au produit des limites de ces fonctions.

La limite du quotient de deux fonctions est égale au quotient des limites de ces fonctions si la limite du dénominateur n'est pas nulle.

Des limites merveilleuses

,
, Où

1.2. Exemples de calcul de limite

Cependant, toutes les limites ne se calculent pas aussi facilement. Le plus souvent, calculer la limite revient à faire apparaître une incertitude du type : ou .

2. Dérivée d'une fonction

Ayons une fonction
, en continu sur le segment
.

Argument j'ai eu une augmentation
. Ensuite la fonction recevra un incrément
.

Valeur des arguments correspond à la valeur de la fonction
.

Valeur des arguments
correspond à la valeur de la fonction.

Ainsi, .

Trouvons la limite de ce rapport à
. Si cette limite existe, alors on l'appelle la dérivée de la fonction donnée.

Définition 3 Dérivée d'une fonction donnée
par argumentation est appelée la limite du rapport de l'incrément d'une fonction à l'incrément de l'argument, lorsque l'incrément de l'argument tend arbitrairement vers zéro.

Dérivée d'une fonction
peut être désigné comme suit :

; ; ; .

Définition 4L'opération consistant à trouver la dérivée d'une fonction est appelée différenciation.

2.1. Signification mécanique du dérivé.

Considérons le mouvement rectiligne d'un corps rigide ou d'un point matériel.

Laissez à un moment donné point en mouvement
était à distance depuis la position de départ
.

Après un certain temps
elle a parcouru une certaine distance
. Attitude =- vitesse moyenne d'un point matériel
. Trouvons la limite de ce rapport, en tenant compte du fait que
.

Par conséquent, déterminer la vitesse instantanée de déplacement d'un point matériel se réduit à trouver la dérivée de la trajectoire par rapport au temps.

2.2. Valeur géométrique de la dérivée

Ayons une fonction définie graphiquement
.

Riz. 1. Signification géométrique de la dérivée

Si
, puis pointez
, se déplacera le long de la courbe, en se rapprochant du point
.

Ainsi
, c'est à dire. la valeur de la dérivée pour une valeur donnée de l'argument numériquement égal à la tangente de l'angle formé par la tangente en un point donné avec la direction positive de l'axe
.

2.3. Tableau des formules de différenciation de base.

Fonction de puissance

Fonction exponentielle

Fonction logarithmique

Fonction trigonométrique

Fonction trigonométrique inverse

2.4. Règles de différenciation.

Dérivé de

Dérivée de la somme (différence) des fonctions

Dérivée du produit de deux fonctions

Dérivée du quotient de deux fonctions

2.5. Dérivée d'une fonction complexe.

Soit la fonction donnée
de telle sorte qu'il puisse être représenté sous la forme

Et
, où la variable est un argument intermédiaire, alors

La dérivée d'une fonction complexe est égale au produit de la dérivée de la fonction donnée par rapport à l'argument intermédiaire et de la dérivée de l'argument intermédiaire par rapport à x.

Exemple 1.

Exemple 2.

3. Fonction différentielle.

Qu'il y ait
, différentiable sur un certain intervalle
laisse tomber à cette fonction a une dérivée

alors nous pouvons écrire

(1),

Où - une quantité infinitésimale,

depuis quand

En multipliant tous les termes d'égalité (1) par
nous avons:

Où
- b.m.v. ordre supérieur.

Ordre de grandeur
appelé différentiel de la fonction
et est désigné

3.1. Valeur géométrique du différentiel.

Soit la fonction donnée
.

Fig.2. Signification géométrique du différentiel.

Évidemment, la différentielle de la fonction
est égal à l'incrément de l'ordonnée de la tangente en un point donné.

3.2. Dérivés et différentiels de divers ordres.

S'il y a
, Alors
est appelée la dérivée première.

La dérivée de la dérivée première est appelée dérivée du second ordre et s'écrit
.

Dérivée du nième ordre de la fonction
est appelée la dérivée d'ordre (n-1) et s'écrit :

La différentielle de la différentielle d'une fonction est appelée différentielle du second ordre ou différentielle du second ordre.

.

.

3.3 Résoudre des problèmes biologiques par différenciation.

Tache 1. Des études ont montré que la croissance d'une colonie de micro-organismes obéit à la loi
, Où N – nombre de micro-organismes (en milliers), t – temps (jours).

b) La population de la colonie augmentera-t-elle ou diminuera-t-elle pendant cette période ?

Répondre. La taille de la colonie va augmenter.

Tâche 2. L'eau du lac est périodiquement testée pour surveiller la teneur en bactéries pathogènes. À travers t jours après le test, la concentration de bactéries est déterminée par le rapport

Quand le lac aura-t-il une concentration minimale de bactéries et sera-t-il possible de s'y baigner ?

Solution : Une fonction atteint max ou min lorsque sa dérivée est nulle.

Déterminons que le maximum ou le minimum sera dans 6 jours. Pour ce faire, prenons la dérivée seconde.

Réponse : Après 6 jours, il y aura une concentration minimale de bactéries.

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Expliquons-le plus simplement. Par exemple, \(\log_(2)(8)\) est égal à la puissance à laquelle \(2\) doit être élevé pour obtenir \(8\). De là, il est clair que \(\log_(2)(8)=3\).

Exemples:	\(\log_(5)(25)=2\)	parce que \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	parce que \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	parce que \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument et base du logarithme

Tout logarithme a l’« anatomie » suivante :

L'argument d'un logarithme est généralement écrit à son niveau, et la base est écrite en indice plus proche du signe du logarithme. Et cette entrée se lit comme ceci : « logarithme de vingt-cinq en base cinq ».

Comment calculer le logarithme ?

Pour calculer le logarithme, il faut répondre à la question : à quelle puissance faut-il élever la base pour obtenir l'argument ?

Par exemple, calculez le logarithme : a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) À quelle puissance faut-il élever \(4\) pour obtenir \(16\) ? Évidemment le deuxième. C'est pourquoi:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) À quelle puissance faut-il élever \(\sqrt(5)\) pour obtenir \(1\) ? Quel pouvoir fait d’un numéro un ? Zéro, bien sûr !

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) À quelle puissance faut-il élever \(\sqrt(7)\) pour obtenir \(\sqrt(7)\) ? Premièrement, tout nombre à la puissance première est égal à lui-même.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) À quelle puissance faut-il élever \(3\) pour obtenir \(\sqrt(3)\) ? Nous savons qu'il s'agit d'une puissance fractionnaire, ce qui signifie que la racine carrée est la puissance de \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Exemple : Calculer le logarithme \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Solution :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Nous devons trouver la valeur du logarithme, notons-le x. Utilisons maintenant la définition d'un logarithme : \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Qu'est-ce qui relie \(4\sqrt(2)\) et \(8\) ? Deux, car les deux nombres peuvent être représentés par deux : \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		A gauche on utilise les propriétés du degré : \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) et \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Les bases sont égales, on passe à l'égalité des indicateurs
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Multipliez les deux côtés de l'équation par \(\frac(2)(5)\)
		La racine résultante est la valeur du logarithme

Répondre : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Pourquoi le logarithme a-t-il été inventé ?

Pour comprendre cela, résolvons l'équation : \(3^(x)=9\). Faites simplement correspondre \(x\) pour que l'égalité fonctionne. Bien sûr, \(x=2\).

Résolvez maintenant l’équation : \(3^(x)=8\). À quoi x est égal ? C'est le but.

Les plus malins diront : « X vaut un peu moins de deux ». Comment écrire exactement ce numéro ? Pour répondre à cette question, le logarithme a été inventé. Grâce à lui, la réponse ici peut s'écrire \(x=\log_(3)(8)\).

Je tiens à souligner que \(\log_(3)(8)\), comme tout logarithme n'est qu'un nombre. Oui, cela semble inhabituel, mais c'est court. Parce que si nous voulions l'écrire sous forme décimale, cela ressemblerait à ceci : \(1.892789260714.....\)

Exemple : Résolvez l'équation \(4^(5x-4)=10\)

Solution :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) et \(10\) ne peuvent pas être amenés à la même base. Cela signifie que vous ne pouvez pas vous passer d’un logarithme. Utilisons la définition du logarithme : \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Retournons l'équation pour que X soit à gauche
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Avant nous. Déplaçons \(4\) vers la droite. Et n’ayez pas peur du logarithme, traitez-le comme un nombre ordinaire.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Divisez l'équation par 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		C'est notre racine. Oui, cela semble inhabituel, mais ils ne choisissent pas la réponse.

Répondre : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logarithmes décimaux et naturels

Comme indiqué dans la définition d'un logarithme, sa base peut être n'importe quel nombre positif sauf un \((a>0, a\neq1)\). Et parmi toutes les bases possibles, il y en a deux qui apparaissent si souvent qu'une notation courte spéciale a été inventée pour les logarithmes avec elles :

Logarithme naturel : un logarithme dont la base est le nombre d'Euler \(e\) (égal à environ \(2,7182818…\)), et le logarithme s'écrit \(\ln(a)\).

C'est, \(\ln(a)\) est identique à \(\log_(e)(a)\)

Logarithme décimal : Un logarithme dont la base est 10 s'écrit \(\lg(a)\).

C'est, \(\lg(a)\) est identique à \(\log_(10)(a)\), où \(a\) est un nombre.

Identité logarithmique de base

Les logarithmes ont de nombreuses propriétés. L’une d’elles s’appelle « l’identité logarithmique de base » et ressemble à ceci :

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Cette propriété découle directement de la définition. Voyons exactement comment cette formule est née.

Rappelons une courte notation de la définition du logarithme :

si \(a^(b)=c\), alors \(\log_(a)(c)=b\)

Autrement dit, \(b\) est identique à \(\log_(a)(c)\). On peut alors écrire \(\log_(a)(c)\) au lieu de \(b\) dans la formule \(a^(b)=c\). Il s'est avéré que \(a^(\log_(a)(c))=c\) - l'identité logarithmique principale.

Vous pouvez trouver d’autres propriétés des logarithmes. Avec leur aide, vous pouvez simplifier et calculer les valeurs d'expressions avec des logarithmes, difficiles à calculer directement.

Exemple : Trouver la valeur de l'expression \(36^(\log_(6)(5))\)

Solution :

Répondre : \(25\)

Comment écrire un nombre sous forme de logarithme ?

Comme mentionné ci-dessus, tout logarithme n'est qu'un nombre. L’inverse est également vrai : n’importe quel nombre peut être écrit sous forme de logarithme. Par exemple, nous savons que \(\log_(2)(4)\) est égal à deux. Ensuite, au lieu de deux, vous pouvez écrire \(\log_(2)(4)\).

Mais \(\log_(3)(9)\) est également égal à \(2\), ce qui signifie qu'on peut aussi écrire \(2=\log_(3)(9)\) . De même avec \(\log_(5)(25)\), et avec \(\log_(9)(81)\), etc. Autrement dit, il s'avère

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Ainsi, si nous en avons besoin, nous pouvons écrire deux sous forme de logarithme avec n'importe quelle base n'importe où (que ce soit dans une équation, dans une expression ou dans une inégalité) - nous écrivons simplement la base au carré comme argument.

C'est la même chose avec le triple – il peut être écrit sous la forme \(\log_(2)(8)\), ou sous la forme \(\log_(3)(27)\), ou sous la forme \(\log_(4)( 64) \)... Ici, nous écrivons la base dans le cube comme argument :

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Et avec quatre :

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Et avec moins un :

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

Et avec un tiers :

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Tout nombre \(a\) peut être représenté sous forme de logarithme de base \(b\) : \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Exemple : Trouver le sens de l'expression \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Solution :

Répondre : \(1\)

1.1. Détermination de l'exposant pour un exposant entier

X1 = X
X2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X - N fois

1.2. Zéro degré.

Par définition, il est généralement admis que la puissance nulle de tout nombre est 1 :

1.3. Degré négatif.

X-N = 1/XN

1.4. Pouvoir fractionnaire, racine.

X 1/N = N racine de X.

Par exemple : X 1/2 = √X.

1.5. Formule pour ajouter des puissances.

X (N+M) = XN *XM

1.6.Formule pour soustraire des puissances.

X (N-M) = X N /X M

1.7. Formule pour multiplier les puissances.

XN*M = (XN)M

1.8. Formule pour élever une fraction à une puissance.

(X/Y) N = X N /Oui N

2. Numéro e.

La valeur du nombre e est égale à la limite suivante :

E = lim(1+1/N), comme N → ∞.

Avec une précision de 17 chiffres, le nombre e est 2,71828182845904512.

3. L'égalité d'Euler.

Cette égalité relie cinq nombres qui jouent un rôle particulier en mathématiques : 0, 1, e, pi, unité imaginaire.

E (je*pi) + 1 = 0

4. Fonction exponentielle exp(x)

exp(x) = ex

5. Dérivée de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle a une propriété remarquable : la dérivée de la fonction est égale à la fonction exponentielle elle-même :

(exp(x))" = exp(x)

6. Logarithme.

6.1. Définition de la fonction logarithme

Si x = b y, alors le logarithme est la fonction

Y = Journal b(x).

Le logarithme montre à quelle puissance un nombre doit être élevé - la base du logarithme (b) pour obtenir un nombre donné (X). La fonction logarithme est définie pour X supérieur à zéro.

Par exemple : Log 10 (100) = 2.

6.2. Logarithme décimal

Voici le logarithme en base 10 :

Y = Journal 10 (x) .

Noté Log(x) : Log(x) = Log 10 (x).

Un exemple d’utilisation du logarithme décimal est le décibel.

6.3. Décibel

L'élément est mis en évidence sur une page séparée Décibel

6.4. Logarithme binaire

Voici le logarithme en base 2 :

Y = Journal 2 (x).

Noté Lg(x) : Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. Un algorithme naturel

Voici le logarithme en base e :

Y = Journal e (x) .

Noté Ln(x) : Ln(x) = Log e (X)
Le logarithme népérien est la fonction inverse de la fonction exponentielle exp(X).

6.6. Points caractéristiques

Log(1) = 0
Log a (a) = 1

6.7. Formule du logarithme du produit

Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)

6.8. Formule du logarithme du quotient

Log a (x/y) = Log a (x)-Log a (y)

6.9. Logarithme de la formule de puissance

Log a (x y) = y*Log a (x)

6.10. Formule de conversion en logarithme avec une base différente

Log b (x) = (Log a (x))/Log a (b)

Exemple:

Journal 2 (8) = Journal 10 (8)/Journal 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Des formules utiles dans la vie

Il existe souvent des problèmes de conversion du volume en surface ou en longueur et le problème inverse : la conversion de la surface en volume. Par exemple, les planches sont vendues en cubes (mètres cubes), et nous devons calculer quelle surface de mur peut être recouverte de planches contenues dans un certain volume, voir calcul des planches, combien de planches y a-t-il dans un cube. Ou, si les dimensions du mur sont connues, vous devez calculer le nombre de briques, voir calcul des briques.

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propriétés principales.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x : y).

motifs identiques

Log6 4 + log6 9.

Maintenant, compliquons un peu la tâche.

Exemples de résolution de logarithmes

Et si la base ou l’argument d’un logarithme était une puissance ? Ensuite, l'exposant de ce degré peut être soustrait du signe du logarithme selon les règles suivantes :

Bien entendu, toutes ces règles ont du sens si l'ODZ du logarithme est respectée : a > 0, a ≠ 1, x >

Tâche. Trouvez le sens de l'expression :

Transition vers une nouvelle fondation

Soit le logarithme logax. Alors pour tout nombre c tel que c > 0 et c ≠ 1, l'égalité est vraie :

Tâche. Trouvez le sens de l'expression :

Voir également:

Propriétés de base du logarithme

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L'exposant est 2,718281828…. Pour mémoriser l'exposant, vous pouvez étudier la règle : l'exposant est égal à 2,7 et deux fois l'année de naissance de Léon Nikolaïevitch Tolstoï.

Propriétés de base des logarithmes

Connaissant cette règle, vous connaîtrez à la fois la valeur exacte de l'exposant et la date de naissance de Léon Tolstoï.

Exemples de logarithmes

Expressions logarithmiques

Exemple 1.
UN). x=10ac^2 (a>0,c>0).

En utilisant les propriétés 3.5, nous calculons

4. Où .

Exemple 2. Trouver x si

Exemple 3. Soit la valeur des logarithmes

Calculer log(x) si

Propriétés de base des logarithmes

Les logarithmes, comme tous les nombres, peuvent être ajoutés, soustraits et transformés de toutes les manières possibles. Mais comme les logarithmes ne sont pas exactement des nombres ordinaires, il existe ici des règles appelées propriétés principales.

Vous devez absolument connaître ces règles - sans elles, aucun problème logarithmique grave ne peut être résolu. De plus, il y en a très peu - on peut tout apprendre en une journée. Alors, commençons.

Additionner et soustraire des logarithmes

Considérons deux logarithmes avec les mêmes bases : logax et logay. Ensuite, ils peuvent être ajoutés et soustraits, et :

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x : y).

Ainsi, la somme des logarithmes est égale au logarithme du produit et la différence est égale au logarithme du quotient. Attention : le point clé ici est motifs identiques. Si les raisons sont différentes, ces règles ne fonctionnent pas !

Ces formules vous aideront à calculer une expression logarithmique même lorsque ses parties individuelles ne sont pas prises en compte (voir la leçon « Qu'est-ce qu'un logarithme »). Jetez un œil aux exemples et voyez :

Puisque les logarithmes ont les mêmes bases, nous utilisons la formule de somme :
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log2 48 − log2 3.

Les bases sont les mêmes, on utilise la formule de différence :
log2 48 − log2 3 = log2 (48 : 3) = log2 16 = 4.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log3 135 − log3 5.

Là encore les bases sont les mêmes, on a donc :
log3 135 − log3 5 = log3 (135 : 5) = log3 27 = 3.

Comme vous pouvez le constater, les expressions originales sont constituées de « mauvais » logarithmes, qui ne sont pas calculés séparément. Mais après les transformations, on obtient des nombres tout à fait normaux. De nombreux tests sont basés sur ce fait. Oui, des expressions de type test sont proposées très sérieusement (parfois avec pratiquement aucun changement) lors de l'examen d'État unifié.

Extraire l'exposant du logarithme

Il est facile de voir que la dernière règle suit les deux premières. Mais il vaut quand même mieux s'en souvenir - dans certains cas, cela réduira considérablement le nombre de calculs.

Bien sûr, toutes ces règles ont du sens si l'ODZ du logarithme est observé : a > 0, a ≠ 1, x > 0. Et encore une chose : apprenez à appliquer toutes les formules non seulement de gauche à droite, mais aussi vice versa , c'est à dire. Vous pouvez saisir les nombres avant le signe du logarithme dans le logarithme lui-même. C'est ce qui est le plus souvent demandé.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log7 496.

Débarrassons-nous du degré dans l'argument en utilisant la première formule :
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tâche. Trouvez le sens de l'expression :

Notez que le dénominateur contient un logarithme dont la base et l'argument sont des puissances exactes : 16 = 24 ; 49 = 72. On a :

Je pense que le dernier exemple nécessite quelques éclaircissements. Où sont passés les logarithmes ? Jusqu'au tout dernier moment, nous travaillons uniquement avec le dénominateur.

Formules de logarithme. Exemples de solutions de logarithmes.

Nous avons présenté la base et l'argument du logarithme sous forme de puissances et avons retiré les exposants - nous avons obtenu une fraction « à trois étages ».

Examinons maintenant la fraction principale. Le numérateur et le dénominateur contiennent le même nombre : log2 7. Puisque log2 7 ≠ 0, nous pouvons réduire la fraction - 2/4 resteront au dénominateur. Selon les règles de l'arithmétique, le quatre peut être transféré au numérateur, ce qui a été fait. Le résultat fut la réponse : 2.

Transition vers une nouvelle fondation

En parlant des règles d'addition et de soustraction de logarithmes, j'ai spécifiquement souligné qu'elles ne fonctionnent qu'avec les mêmes bases. Et si les raisons étaient différentes ? Et s’il ne s’agissait pas de puissances exactes du même nombre ?

Les formules de transition vers une nouvelle fondation viennent à la rescousse. Formulons-les sous la forme d'un théorème :

Soit le logarithme logax. Alors pour tout nombre c tel que c > 0 et c ≠ 1, l'égalité est vraie :

En particulier, si on pose c = x, on obtient :

De la deuxième formule, il s'ensuit que la base et l'argument du logarithme peuvent être intervertis, mais dans ce cas, l'expression entière est « retournée », c'est-à-dire le logarithme apparaît au dénominateur.

Ces formules se retrouvent rarement dans les expressions numériques ordinaires. Il est possible d'évaluer leur commodité uniquement lors de la résolution d'équations logarithmiques et d'inégalités.

Cependant, il existe des problèmes qui ne peuvent être résolus qu’en passant à une nouvelle fondation. Examinons-en quelques-uns :

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log5 16 log2 25.

Notez que les arguments des deux logarithmes contiennent des puissances exactes. Supprimons les indicateurs : log5 16 = log5 24 = 4log5 2 ; log2 25 = log2 52 = 2log2 5 ;

Maintenant, « inversons » le deuxième logarithme :

Étant donné que le produit ne change pas lors de la réorganisation des facteurs, nous avons calmement multiplié quatre par deux, puis nous sommes occupés des logarithmes.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log9 100 lg 3.

La base et l'argument du premier logarithme sont des puissances exactes. Écrivons cela et débarrassons-nous des indicateurs :

Débarrassons-nous maintenant du logarithme décimal en passant à une nouvelle base :

Identité logarithmique de base

Souvent, dans le processus de résolution, il est nécessaire de représenter un nombre sous forme de logarithme sur une base donnée. Dans ce cas, les formules suivantes nous aideront :

Dans le premier cas, le nombre n devient l’exposant de l’argument. Le nombre n peut être absolument n'importe quoi, car il s'agit simplement d'une valeur logarithmique.

La deuxième formule est en fait une définition paraphrasée. C'est comme ça que ça s'appelle : .

En fait, que se passe-t-il si le nombre b est élevé à une puissance telle que le nombre b à cette puissance donne le nombre a ? C'est vrai : le résultat est le même nombre a. Relisez attentivement ce paragraphe – de nombreuses personnes restent bloquées dessus.

Comme les formules pour passer à une nouvelle base, l’identité logarithmique de base est parfois la seule solution possible.

Tâche. Trouvez le sens de l'expression :

Notez que log25 64 = log5 8 - prend simplement le carré de la base et l'argument du logarithme. En tenant compte des règles de multiplication des puissances de même base, on obtient :

Si quelqu'un ne le sait pas, c'était une véritable tâche de l'examen d'État unifié :)

Unité logarithmique et zéro logarithmique

En conclusion, je donnerai deux identités qui peuvent difficilement être qualifiées de propriétés - elles sont plutôt des conséquences de la définition du logarithme. Ils apparaissent constamment dans les problèmes et, étonnamment, créent des problèmes même pour les étudiants « avancés ».

logaa = 1 est. Rappelez-vous une fois pour toutes : le logarithme de n’importe quelle base a de cette base elle-même est égal à un.
loga 1 = 0 est. La base a peut être n'importe quoi, mais si l'argument en contient un, le logarithme est égal à zéro ! Parce que a0 = 1 est une conséquence directe de la définition.

C'est toutes les propriétés. Assurez-vous de vous entraîner à les mettre en pratique ! Téléchargez l'aide-mémoire au début de la leçon, imprimez-la et résolvez les problèmes.

Voir également:

Le logarithme de b en base a désigne l'expression. Calculer le logarithme signifie trouver une puissance x () à laquelle l'égalité est satisfaite

Propriétés de base du logarithme

Il est nécessaire de connaître les propriétés ci-dessus, car presque tous les problèmes et exemples liés aux logarithmes sont résolus sur cette base. Le reste des propriétés exotiques peut être dérivé par des manipulations mathématiques avec ces formules

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Lorsque vous calculez la formule de la somme et de la différence des logarithmes (3.4), vous la rencontrez assez souvent. Le reste est quelque peu complexe, mais dans un certain nombre de tâches, ils sont indispensables pour simplifier des expressions complexes et calculer leurs valeurs.

Cas courants de logarithmes

Certains des logarithmes courants sont ceux dont la base est même dix, exponentielle ou deux.
Le logarithme en base dix est généralement appelé logarithme décimal et est simplement noté lg(x).

Il ressort clairement de l’enregistrement que les bases ne sont pas écrites dans l’enregistrement. Par exemple

Un logarithme népérien est un logarithme dont la base est un exposant (noté ln(x)).

L'exposant est 2,718281828…. Pour mémoriser l'exposant, vous pouvez étudier la règle : l'exposant est égal à 2,7 et deux fois l'année de naissance de Léon Nikolaïevitch Tolstoï. Connaissant cette règle, vous connaîtrez à la fois la valeur exacte de l'exposant et la date de naissance de Léon Tolstoï.

Et un autre logarithme important en base deux est noté

La dérivée du logarithme d'une fonction est égale à un divisé par la variable

Le logarithme intégral ou primitive est déterminé par la relation

Le matériel fourni vous suffit pour résoudre une large classe de problèmes liés aux logarithmes et aux logarithmes. Pour vous aider à comprendre le matériel, je ne donnerai que quelques exemples courants issus du programme scolaire et des universités.

Exemples de logarithmes

Expressions logarithmiques

Exemple 1.
UN). x=10ac^2 (a>0,c>0).

En utilisant les propriétés 3.5, nous calculons

2.
Par la propriété de différence des logarithmes on a

3.
En utilisant les propriétés 3.5, nous trouvons

4. Où .

Une expression apparemment complexe est simplifiée pour être formée à l'aide d'un certain nombre de règles

Trouver des valeurs de logarithme

Exemple 2. Trouver x si

Solution. Pour le calcul, on applique aux derniers termes 5 et 13 les propriétés

Nous l'enregistrons et pleurons

Puisque les bases sont égales, on assimile les expressions

Logarithmes. Premier niveau.

Soit la valeur des logarithmes

Calculer log(x) si

Solution : Prenons un logarithme de la variable pour écrire le logarithme à travers la somme de ses termes

Ce n'est que le début de notre connaissance des logarithmes et de leurs propriétés. Entraînez-vous aux calculs, enrichissez vos compétences pratiques - vous aurez bientôt besoin des connaissances acquises pour résoudre des équations logarithmiques. Après avoir étudié les méthodes de base pour résoudre de telles équations, nous élargirons vos connaissances à un autre sujet tout aussi important : les inégalités logarithmiques...

Propriétés de base des logarithmes

Additionner et soustraire des logarithmes

Considérons deux logarithmes avec les mêmes bases : logax et logay. Ensuite, ils peuvent être ajoutés et soustraits, et :

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x : y).

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log6 4 + log6 9.

Puisque les logarithmes ont les mêmes bases, nous utilisons la formule de somme :
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log2 48 − log2 3.

Les bases sont les mêmes, on utilise la formule de différence :
log2 48 − log2 3 = log2 (48 : 3) = log2 16 = 4.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log3 135 − log3 5.

Là encore les bases sont les mêmes, on a donc :
log3 135 − log3 5 = log3 (135 : 5) = log3 27 = 3.

Extraire l'exposant du logarithme

Maintenant, compliquons un peu la tâche. Et si la base ou l’argument d’un logarithme était une puissance ? Ensuite, l'exposant de ce degré peut être soustrait du signe du logarithme selon les règles suivantes :

Il est facile de voir que la dernière règle suit les deux premières. Mais il vaut quand même mieux s'en souvenir - dans certains cas, cela réduira considérablement le nombre de calculs.

Comment résoudre des logarithmes

C'est ce qui est le plus souvent demandé.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log7 496.

Débarrassons-nous du degré dans l'argument en utilisant la première formule :
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tâche. Trouvez le sens de l'expression :

Notez que le dénominateur contient un logarithme dont la base et l'argument sont des puissances exactes : 16 = 24 ; 49 = 72. On a :

Je pense que le dernier exemple nécessite quelques éclaircissements. Où sont passés les logarithmes ? Jusqu'au tout dernier moment, nous travaillons uniquement avec le dénominateur. Nous avons présenté la base et l'argument du logarithme sous forme de puissances et avons retiré les exposants - nous avons obtenu une fraction « à trois étages ».

Transition vers une nouvelle fondation

Les formules de transition vers une nouvelle fondation viennent à la rescousse. Formulons-les sous la forme d'un théorème :

Soit le logarithme logax. Alors pour tout nombre c tel que c > 0 et c ≠ 1, l'égalité est vraie :

En particulier, si on pose c = x, on obtient :

Cependant, il existe des problèmes qui ne peuvent être résolus qu’en passant à une nouvelle fondation. Examinons-en quelques-uns :

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log5 16 log2 25.

Notez que les arguments des deux logarithmes contiennent des puissances exactes. Supprimons les indicateurs : log5 16 = log5 24 = 4log5 2 ; log2 25 = log2 52 = 2log2 5 ;

Maintenant, « inversons » le deuxième logarithme :

Étant donné que le produit ne change pas lors de la réorganisation des facteurs, nous avons calmement multiplié quatre par deux, puis nous sommes occupés des logarithmes.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log9 100 lg 3.

La base et l'argument du premier logarithme sont des puissances exactes. Écrivons cela et débarrassons-nous des indicateurs :

Débarrassons-nous maintenant du logarithme décimal en passant à une nouvelle base :

Identité logarithmique de base

Souvent, dans le processus de résolution, il est nécessaire de représenter un nombre sous forme de logarithme sur une base donnée. Dans ce cas, les formules suivantes nous aideront :

Dans le premier cas, le nombre n devient l’exposant de l’argument. Le nombre n peut être absolument n'importe quoi, car il s'agit simplement d'une valeur logarithmique.

La deuxième formule est en fait une définition paraphrasée. C'est comme ça que ça s'appelle : .

Comme les formules pour passer à une nouvelle base, l’identité logarithmique de base est parfois la seule solution possible.

Tâche. Trouvez le sens de l'expression :

Notez que log25 64 = log5 8 - prend simplement le carré de la base et l'argument du logarithme. En tenant compte des règles de multiplication des puissances de même base, on obtient :

Si quelqu'un ne le sait pas, c'était une véritable tâche de l'examen d'État unifié :)

Unité logarithmique et zéro logarithmique

logaa = 1 est. Rappelez-vous une fois pour toutes : le logarithme de n’importe quelle base a de cette base elle-même est égal à un.
loga 1 = 0 est. La base a peut être n'importe quoi, mais si l'argument en contient un, le logarithme est égal à zéro ! Parce que a0 = 1 est une conséquence directe de la définition.

C'est toutes les propriétés. Assurez-vous de vous entraîner à les mettre en pratique ! Téléchargez l'aide-mémoire au début de la leçon, imprimez-la et résolvez les problèmes.