Je serai bref. L'angle entre deux droites est égal à l'angle entre leurs vecteurs directeurs. Ainsi, si vous parvenez à trouver les coordonnées des vecteurs directeurs a = (x 1 ; y 1 ; z 1) et b = (x 2 ; y 2 ; z 2), alors vous pouvez trouver l'angle. Plus précisément, le cosinus de l'angle selon la formule :
Voyons comment cette formule fonctionne à l'aide d'exemples spécifiques :
Tâche. Dans le cube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, les points E et F sont marqués - les milieux des arêtes A 1 B 1 et B 1 C 1, respectivement. Trouvez l'angle entre les lignes AE et BF.
Puisque l'arête du cube n'est pas précisée, posons AB = 1. Nous introduisons un système de coordonnées standard : l'origine est au point A, les axes x, y, z sont dirigés selon AB, AD et AA 1, respectivement. Le segment unitaire est égal à AB = 1. Trouvons maintenant les coordonnées des vecteurs directeurs de nos droites.
Trouvons les coordonnées du vecteur AE. Pour cela nous avons besoin des points A = (0 ; 0 ; 0) et E = (0,5 ; 0 ; 1). Puisque le point E est le milieu du segment A 1 B 1, ses coordonnées sont égales à la moyenne arithmétique des coordonnées des extrémités. Notez que l'origine du vecteur AE coïncide avec l'origine des coordonnées, donc AE = (0,5 ; 0 ; 1).
Regardons maintenant le vecteur BF. De même, on analyse les points B = (1 ; 0 ; 0) et F = (1 ; 0,5 ; 1), car F est le milieu du segment B 1 C 1. Nous avons:
BF = (1 − 1 ; 0,5 − 0 ; 1 − 0) = (0 ; 0,5 ; 1).
Les vecteurs directeurs sont donc prêts. Le cosinus de l'angle entre droites est le cosinus de l'angle entre les vecteurs directeurs, on a donc :
Tâche. Dans un prisme triangulaire régulier ABCA 1 B 1 C 1, dont toutes les arêtes sont égales à 1, les points D et E sont marqués - les milieux des arêtes A 1 B 1 et B 1 C 1, respectivement. Trouvez l'angle entre les lignes AD et BE.
Introduisons un système de coordonnées standard : l'origine est au point A, l'axe x est dirigé selon AB, z - selon AA 1. Dirigons l'axe y pour que le plan OXY coïncide avec le plan ABC. Le segment unitaire est égal à AB = 1. Trouvons les coordonnées des vecteurs directeurs des droites recherchées.
Commençons par trouver les coordonnées du vecteur AD. Considérons les points : A = (0 ; 0 ; 0) et D = (0,5 ; 0 ; 1), car D - le milieu du segment A 1 B 1. Puisque le début du vecteur AD coïncide avec l'origine des coordonnées, on obtient AD = (0,5 ; 0 ; 1).
Trouvons maintenant les coordonnées du vecteur BE. Le point B = (1 ; 0 ; 0) est facile à calculer. Avec le point E - le milieu du segment C 1 B 1 - c'est un peu plus compliqué. Nous avons:
Reste à trouver le cosinus de l'angle :
Tâche. Dans un prisme hexagonal régulier ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , dont toutes les arêtes sont égales à 1, les points K et L sont marqués - les milieux des arêtes A 1 B 1 et B 1 C 1, respectivement . Trouvez l'angle entre les lignes AK et BL.
Introduisons un système de coordonnées standard pour un prisme : on place l'origine des coordonnées au centre de la base inférieure, l'axe x est dirigé selon FC, l'axe y est dirigé par les milieux des segments AB et DE, et le z l’axe est dirigé verticalement vers le haut. Le segment unitaire est à nouveau égal à AB = 1. Notons les coordonnées des points qui nous intéressent :
Les points K et L sont respectivement les milieux des segments A 1 B 1 et B 1 C 1, leurs coordonnées sont donc trouvées par la moyenne arithmétique. Connaissant les points, on retrouve les coordonnées des vecteurs directeurs AK et BL :
Trouvons maintenant le cosinus de l'angle :
Tâche. Dans une pyramide quadrangulaire régulière SABCD, dont toutes les arêtes sont égales à 1, les points E et F sont marqués - les milieux des côtés SB et SC, respectivement. Trouvez l'angle entre les lignes AE et BF.
Introduisons un système de coordonnées standard : l'origine est au point A, les axes x et y sont dirigés respectivement le long de AB et AD, et l'axe z est dirigé verticalement vers le haut. Le segment unitaire est égal à AB = 1.
Les points E et F sont respectivement les milieux des segments SB et SC, leurs coordonnées sont donc trouvées comme moyenne arithmétique des extrémités. Notons les coordonnées des points d'intérêt qui nous intéressent :
UNE = (0 ; 0 ; 0); B = (1 ; 0 ; 0)
Connaissant les points, on retrouve les coordonnées des vecteurs directeurs AE et BF :
Les coordonnées du vecteur AE coïncident avec les coordonnées du point E, puisque le point A est l'origine. Reste à trouver le cosinus de l'angle :
Ce document est consacré à un concept tel que l'angle entre deux lignes qui se croisent. Dans le premier paragraphe, nous expliquerons ce que c'est et le montrerons dans des illustrations. Ensuite, nous examinerons les manières dont vous pouvez trouver le sinus, le cosinus de cet angle et l'angle lui-même (nous considérerons séparément les cas avec un plan et un espace tridimensionnel), nous donnerons les formules nécessaires et montrerons avec des exemples exactement comment ils sont utilisés dans la pratique.
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Afin de comprendre quel est l’angle formé lorsque deux lignes se croisent, nous devons nous rappeler la définition même de l’angle, de la perpendiculaire et du point d’intersection.
Définition 1
On appelle deux droites se coupant si elles ont un point commun. Ce point est appelé point d’intersection de deux droites.
Chaque droite est divisée par un point d'intersection en rayons. Les deux lignes droites forment 4 angles, dont deux verticaux et deux adjacents. Si nous connaissons la mesure de l’un d’eux, nous pouvons alors déterminer les autres.
Disons que l'on sait que l'un des angles est égal à α. Dans ce cas, l'angle vertical par rapport à lui sera également égal à α. Pour trouver les angles restants, nous devons calculer la différence 180° - α. Si α est égal à 90 degrés, alors tous les angles seront droits. Les lignes se coupant à angle droit sont appelées perpendiculaires (un article séparé est consacré au concept de perpendiculaire).
Jetez un oeil à la photo :
Passons à la formulation de la définition principale.
Définition 2
L'angle formé par deux lignes sécantes est la mesure du plus petit des 4 angles qui forment ces deux lignes.
Une conclusion importante doit être tirée de la définition : la taille de l'angle dans ce cas sera exprimée par n'importe quel nombre réel dans l'intervalle (0, 90]. Si les lignes sont perpendiculaires, alors l'angle entre elles sera dans tous les cas égal à 90 degrés.
La capacité de trouver la mesure de l’angle entre deux lignes sécantes est utile pour résoudre de nombreux problèmes pratiques. La méthode de résolution peut être choisie parmi plusieurs options.
Pour commencer, nous pouvons prendre des méthodes géométriques. Si nous connaissons quelque chose sur les angles supplémentaires, nous pouvons alors les relier à l’angle dont nous avons besoin en utilisant les propriétés de figures égales ou similaires. Par exemple, si nous connaissons les côtés d'un triangle et devons calculer l'angle entre les lignes sur lesquelles se trouvent ces côtés, alors le théorème du cosinus convient pour le résoudre. Si nous avons un triangle rectangle dans notre condition, alors pour les calculs, nous aurons également besoin de connaître le sinus, le cosinus et la tangente de l'angle.
La méthode des coordonnées est également très pratique pour résoudre des problèmes de ce type. Expliquons comment l'utiliser correctement.
Nous avons un système de coordonnées rectangulaires (cartésiennes) O x y, dans lequel deux lignes droites sont données. Désignons-les par les lettres a et b. Les lignes droites peuvent être décrites à l'aide de certaines équations. Les lignes originales ont un point d'intersection M. Comment déterminer l'angle recherché (notons-le α) entre ces droites ?
Commençons par formuler le principe de base pour trouver un angle dans des conditions données.
Nous savons que le concept de ligne droite est étroitement lié à des concepts tels que vecteur directeur et vecteur normal. Si nous avons une équation d’une certaine droite, nous pouvons en tirer les coordonnées de ces vecteurs. Nous pouvons faire cela pour deux lignes qui se croisent à la fois.
L’angle sous-tendu par deux lignes sécantes peut être trouvé en utilisant :
- angle entre les vecteurs directeurs ;
- angle entre les vecteurs normaux ;
- l'angle entre le vecteur normal d'une ligne et le vecteur directeur de l'autre.
Examinons maintenant chaque méthode séparément.
1. Supposons que nous ayons une droite a avec un vecteur directeur a → = (a x, a y) et une droite b avec un vecteur directeur b → (b x, b y). Traçons maintenant deux vecteurs a → et b → à partir du point d'intersection. Nous verrons ensuite qu'ils seront chacun situés sur leur propre ligne droite. Nous avons ensuite quatre options pour leur disposition relative. Voir l'illustration :
Si l’angle entre deux vecteurs n’est pas obtus, alors ce sera l’angle dont nous avons besoin entre les lignes sécantes a et b. S'il est obtus, alors l'angle souhaité sera égal à l'angle adjacent à l'angle a →, b → ^. Ainsi, α = a → , b → ^ si a → , b → ^ ≤ 90 ° , et α = 180 ° - a → , b → ^ si a → , b → ^ > 90 ° .
Partant du fait que les cosinus d'angles égaux sont égaux, nous pouvons réécrire les égalités résultantes comme suit : cos α = cos a →, b → ^, si a →, b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, si a →, b → ^ > 90°.
Dans le second cas, des formules de réduction ont été utilisées. Ainsi,
cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
Écrivons la dernière formule avec des mots :
Définition 3
Le cosinus de l'angle formé par deux droites sécantes sera égal au module du cosinus de l'angle entre ses vecteurs directeurs.
La forme générale de la formule du cosinus de l'angle entre deux vecteurs a → = (a x , a y) et b → = (b x , b y) ressemble à ceci :
cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
De là, nous pouvons en déduire la formule du cosinus de l’angle entre deux droites données :
cos α = a x b x + a y + by a x 2 + a y 2 b x 2 + by 2 = a x b x + a y + by a x 2 + a y 2 b x 2 + by 2
Ensuite, l'angle lui-même peut être trouvé à l'aide de la formule suivante :
α = a r c cos a x b x + a y + par a x 2 + a y 2 b x 2 + par y 2
Ici a → = (a x , a y) et b → = (b x , by y) sont les vecteurs directeurs des lignes données.
Donnons un exemple de résolution du problème.
Exemple 1
Dans un système de coordonnées rectangulaires sur un plan, deux lignes sécantes a et b sont données. Ils peuvent être décrits par les équations paramétriques x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R et x 5 = y - 6 - 3. Calculez l'angle entre ces lignes.
Solution
Nous avons une équation paramétrique dans notre condition, ce qui signifie que pour cette droite nous pouvons immédiatement noter les coordonnées de son vecteur directeur. Pour ce faire, il faut prendre les valeurs des coefficients du paramètre, c'est-à-dire la droite x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R aura un vecteur directeur a → = (4, 1).
La deuxième ligne est décrite à l'aide de l'équation canonique x 5 = y - 6 - 3. Ici, nous pouvons prendre les coordonnées des dénominateurs. Ainsi, cette droite a un vecteur directeur b → = (5 , - 3) .
Ensuite, nous passons directement à la recherche de l’angle. Pour ce faire, remplacez simplement les coordonnées existantes des deux vecteurs dans la formule ci-dessus α = a r c cos a x · b x + a y + by a x 2 + a y 2 · b x 2 + by y 2 . Nous obtenons ce qui suit :
α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °
Répondre: Ces lignes droites forment un angle de 45 degrés.
Nous pouvons résoudre un problème similaire en trouvant l’angle entre les vecteurs normaux. Si nous avons une ligne a avec un vecteur normal n a → = (n a x , n a y) et une ligne b avec un vecteur normal n b → = (n b x , n b y), alors l'angle entre eux sera égal à l'angle entre n a → et n b → ou l'angle qui sera adjacent à n a →, n b → ^. Cette méthode est illustrée dans l'image :
Les formules pour calculer le cosinus de l'angle entre les lignes qui se croisent et cet angle lui-même en utilisant les coordonnées des vecteurs normaux ressemblent à ceci :
cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n par n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n par 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n par n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n par 2
Ici n a → et n b → désignent les vecteurs normaux de deux droites données.
Exemple 2
Dans un système de coordonnées rectangulaires, deux lignes droites sont données à l'aide des équations 3 x + 5 y - 30 = 0 et x + 4 y - 17 = 0. Trouvez le sinus et le cosinus de l'angle qui les sépare et la grandeur de cet angle lui-même.
Solution
Les lignes originales sont spécifiées à l'aide d'équations de lignes normales de la forme A x + B y + C = 0. Nous désignons le vecteur normal par n → = (A, B). Trouvons les coordonnées du premier vecteur normal pour une ligne et écrivons-les : n a → = (3, 5) . Pour la deuxième ligne x + 4 y - 17 = 0, le vecteur normal aura les coordonnées n b → = (1, 4). Ajoutons maintenant les valeurs obtenues à la formule et calculons le total :
cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
Si nous connaissons le cosinus d’un angle, nous pouvons alors calculer son sinus en utilisant l’identité trigonométrique de base. Puisque l'angle α formé par les droites n'est pas obtus, alors sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.
Dans ce cas, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.
Réponse : cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34
Analysons le dernier cas - trouver l'angle entre des droites si l'on connaît les coordonnées du vecteur directeur d'une droite et du vecteur normal de l'autre.
Supposons que la droite a ait un vecteur directeur a → = (a x , a y) et que la droite b ait un vecteur normal n b → = (n b x , n b y) . Nous devons mettre ces vecteurs à l’écart du point d’intersection et considérer toutes les options pour leurs positions relatives. Voir sur la photo :
Si l'angle entre les vecteurs donnés ne dépasse pas 90 degrés, il s'avère qu'il complétera l'angle entre a et b en un angle droit.
une → , n b → ^ = 90 ° - α si une → , n b → ^ ≤ 90 ° .
S'il fait moins de 90 degrés, alors nous obtenons ce qui suit :
a → , n b → ^ > 90 ° , alors a → , n b → ^ = 90 ° + α
En utilisant la règle d'égalité des cosinus d'angles égaux, on écrit :
cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α pour a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
cos une → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α pour une → , n b → ^ > 90 ° .
Ainsi,
sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , une → , n b → ^ > 0 - cos une → , n b → ^ , une → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
Formulons une conclusion.
Définition 4
Pour trouver le sinus de l'angle entre deux droites se coupant sur un plan, vous devez calculer le module du cosinus de l'angle entre le vecteur directeur de la première droite et le vecteur normal de la seconde.
Écrivons les formules nécessaires. Trouver le sinus d'un angle :
sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n par a x 2 + a y 2 n b x 2 + n par y 2
Trouver l'angle lui-même :
α = a r c sin = a x n b x + a y n par a x 2 + a y 2 n b x 2 + n par y 2
Ici a → est le vecteur directeur de la première ligne, et n b → est le vecteur normal de la seconde.
Exemple 3
Deux droites qui se croisent sont données par les équations x - 5 = y - 6 3 et x + 4 y - 17 = 0. Trouvez l'angle d'intersection.
Solution
Nous prenons les coordonnées du guide et du vecteur normal à partir des équations données. Il s'avère que a → = (- 5, 3) et n → b = (1, 4). Nous prenons la formule α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 et calculons :
α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34
Veuillez noter que nous avons repris les équations du problème précédent et obtenu exactement le même résultat, mais de manière différente.
Répondre:α = a r c sin 7 2 34
Présentons une autre façon de trouver l'angle souhaité en utilisant les coefficients angulaires de droites données.
Nous avons une ligne a, qui est définie dans un système de coordonnées rectangulaires en utilisant l'équation y = k 1 x + b 1, et une ligne b, définie comme y = k 2 x + b 2. Ce sont des équations de droites avec des pentes. Pour trouver l'angle d'intersection, on utilise la formule :
α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, où k 1 et k 2 sont les pentes des droites données. Pour obtenir cet enregistrement, des formules permettant de déterminer l'angle grâce aux coordonnées des vecteurs normaux ont été utilisées.
Exemple 4
Il y a deux droites se coupant dans un plan, données par les équations y = - 3 5 x + 6 et y = - 1 4 x + 17 4. Calculez la valeur de l'angle d'intersection.
Solution
Les coefficients angulaires de nos lignes sont égaux à k 1 = - 3 5 et k 2 = - 1 4. Ajoutons-les à la formule α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 et calculons :
α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34
Répondre:α = a r c cos 23 2 34
Dans les conclusions de ce paragraphe, il convient de noter que les formules pour trouver l'angle données ici ne doivent pas être apprises par cœur. Pour ce faire, il suffit de connaître les coordonnées des guides et/ou des vecteurs normaux de droites données et de pouvoir les déterminer à l'aide de différents types d'équations. Mais il vaut mieux se souvenir ou noter les formules pour calculer le cosinus d'un angle.
Comment calculer l'angle entre les lignes qui se croisent dans l'espace
Le calcul d'un tel angle peut se réduire au calcul des coordonnées des vecteurs directeurs et à la détermination de l'amplitude de l'angle formé par ces vecteurs. Pour de tels exemples, le même raisonnement que celui que nous avons donné précédemment est utilisé.
Supposons que nous ayons un système de coordonnées rectangulaires situé dans un espace tridimensionnel. Il contient deux droites a et b avec un point d'intersection M. Pour calculer les coordonnées des vecteurs directeurs, nous devons connaître les équations de ces droites. Notons les vecteurs directeurs a → = (a x , a y , a z) et b → = (b x , b y , b z) . Pour calculer le cosinus de l'angle qui les sépare, on utilise la formule :
cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Pour trouver l'angle lui-même, nous avons besoin de cette formule :
α = a r c cos a x b x + a y by + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Exemple 5
Nous avons une ligne définie dans l'espace tridimensionnel en utilisant l'équation x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. On sait qu'il coupe l'axe O z. Calculez l'angle d'origine et le cosinus de cet angle.
Solution
Désignons l'angle qui doit être calculé par la lettre α. Notons les coordonnées du vecteur directeur de la première droite – a → = (1, - 3, - 2) . Pour l'axe applicable, nous pouvons prendre le vecteur de coordonnées k → = (0, 0, 1) comme guide. Nous avons reçu les données nécessaires et pouvons les ajouter à la formule souhaitée :
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
En conséquence, nous avons constaté que l'angle dont nous avons besoin sera égal à a r c cos 1 2 = 45 °.
Répondre: cos α = 1 2 , α = 45 ° .
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Il sera utile à chaque étudiant qui se prépare à l'examen d'État unifié de mathématiques de répéter le sujet « Trouver un angle entre des lignes droites ». Comme le montrent les statistiques, lors de la réussite du test de certification, les tâches de cette section de stéréométrie posent des difficultés à un grand nombre d'étudiants. Dans le même temps, les tâches qui nécessitent de trouver l'angle entre des lignes droites se retrouvent dans l'examen d'État unifié aux niveaux de base et spécialisé. Cela signifie que tout le monde devrait pouvoir les résoudre.
Moments de base
Il existe 4 types de positions relatives des lignes dans l'espace. Ils peuvent coïncider, se croiser, être parallèles ou se croiser. L'angle entre eux peut être aigu ou droit.
Pour trouver l'angle entre les lignes dans l'examen d'État unifié ou, par exemple, pour résoudre, les écoliers de Moscou et d'autres villes peuvent utiliser plusieurs méthodes pour résoudre les problèmes de cette section de stéréométrie. Vous pouvez terminer la tâche en utilisant des constructions classiques. Pour ce faire, il vaut la peine d'apprendre les axiomes et théorèmes de base de la stéréométrie. L'élève doit être capable de raisonner logiquement et de créer des dessins afin d'amener la tâche à un problème planimétrique.
Vous pouvez également utiliser la méthode des vecteurs de coordonnées en utilisant des formules, des règles et des algorithmes simples. L'essentiel dans ce cas est d'effectuer correctement tous les calculs. Le projet éducatif Shkolkovo vous aidera à perfectionner vos compétences en résolution de problèmes en stéréométrie et dans d'autres sections du cours scolaire.
ANGLE ENTRE PLANS
Considérons deux plans α 1 et α 2, définis respectivement par les équations :
Sous angle entre deux plans on comprendra l'un des angles dièdres formés par ces plans. Il est évident que l'angle entre les vecteurs normaux et les plans α 1 et α 2 est égal à l'un des angles dièdres adjacents indiqués ou 
. C'est pourquoi 
. Parce que 
Et 
, Que
.
Exemple. Déterminer l'angle entre les plans X+2oui-3z+4=0 et 2 X+3oui+z+8=0.
Condition de parallélisme de deux plans.
Deux plans α 1 et α 2 sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont parallèles, et donc 
.
Ainsi, deux plans sont parallèles entre eux si et seulement si les coefficients des coordonnées correspondantes sont proportionnels :
ou
Condition de perpendiculaire des plans.
Il est clair que deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont perpendiculaires, et donc, ou .
Ainsi, .
Exemples.
DROIT DANS L'ESPACE.
ÉQUATION VECTORIELLE POUR UNE LIGNE.
ÉQUATIONS DIRECTES PARAMÉTRIQUES
La position d'une ligne dans l'espace est entièrement déterminée en spécifiant l'un de ses points fixes M. 1 et un vecteur parallèle à cette droite.
Un vecteur parallèle à une droite s’appelle guides vecteur de cette ligne.
Alors laisse la ligne droite je passe par un point M. 1 (X 1 , oui 1 , z 1), situé sur une droite parallèle au vecteur .
Considérons un point arbitraire M(x,y,z) sur une ligne droite. D'après la figure, il ressort clairement que 
.
Les vecteurs et sont colinéaires, il existe donc un tel nombre t, quoi, où est le multiplicateur t peut prendre n'importe quelle valeur numérique en fonction de la position du point M. sur une ligne droite. Facteur t appelé paramètre. Après avoir désigné les rayons vecteurs des points M. 1 et M. respectivement, grâce à et , on obtient . Cette équation s'appelle vecteuréquation d'une droite. Cela montre que pour chaque valeur de paramètre t correspond au rayon vecteur d'un point M., couché sur une ligne droite.
Écrivons cette équation sous forme de coordonnées. Remarquerez que , 
et d'ici
Les équations résultantes sont appelées paramétriqueéquations d'une droite.
Lors de la modification d'un paramètre t changement de coordonnées X, oui Et z et période M. se déplace en ligne droite.
ÉQUATIONS CANONIQUES DU DIRECT
Laisser M. 1 (X 1 , oui 1 , z 1) – un point situé sur une droite je, Et 
est son vecteur directeur. Prenons à nouveau un point arbitraire sur la droite M(x,y,z) et considérons le vecteur .
Il est clair que les vecteurs sont également colinéaires, leurs coordonnées correspondantes doivent donc être proportionnelles, donc
– canoniqueéquations d'une droite.
Note 1. Notez que les équations canoniques de la droite pourraient être obtenues à partir des équations paramétriques en éliminant le paramètre t. En effet, à partir des équations paramétriques on obtient 
ou .
Exemple.Écrivez l'équation de la droite 
sous forme paramétrique.
Notons 
, d'ici X = 2 + 3t, oui = –1 + 2t, z = 1 –t.
Note 2. Soit la droite perpendiculaire à l'un des axes de coordonnées, par exemple l'axe Bœuf. Alors le vecteur directeur de la droite est perpendiculaire Bœuf, ainsi, m=0. Par conséquent, les équations paramétriques de la droite prendront la forme
Exclure le paramètre des équations t, on obtient les équations de la droite sous la forme
Cependant, dans ce cas aussi, on convient d'écrire formellement les équations canoniques de la droite sous la forme 
. Ainsi, si le dénominateur d'une des fractions est nul, cela signifie que la droite est perpendiculaire à l'axe de coordonnées correspondant.
Semblable aux équations canoniques 
correspond à une droite perpendiculaire aux axes Bœuf Et Oy ou parallèle à l'axe Oz.
Exemples.
ÉQUATIONS GÉNÉRALES D'UNE LIGNE DROITE COMME LIGNES D'INTERSECTION DE DEUX PLANS
À travers chaque ligne droite de l’espace se trouvent d’innombrables plans. Deux d'entre eux, se croisant, le définissent dans l'espace. Par conséquent, les équations de deux de ces plans, considérées ensemble, représentent les équations de cette droite.
En général, deux plans non parallèles donnés par les équations générales
déterminer la droite de leur intersection. Ces équations sont appelées équations générales droit.
Exemples.
Construire une droite donnée par les équations 
Pour construire une droite, il suffit de trouver deux de ses points. Le moyen le plus simple consiste à sélectionner les points d'intersection d'une ligne droite avec des plans de coordonnées. Par exemple, le point d'intersection avec le plan xOy on obtient des équations de la droite, en supposant z= 0:
Après avoir résolu ce système, nous trouvons le point M. 1 (1;2;0).
De même, en supposant oui= 0, on obtient le point d'intersection de la droite avec le plan xOz:
Des équations générales d'une droite on peut passer à ses équations canoniques ou paramétriques. Pour ce faire, vous devez trouver un point M. 1 sur une droite et le vecteur directeur d’une droite.
Coordonnées des points M. 1 on obtient de ce système d'équations, donnant à l'une des coordonnées une valeur arbitraire. Pour trouver le vecteur directeur, notez que ce vecteur doit être perpendiculaire aux deux vecteurs normaux 
Et 
. Donc, au-delà du vecteur directeur de la droite je vous pouvez prendre le produit vectoriel de vecteurs normaux :
.
Exemple. Donner les équations générales de la droite 
à la forme canonique.
Trouvons un point situé sur une ligne. Pour ce faire, on choisit arbitrairement l'une des coordonnées, par exemple, oui= 0 et résolvez le système d'équations :
Les vecteurs normaux des plans définissant la droite ont pour coordonnées 
Le vecteur direction sera donc droit
. Ainsi, je: 
.
ANGLE ENTRE DROITES
Angle entre les lignes droites dans l'espace, nous appellerons n'importe lequel des angles adjacents formés par deux lignes droites passant par un point arbitraire parallèle aux données.
Soit deux droites dans l'espace :
Évidemment, l'angle φ entre les droites peut être considéré comme l'angle entre leurs vecteurs directeurs et . Puisque , alors en utilisant la formule du cosinus de l'angle entre les vecteurs, nous obtenons
Définition. Si deux lignes sont données y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, alors l'angle aigu entre ces lignes sera défini comme
Deux droites sont parallèles si k 1 = k 2. Deux droites sont perpendiculaires si k 1 = -1/ k 2.
Théorème. Les droites Ax + Bу + C = 0 et A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sont parallèles lorsque les coefficients A 1 = λA, B 1 = λB sont proportionnels. Si aussi C 1 = λC, alors les droites coïncident. Les coordonnées du point d'intersection de deux droites sont trouvées comme solution du système d'équations de ces droites.
Équation d'une droite passant par un point donné
Perpendiculaire à une ligne donnée
Définition. Une droite passant par le point M 1 (x 1, y 1) et perpendiculaire à la droite y = kx + b est représentée par l'équation :
Distance d'un point à une ligne
Théorème. Si un point M(x 0, y 0) est donné, alors la distance à la ligne Ax + Bу + C = 0 est déterminée comme
.
Preuve. Soit le point M 1 (x 1, y 1) la base de la perpendiculaire tombant du point M à une droite donnée. Puis la distance entre les points M et M 1 :
(1)
Les coordonnées x 1 et y 1 peuvent être trouvées en résolvant le système d'équations :
La deuxième équation du système est l'équation d'une droite passant par un point donné M 0 perpendiculaire à une droite donnée. Si l'on transforme la première équation du système sous la forme :
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Par 0 + C = 0,
alors, en résolvant, on obtient :
En substituant ces expressions dans l'équation (1), nous trouvons :
Le théorème a été prouvé.
Exemple. Déterminez l'angle entre les lignes : y = -3 x + 7 ; y = 2 x + 1.
k 1 = -3 ; k2 = 2 ; tgφ = 
; φ = p /4.
Exemple. Montrer que les droites 3x – 5y + 7 = 0 et 10x + 6y – 3 = 0 sont perpendiculaires.
Solution. On trouve : k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, donc les droites sont perpendiculaires.
Exemple. Sont donnés les sommets du triangle A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Trouvez l'équation de la hauteur tirée du sommet C.
Solution. On retrouve l’équation du côté AB : 
; 4 x = 6 oui – 6 ;
2 x – 3 oui + 3 = 0 ;
L'équation de hauteur requise a la forme : Ax + By + C = 0 ou y = kx + b. k = . Alors y = . Parce que la hauteur passe par le point C, alors ses coordonnées satisfont à cette équation : 
d'où b = 17. Total : . 
Réponse : 3 x + 2 y – 34 = 0.
L'équation d'une droite passant par un point donné dans une direction donnée. Équation d'une droite passant par deux points donnés. L'angle entre deux lignes droites. La condition de parallélisme et de perpendiculaire de deux lignes droites. Déterminer le point d'intersection de deux lignes
1. Équation d'une droite passant par un point donné UN(X 1 , oui 1) dans une direction donnée, déterminée par la pente k,
oui - oui 1 = k(X - X 1). (1)
Cette équation définit un crayon de lignes passant par un point UN(X 1 , oui 1), appelé centre du faisceau.
2. Équation d'une droite passant par deux points : UN(X 1 , oui 1) et B(X 2 , oui 2), écrit ainsi :
Le coefficient angulaire d'une droite passant par deux points donnés est déterminé par la formule
3. Angle entre les lignes droites UN Et B est l'angle dont la première ligne droite doit être tournée UN autour du point d'intersection de ces lignes dans le sens inverse des aiguilles d'une montre jusqu'à ce qu'il coïncide avec la deuxième ligne B. Si deux droites sont données par des équations avec une pente
oui = k 1 X + B 1 ,
oui = k 2 X + B 2 , (4)
alors l'angle entre eux est déterminé par la formule
Il est à noter qu'au numérateur de la fraction, la pente de la première droite est soustraite de la pente de la deuxième droite.
Si les équations d'une droite sont données sous forme générale
UN 1 X + B 1 oui + C 1 = 0,
UN 2 X + B 2 oui + C 2 = 0, (6)
l'angle entre eux est déterminé par la formule
4. Conditions de parallélisme de deux droites :
a) Si les droites sont données par les équations (4) avec un coefficient angulaire, alors la condition nécessaire et suffisante de leur parallélisme est l'égalité de leurs coefficients angulaires :
k 1 = k 2 . (8)
b) Pour le cas où les droites sont données par des équations sous la forme générale (6), une condition nécessaire et suffisante pour leur parallélisme est que les coefficients des coordonnées actuelles correspondantes dans leurs équations soient proportionnels, c'est-à-dire
5. Conditions de perpendiculaire de deux droites :
a) Dans le cas où les droites sont données par les équations (4) avec un coefficient angulaire, une condition nécessaire et suffisante pour leur circularité est que leurs coefficients angulaires soient inverses en grandeur et opposés en signe, c'est-à-dire
Cette condition peut aussi s’écrire sous la forme
k 1 k 2 = -1. (11)
b) Si les équations des droites sont données sous la forme générale (6), alors la condition de leur circularité (nécessaire et suffisante) est de satisfaire l'égalité
UN 1 UN 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
6. Les coordonnées du point d'intersection de deux droites sont trouvées en résolvant le système d'équations (6). Les lignes (6) se coupent si et seulement si
1. Écrivez les équations des droites passant par le point M, dont l'une est parallèle et l'autre perpendiculaire à la droite donnée l.
