Chichkine V., Kudryavtseva G. V.

RVB Lach

droits des mains

Doguchaeva Svetlana Magomedovna

Méthodes constructives pour résoudre des problèmes de valeurs limites avec frontières libres pour des équations non linéaires de type parabolique

Spécialité 01.01.03 - Physique mathématique

mémoire pour le diplôme de candidat en sciences physiques et mathématiques

Naltchik -

Les travaux ont été réalisés à l'Université d'État de Kabardino-Balkarie. SM. Berbekov et l'Institut de mathématiques HAH d'Ukraine.

Encadrement scientifique : Docteur en Physique et Mathématiques

Sciences, professeur Berezovsky A.A.

Adversaires officiels : Docteur en Physique et Mathématiques

Sciences, professeur Shogenov V.Kh. Candidate en sciences physiques et mathématiques, professeure agrégée Bechelova A.R.

Organisation leader : Institut de recherche

Mathématiques appliquées et automatique KBSC RAS

La soutenance aura lieu le 28 décembre 2000. à 10 h 22 lors d'une réunion du Conseil spécialisé K063.88.06 à l'Université d'État de Kabardino-Balkarie à l'adresse :

360004, Naltchik, st. Tchernychevski, 173.

La thèse peut être trouvée dans la bibliothèque KBSU.

Secrétaire scientifique DS K063.88.06 Ph.D. Kaygermazov A.A.

description générale du travail

Pertinence du sujet. Lors de l'étude de problèmes de valeurs limites non linéaires qui décrivent les processus de pollution et de recréation de l'environnement, reflétant, avec la diffusion, l'adsorption et les réactions chimiques, les problèmes de type Stefan avec une frontière libre et des sources qui dépendent de manière significative du champ de concentration souhaité sont particulièrement importants. intérêt. En termes théoriques, les questions d'existence, d'unicité, de stabilisation et de localisation spatiale des solutions restent pertinentes pour de tels problèmes. En termes pratiques, le développement de méthodes numériques et analytiques efficaces pour les résoudre semble particulièrement important.

Le développement de méthodes efficaces de solution approximative des problèmes de cette classe permet d'établir des dépendances fonctionnelles des principaux paramètres du processus sur les données d'entrée, permettant de calculer et de prédire l'évolution du processus considéré.

Parmi les travaux qui considèrent la solvabilité des problèmes de type Stefan avec une frontière libre, il convient de noter les travaux d'A.A. Samarsky, O.A. Oleinik, S.A. Kamenomostkoy, L.I. Rubenstein et autres.

But du travail. Le but de cette thèse est d'étudier les problèmes à frontières libres dans une nouvelle formulation qui modélise les processus de transfert et de diffusion, en tenant compte de la réaction des polluants dans les problèmes environnementaux ; leur recherche qualitative et, principalement, le développement de méthodes constructives pour construire des solutions approximatives aux problèmes posés.

Méthodes générales de recherche. Les résultats des travaux ont été obtenus en utilisant la méthode Birkhoff de séparation des variables, la méthode des équations intégrales non linéaires, la méthode Rothe, ainsi que la méthode de linéarisation équivalente

Nouveauté scientifique et valeur pratique. Des énoncés de problèmes tels que le problème de Stefan étudié dans la thèse sont considérés pour la première fois. Pour cette classe de problèmes, les principaux résultats suivants ont été obtenus pour la défense :

1. Des effets qualitativement nouveaux de la localisation spatio-temporelle ont été étudiés

2. Les conditions nécessaires à la localisation spatiale et à la stabilisation jusqu'aux états stationnaires limites ont été établies,

Les résultats des travaux de thèse peuvent être utilisés pour formuler et résoudre divers problèmes des sciences naturelles modernes, en particulier la métallurgie et la cryomédecine, et semblent être des méthodes très efficaces pour prévoir, par exemple, l'environnement aérien.

Approbation des travaux. Les principaux résultats de la thèse ont été rapportés et discutés lors du séminaire du Département de physique mathématique et de théorie des oscillations non linéaires de l'Institut de mathématiques du HAH d'Ukraine et du Département de physique mathématique de l'Université Taras Shevchenko de Kiev, à l'International Conférence "Problèmes non linéaires des équations différentielles et de la physique mathématique" (août 1997, Nalchik), au séminaire de la Faculté de mathématiques de l'Université d'État de Kabardino-Balkarie sur la physique mathématique et les mathématiques computationnelles.

Structure et étendue du travail. Le travail de thèse comprend une introduction, trois chapitres, une conclusion et une liste de littérature citée contenant 82 titres. Étendue des travaux:

Il s'agit de 96 pages tapées dans l'environnement Microsoft Office 97 (style Times Roman).

L'introduction justifie la pertinence du sujet, formule l'objectif de la recherche, fournit un bref aperçu et une analyse de l'état actuel des problèmes étudiés dans la thèse et fournit une annotation des résultats obtenus.

Le premier chapitre propose une description générale des problèmes de diffusion dans les milieux actifs, c'est-à-dire les milieux dans lesquels les effluents dépendent fortement de la concentration. Des restrictions physiques sur les flux sont indiquées dans lesquelles le problème est réduit au problème suivant avec des frontières libres Г(/) pour une équation parabolique quasi-linéaire dans la région Cl(t) :

с, = div(K(p,t,c)gradc)~ div(cu)- f(c) + w dans Q(i), t > 0, сИ = с0ИвП(0)

(K(p,t,c)-grad(c,n))+ac - accp sur S(t), (1)

c(p,t) = 0, (K(p,t,c) grad(c,n)) = 0 sur T(i),

où K(p,t,c) est le tenseur de diffusion turbulente ; et est le vecteur vitesse du milieu, c(p,t) est la concentration du milieu.

Dans le premier chapitre, une attention considérable est accordée à la formulation de problèmes de valeurs limites initiales pour les surfaces du niveau de concentration dans le cas de processus de diffusion dirigée, lorsqu'il existe une correspondance biunivoque entre la concentration et l'une des coordonnées spatiales. La dépendance monotone c = c(x,y, z,t) sur z permet de transformer l'équation différentielle, les conditions initiales et aux limites du problème pour le champ de concentration en une équation différentielle et les conditions supplémentaires correspondantes pour le champ de ses surfaces de niveau z = z(x,y,c,t) . Ceci est réalisé en différenciant les fonctions inverses, en résolvant l'équation d'une surface connue S :<$>(x,y,z,t) = 0 fonctions, résolution de l'équation de la surface connue S : y, z, t) = 0 -» z = zs (x, y, t) et pro-

lire l'identité c(x,y,r5^)=c(x,y^). L'équation différentielle (1) pour C est ensuite transformée en une équation pour r - Ar - r, - /(c)rc,

où Ar = Ym(K-Ugg)-

Année = rx1 + r y] + k,

Lors du passage des variables indépendantes x, y, z aux variables indépendantes x, y, c, la zone physique se transforme en une zone non physique limitée en partie

le plan c=O, dans lequel va la surface libre Г, et la surface inconnue généralement libre c=c(x,y,1), dans laquelle va la surface connue 5(1).

Contrairement à l'opérateur cYu^ac1c du problème direct, l'opérateur A du problème inverse est essentiellement non linéaire. La thèse prouve la positivité de l'équation quadratique correspondant à l'opérateur A

forme +m]2 +y£2 -2a^ - 2/3m]^ et ainsi son ellipticité est établie, ce qui nous permet d'envisager des problèmes dans cette formulation. En intégrant par parties, nous avons obtenu un analogue de la première formule de Green pour l'opérateur A

c(x,y,1) c(0

jjdxdy |et Azdc-

Nous considérons un problème avec une frontière libre pour un champ de concentration c = c(x, y, 1,1), lorsque la condition de Dirichlet est spécifiée sur la surface £(£)

diviK.grayc) - c, = /(c) - c>, Re * > O c(P,0) = co(P), ReI(0),

c =

с = 0, K- = 0, PeY(t), t> О ôn

Dans ce cas, la transition par rapport à la surface plane z = z(x,y,c,о) a permis de s'affranchir de la surface libre c = c(x, y,t), puisqu'elle est entièrement déterminée par le Condition de Dirichlet c(x,y,0 =

superficie connue : Qc(i) :

Az = z, - (/(с) -w(z)]zc x,yeD(t), 0<с O, z(x,y,c,0) = Zq (x,y,c), x,ye D(t), (3)

z(x,y,c,t) = zs(x,y,c,t), c = c(x,y,t), x,y e D(t), t> 0, zc(x,y ,0,0 = -°°, x,yeD(t), t> 0,

Ici, nous examinons également la question de l’unicité de la solution au problème (3).

Le théorème suivant est valable

Théorème 1. Si la fonction source W = COïlSt, la fonction puits f(c) augmente de façon monotone et /(o) = 0, alors la solution du problème de Dirichlet (2) pour les surfaces planes est positive et unique.

Le troisième paragraphe du premier chapitre traite des effets qualitatifs des processus de diffusion accompagnés d'adsorption et de réactions chimiques. Ces effets ne peuvent pas être décrits sur la base d’une théorie linéaire. Si dans ce dernier la vitesse de propagation est infinie et donc il n'y a pas de localisation spatiale, alors les modèles non linéaires de diffusion avec réaction considérée, avec les dépendances fonctionnelles du coefficient de diffusion turbulente K et de la densité de l'effluent (cinétique d'une réaction chimique) f sur la concentration c établie dans les travaux, permettent de décrire les effets de co-réaction réellement observés.

vitesse finie de propagation, localisation spatiale et stabilisation sur un temps fini (récréation) des polluants. Les travaux ont établi que les effets répertoriés peuvent être décrits à l'aide des modèles proposés s'il existe une intégrale inappropriée.

¡K(w)~2dw< оо (4)

Nous considérons le problème de valeur limite initiale non local (1) correspondant avec d - O

ffed^ 1 Ac), o oh,

oz\ oz) à c(z,0) = 0, 0< z < то, /00 / \\\ct+f{c)\lzdt = -\Q{t)dt, t>0 ; 00 0 cc

c( ,t) = 0, K(c)- = 0, z =°o>0. dz

Le problème stationnaire sous forme sans coordonnées a la forme : div(K(c) grade) = f(c) dans Q \ P (0< с < да},

(.K(c)grad(c,n))+ac = 0 sur S = dQf)dD, (5) c = 0, (K(c)grad(c,n)) = 0 sur Г=(с = 0) = aoP£>, jff/(c)dv + afj cds = Q.

Dans un semi-voisinage du point P e G, le passage à la forme de notation semi-coordonnée a permis d'obtenir le problème de Cauchy

Divx(K(c)gradTc) = /(c) dans (O (^<0),(6)

c = 0, K(c)- = 0,7 = 0,07

où 17 est la coordonnée mesurée le long de la normale R à Γ au point P, et les deux autres coordonnées cartésiennes r, r2 se trouvent dans le plan tangent à Γ au point P. Puisque en o nous pouvons supposer que c(r, r2 μ) dépend faiblement des coordonnées tangentielles, c'est-à-dire

c(r,m2 Г]) = c(t]), alors pour déterminer c(//) à partir de (6) le problème de Cauchy suit

Ad- =/(c), r|<0,

c = o, ad-=0,7 = 0.

Une solution exacte au problème (7) est obtenue.

77(s) = |l:(i>) 21 K(y)/(y)<ь (8)

o |_ 0 et le théorème suivant est prouvé

Théorème 2. Une condition nécessaire à l'existence d'une solution spatialement localisée aux problèmes non locaux considérés avec des frontières libres est l'existence d'une intégrale impropre (4).

De plus, il a été prouvé que la condition (4) est nécessaire et suffisante pour l’existence d’une solution spatialement localisée au problème stationnaire non local suivant avec une frontière libre :

0 < г < оо,

c(oo) = 0, DG(c)-= 0, g

c'est-à-dire que cela a lieu

Théorème 3. Si la fonction f(c) satisfait aux conditions f(c) = c2/M, V2 0, et K(c) est une fonction positive continue, alors pour tout Q> ​​O, une solution positive au problème des valeurs limites non locales (9) existe et est unique.

Ici, nous considérons également les questions de loisirs environnementaux dans un temps fini qui sont très importantes pour la pratique. Dans les travaux de V.V. Kalachnikov (1974) et A.A. Samarsky (1982) à l'aide de théorèmes de comparaison, ce problème se réduit à résoudre l'inégalité différentielle

- < -/(с), где с - пространственно однородное (т.е. не завися-dt

en fonction des coordonnées) solution. Parallèlement, une estimation du temps de récréation a été obtenue

Contrairement à ces approches, la thèse a tenté d'obtenir des estimations plus précises qui prendraient en compte la distribution initiale de la concentration de CD (x) et de son porteur 5(0).

A cet effet, en utilisant les estimations a priori obtenues dans le travail, une inégalité différentielle a été trouvée pour la norme au carré de la solution

d'où découle une estimation plus précise de T

T< ,(1+/?жо)

où c est la racine de l'équation

"(1 -ru2lUg

2_0-/у с /2 =<р,

y(t) HkMI2 , s(0) = ~-p(l + /))c

Le deuxième chapitre est consacré aux enjeux de modélisation des processus de transfert et de diffusion d'impuretés passives dans les milieux stratifiés. Le point de départ ici est le problème (1) avec /(c) 3 O et la condition aux limites de Dirichlet ou la condition non locale ct = div(K(p,t,c)gradc) - div(cü) + с dans Q(t ), t> À PROPOS

с(р,0) = со(р) dans OD,

c(p,t) = q>(p,t) sur S(t) ou jc(p,t)dv = Q(t), (13)

c(p,t) = O, (K(p,t,c)grad(c,n)) = 0 sur Г(0) Des problèmes unidimensionnels de diffusion turbulente sont considérés en tenant compte de la dépendance du coefficient de diffusion en échelle, temps et concentration. Ils représentent des problèmes locaux et non locaux pour l'équation quasi-linéaire

où K(g,(,c) =K0<р(()гтс1!; <р^) - произвольная функция;

K0, m et k sont des constantes. Des solutions particulières de cette équation sont recherchées par la méthode de séparation des variables sous la forme

c(r,t) = f(t)B(rj), р>О,

où les fonctions /(/),5(r]),φ(/) et le paramètre p sont déterminés lors du processus de séparation des variables dans (14). En conséquence, une équation différentielle ordinaire pour B(t]) a été obtenue

et présentations

c(r,t)^(t)f B(rj), =

signification

arbitraire

constante

C, - Cx et Cx = (t ^/équation (16) permet une détermination exacte

toutes solutions dépendant d’une constante arbitraire. Cette dernière peut être déterminée en satisfaisant certaines conditions supplémentaires. Dans le cas de la condition aux limites de Dirichlet

с(0.0 = В0[ф(0]У* (18)

une solution exacte localisée spatialement a été obtenue dans le cas k>0,m<2:

t)0 = [v*K0(2 - t)p / k]P"(2~t\ p = pk + 2-t.

et la solution exacte non localisée dans le cas de<0, т<2:

0<г<гф(0 , гД0<г<со

s(r,1)=В«Ш-п

À PROPOS< Г < 00. (20)

u = [k0(2-t)r/vU1|4"(2_t)5 R = 2-t-p\k[

Ici= |f(t)s1t; gf (/) = . Lorsque k 0 de reçu-

des solutions suivantes suit la solution du problème linéaire

cM = vM) G/(1"t) exp[- g2- /(1 - t)gK^)\

qui, lorsque φ(() = 1 et m - 0, est transformée en solution fondamentale de l'équation de diffusion.

Des solutions exactes ont également été obtenues dans le cas de sources concentrées à action instantanée ou permanente, lorsqu'une condition aux limites non locale supplémentaire de la forme

Q =

où fils est l'aire d'une sphère unitaire (i>1 = 2, eog = 27u, o)b = 4l").

Les solutions exactes trouvées pour k > O de la forme (19) représentent une onde de diffusion se propageant à travers un milieu non perturbé avec une vitesse finie. À k< 0 такой эффект пространственной локализации возмущения исчезает.

où K(r,x,c) = KcK(x)gtsk, ô(r)~ Fonction delta de Dirac ; Alimentation de la source Q. L'interprétation de la coordonnée X en temps / a également permis d'obtenir des solutions partielles exactes pour (22)

0<г <гф(х), Гф(х)<Г< 00,

" 2Скг(2 + 2к)Кь ko

lky(2 + 2ku

La solution (23) permet en principe de décrire la localisation spatiale d'une perturbation de diffusion. Dans ce cas, le front de l'onde diffusante est déterminé, séparant les régions à concentrations nulles et non nulles. Pour k -> 0, cela implique la solution bien connue de Roberts, qui ne permet cependant pas de décrire la localisation spatiale.

Le troisième chapitre de la thèse est consacré à l'étude de problèmes spécifiques de diffusion avec réaction dans un environnement aérien stratifié, qui est le problème suivant unidimensionnel à frontière libre.

leurx~u1=/(u)> 0< лт < £(/), />0,

u(x,0) = u0(x), 0<х< 5(0), (24)

leur -II = ~)r<р, х = 0, ¿>0,

u- 0, leur= 0, x = ¿>0.

Une implémentation numérique et analytique du problème (24) a été réalisée, basée sur la méthode de Rothe, qui a permis d'obtenir l'approximation suivante du problème sous la forme d'un système de problèmes aux limites pour les équations différentielles ordinaires par rapport au valeur approximative u(x) = u(x^k), et

u(x) = u(x,1k_)) :

u"-t~1u = ir - r"1u, 0< дг <

u"-Ui = -bср, x = 0, (25)

n(l) = 0 n"O) = 0.

La solution du problème (25) se réduit aux équations intégrales non linéaires de Volterra

u(x) - l/t ¡зИ-^

Pour les calculs numériques, la résolution de (26), (27) par approximation de dimension finie se réduit à trouver des solutions à un système d'équations algébriques non linéaires par rapport aux valeurs nodales u] = u(x]) a sj.

Les problèmes de frontières libres dans le problème de la pollution et de l'auto-épuration de l'atmosphère par des sources ponctuelles sont également examinés ici.

par des précisionnistes. En l'absence de surface adsorbante S(t) (mesS = 0) dans le cas de sources de pollution planes, cylindriques ou ponctuelles, lorsque la concentration dépend d'une coordonnée spatiale - distance à la source et temps, la plus simple unidimensionnelle un problème non local avec une frontière libre est obtenu

-^=/(s),0<г<гф(0,">0,

1 d f „_, 8 s

g""1 dg( dgu

c(r,0) = 0, 0< г < (0) (28)

с(r,0 = 0, - = 0, r = gf(0, t> 0;

2--- = xx~rir, 0<л 0,

Je 1 T + - \QiDdt (29)

La solution du problème (28), (29) a été construite en utilisant la méthode de Rothe en combinaison avec la méthode des équations intégrales non linéaires.

En transformant les variables dépendantes et indépendantes, le problème non local avec une frontière libre autour d'une source ponctuelle est réduit à la forme canonique

u(x,0) = 0, 0<л; <5(0), (5(0) = 0), (30)

m(5(g),g) = m;s(5(g),g) = 0, g>0

Dans des cas particuliers, des solutions exactes des problèmes stationnaires non locaux correspondants avec une frontière libre pour l'équation d'Emden-Fowler sont obtenues

■ xx~ßuss, 0

u(s) = ux($) = 0, Jjf2 pußdx = q

] = (1 / 6)(2 s + x)(s -x)r, où

Parallèlement à la méthode de Rothe en combinaison avec la méthode des équations intégrales, la solution du problème non stationnaire (31) est construite par la méthode de linéarisation équivalente. Cette méthode utilise essentiellement la construction d’une solution à un problème stationnaire. En conséquence, le problème est réduit au problème de Cauchy pour une équation différentielle ordinaire, dont la solution peut être obtenue par l'une des méthodes approchées, par exemple la méthode Runge-Kutta.

1. Berezovsky A.A., Doguchaeva S.M. Localisation spatiale et stabilisation dans les processus de diffusion avec réaction //Dopovda HAH Décoration. -1998. -N°2. -AVEC. 1-5.

2. Berezovsky N.A., Doguchaeva S.M. Les problèmes de Stefan dans le problème de la pollution et de l'auto-épuration de l'environnement par des sources ponctuelles // Problèmes de valeurs limites non linéaires de la physique mathématique et leurs applications. - Kiev : Institut de mathématiques HAH d'Ukraine, 1995. -

3. Berezovska JI.M., Doguchaeva S.M. Problème D1r1hle pour le haut r1vrya du domaine de concentration // Méthodes mathématiques dans les progrès scientifiques et techniques - Kshv : Institut de mathématiques HAH Ukrashi, 1996.-P.9-14.

4. Berezovsky A.A., Doguchaeva S.M. Modèle mathématique d'obstruction et d'auto-purification du milieu otuchuny point par point dzherel //Problèmes de frontières libres et problèmes non locaux pour les équations paraboliques non linéaires. - Kiev : Institut de Mathématiques HAH d'Ukraine, 1996. P.13-16.

5. Doguchaeva S.M. Problèmes de limites libres dans les problèmes environnementaux // Problèmes de valeurs limites non linéaires Math. physique et leurs applications - Kiev : Inst. Mathématiques HAH d'Ukraine, 1995.-

6. Doguchaeva Svetlana M., Berezovsky Arnold A. Modèles mathématiques de diffusion, de décomposition et de sorption de gaz, de fumée et d'autres types de pollution dans une atmosphère turbulente // Conférence internationale sur les équations différentielles non linéaires, Kiev, 21-27 août 1995, p. . 187.

7. Doguchaeva S.M. Localisation spatiale des solutions aux problèmes de valeurs limites pour une équation parabolique dégénérée dans un problème environnemental // Problèmes de valeurs limites non linéaires Math. Physiciens et leurs applications.-Kiev : Institut de mathématiques HAH d'Ukraine,

1996.-S. 100-104.

8. Doguchaeva S.M. Problème de Cauchy unidimensionnel pour les surfaces planes du champ de concentration //Problèmes de frontières libres et problèmes non locaux pour les équations paraboliques non linéaires. -Kiev : Institut de Mathématiques HAH d'Ukraine, 1996 - P. 27-30.

9. Doguchaeva S.M. Effets qualitatifs des processus de diffusion et de transfert de masse, accompagnés d'adsorption et de réactions chimiques // Problèmes non linéaires d'équations différentielles et de physique mathématique. -Kiev : Institut de Mathématiques,

1997,-S. 103-106.

10. Doguchaeva S.M. Problèmes avec des frontières libres pour une équation parabolique dégénérée dans le problème environnemental //Dopovts HAH Décorations. - 1999. - N°12 - P.28-29.

ABA I. ÉNONCÉS DE PROBLÈMES CLASSIQUES ET SPÉCIAUX

AVEC FRONTIÈRES LIBRE.

I. Caractéristiques générales des problèmes de transfert de masse et de diffusion avec réaction.

I. Problèmes de valeurs limites initiales pour les surfaces planes du champ de concentration. Effets qualitatifs des processus de diffusion accompagnés d'adsorption et de réactions chimiques.

I. Stabilisation en temps fini vers des solutions stationnaires et spatialement localisées.

ABAII. ETUDE DES PROBLEMES DE TRANSFERT NON LINÉAIRE ET

DIFFUSION D'IMPURETÉS PASSIVES DANS DES MILIEUX STRATIFIÉS.

Une méthode pour séparer les variables dans une équation de diffusion et de transport parabolique quasi-linéaire.

Solutions exactes aux problèmes de diffusion et de transfert à partir de sources concentrées, instantanées et agissant en permanence dans un milieu au repos.

ABA III. MODÈLES MATHÉMATIQUES DE PROCESSUS DE DIFFUSION

AVEC RÉACTION.

Méthode de Rothe et équations intégrales du problème.

Problèmes de frontières libres dans le problème de la pollution et de l'auto-épuration par une source ponctuelle.

THÉRATURE.

Introduction thèse en mathématiques, sur le thème "Méthodes constructives pour résoudre des problèmes de valeurs limites avec frontières libres pour des équations non linéaires de type parabolique"

Lors de l'étude de problèmes de valeurs limites non linéaires qui décrivent les processus de pollution et de recréation de l'environnement, reflétant, avec la diffusion, l'adsorption et les réactions chimiques, les problèmes de type Stefan avec une frontière libre et des sources qui dépendent de manière significative du champ de concentration souhaité sont particulièrement importants. intérêt.

Les problèmes non linéaires à frontières libres dans les problèmes environnementaux permettent de décrire la localisation réellement observée des processus de pollution (récréation) de l'environnement. La non-linéarité est ici due à la fois à la dépendance du tenseur de diffusion turbulente K et de la pollution des effluents / à la concentration c. Dans le premier cas, la localisation spatiale est obtenue en raison de la dégénérescence, lorsque à c = O et K = 0. Cependant, elle ne se produit qu'à un instant donné r et est absente à z.

L'évolution des processus de diffusion avec réaction, se stabilisant vers des états stationnaires limites avec une localisation spatiale clairement définie, peut être décrite par des modèles mathématiques avec une dépendance particulière des puits /(c). Ce dernier modélise la consommation de matière due à des réactions chimiques d'ordre fractionnaire, lorsque /(c) = . Dans ce cas, quelle que soit la dégénérescence du coefficient de diffusion, il existe une localisation spatio-temporelle de la perturbation de diffusion du milieu. A tout instant /, la perturbation de diffusion locale occupe une certaine région 0(7), limitée à l'avance par la surface libre Г(7) jusqu'alors inconnue. Le champ de concentration c(p, /) est dans ce cas une onde de diffusion avec un front Г(/), se propageant à travers un milieu non perturbé, où c = O.

Il est tout à fait naturel que ces effets qualitatifs ne puissent être obtenus que sur la base d'une approche non linéaire de modélisation des processus réactionnels.

Cependant, cette approche est associée à des difficultés mathématiques significatives lors de l'étude des problèmes non linéaires avec frontières libres qui se posent ici, lorsqu'une paire de fonctions doit être déterminée - le champ de concentration c(p,t) et la frontière libre Г(/) = ( (p,t) : c(p,t) = O). De tels problèmes, comme nous l'avons déjà noté, appartiennent à des problèmes de physique mathématique plus complexes et peu étudiés.

Beaucoup moins de recherches ont été menées sur les problèmes de valeurs aux limites avec frontières libres en raison de leur complexité, qui est associée à la fois à leur non-linéarité et au fait qu'ils nécessitent une spécification a priori des caractéristiques topologiques des champs recherchés. Parmi les travaux qui envisagent la résolution de tels problèmes, il convient de noter les travaux d'A.A. Samarsky, O.A. Oleinik, S.A. Kamenomostkoy, etc. Avec quelques restrictions sur ces fonctions dans les travaux de A.A. Berezovsky, E.S. Sabinina a prouvé des théorèmes d'existence et d'unicité pour la solution d'un problème de valeur limite avec une frontière libre pour l'équation de la chaleur.

Tout aussi important est le développement de méthodes efficaces de solution approximative des problèmes de cette classe, qui permettront d'établir des dépendances fonctionnelles des principaux paramètres du processus sur les données d'entrée, permettant de calculer et de prédire l'évolution du processus. à l'étude.

En raison de l'amélioration rapide de la technologie informatique, des méthodes numériques efficaces pour résoudre de tels problèmes sont de plus en plus développées. Il s'agit notamment de la méthode des lignes droites, la méthode de la grille de projection, développée dans les travaux de G.I. Marchuk, V.I. Ogoshkov. Récemment, la méthode du champ fixe a été utilisée avec succès, dont l'idée principale est qu'une limite mobile est fixe et qu'une partie des conditions aux limites connues y est définie, le problème de valeur limite résultant est résolu, puis, en utilisant les conditions aux limites restantes et la solution résultante, une nouvelle position plus précise est trouvée frontière libre, etc. Le problème de la recherche de la frontière libre est réduit à la solution ultérieure d'un certain nombre de problèmes de valeurs limites classiques pour les équations différentielles ordinaires.

Étant donné que les problèmes avec des frontières libres n'ont pas été entièrement étudiés et que leur solution est associée à des difficultés importantes, leur recherche et leur solution nécessitent l'implication de nouvelles idées, l'utilisation de tout l'arsenal de méthodes constructives d'analyse non linéaire, les réalisations modernes de la physique mathématique, mathématiques computationnelles et capacités de la technologie informatique moderne. En termes théoriques, les questions d’existence, d’unicité, de positivité, de stabilisation et de localisation spatio-temporelle des solutions restent pertinentes pour de tels problèmes.

Le travail de thèse est consacré à la formulation de nouveaux problèmes aux frontières libres qui modélisent les processus de transport et de diffusion avec la réaction des substances polluantes dans les problèmes environnementaux, à leur étude qualitative et, principalement, au développement de méthodes constructives pour construire des solutions approximatives à ces problèmes. problèmes.

Le premier chapitre propose une description générale des problèmes de diffusion dans les milieux actifs, c'est-à-dire les milieux dans lesquels les effluents dépendent fortement de la concentration. Des restrictions physiques sur les flux sont indiquées, dans lesquelles le problème est réduit au problème suivant avec des frontières libres pour une équation parabolique quasi-linéaire : с, = div(K(p, t, с) grade) - div(cu) - f ( с)+ w dans Q (/) ,t> 0, c(p,0) = e0(p) en cm c)grade, n)+ac = accp sur S(t), c)gradc,n) = 0 sur Г if) , où K(p,t,c) est le tenseur de diffusion turbulente ; ü est le vecteur vitesse du milieu, c(p,t) est la concentration du milieu.

Dans le premier chapitre, une attention considérable est accordée à la formulation de problèmes de valeurs limites initiales pour les surfaces du niveau de concentration dans le cas de processus de diffusion dirigée, lorsqu'il existe une correspondance biunivoque entre la concentration et l'une des coordonnées spatiales. La dépendance monotone de c(x,y,z,t) sur z permet de transformer l'équation différentielle, les conditions initiales et aux limites du problème pour le champ de concentration en une équation différentielle et les conditions supplémentaires correspondantes pour le champ de sa concentration. surfaces planes - z = z(x,y,c, t). Ceci est réalisé en différenciant les fonctions inverses, en résolvant l'équation de la surface connue S : Ф (x,y,z,t)=0->z=zs(x,y,t) et en relisant l'identité avec(x ,y,zs, t)=c(x,y,t). L'équation différentielle (1) pour c est ensuite transformée en une équation pour z- Az=zt-f (c)zc, où

2 ^ Az=vT (K*t*)-[K-b Vz = lzx + jz +k, VT = V-k- . zc dz

En passant des variables indépendantes x, y, z aux variables indépendantes x>y, c, la région physique Q(i) se transforme en région non physique Qc(/), limitée par la partie du plan c = 0, dans laquelle passe la surface libre Г, et libre dans le cas général, une surface inconnue c=c(x,y,t), dans laquelle passe la surface connue S(t).

Contrairement à l'opérateur divKgrad ■ du problème direct, l'opérateur A du problème inverse est essentiellement non linéaire. La thèse prouve la positivité de la forme quadratique e+rf+yf-latf-lßrt correspondant à l'opérateur A, et établit ainsi son ellipticité, ce qui permet d'envisager des formulations de problèmes de valeurs limites pour celui-ci. En intégrant par parties, nous avons obtenu un analogue de la première formule de Green pour l'opérateur A c(x,yt) c(t) cbcdy \uAzdc= Jdc d u(KVTz,n)iï- \\viyrv,VTz)dxdy

Vzf x,y,t) 0 c(x,y,t) - í *

Nous considérons un problème avec une frontière libre pour un champ de concentration c = c(x,y,z,1), lorsque la condition de Dirichlet div(Kgradc) - c, = /(c) - Re g c(P,0) = c0 est spécifié sur la surface (P), ReShto), c = (p(p,0, ReB^), ¿>0, (2)

ReG(4 ¿>0. s = 0, K- = 0, dp

Dans ce cas, la transition par rapport à la surface plane r = r(x,y,c^) a permis de s'affranchir de la surface libre c=c(x,y,?), puisqu'elle est entièrement déterminée par le Dirichlet condition c(x,y^) = d >(x,y,rx(x,y^),O- En conséquence, le problème de valeur limite initiale suivant pour un opérateur parabolique fortement non linéaire^ - - dans un temps- domaine variable mais déjà connu C2c(0:<9/

Az = z(~zc, x,yED(t), 0 0, z(x,y,c,0) = z0(x,y,c), x,y,sePc(O), z(x, y,c,t) = zs (x, y, c, t), c = c(x, y, t), X, y G D(t), t > 0, zc(x,y,0,t)=-co, x,y&D(t), t> 0 .

Ici, nous étudions également la question de l'unicité de la solution au problème (3). A partir de l'analogue obtenu de la première formule de Green pour l'opérateur A, prenant en compte les conditions aux limites après des transformations élémentaires mais assez lourdes utilisant l'inégalité de Young, la monotonie de l'opérateur A sur les solutions zx et z2 du problème est établie

Lg2 - Ar1)(r2 -)(bcc1us1c< 0 . (4)

D’autre part, en utilisant l’équation différentielle, les conditions aux limites et initiales, il est montré que

La contradiction qui en résulte prouve le théorème d'unicité pour la solution du problème de Dirichlet pour les surfaces de niveau de concentration c(x,y,t)

Théorème 1. Si la fonction source w est const, la fonction puits f(c) augmente de façon monotone et /(0) = 0, alors la solution du problème de Dirichlet (2) pour les surfaces planes est positive et unique.

Le troisième paragraphe du premier chapitre traite des effets qualitatifs des processus de diffusion accompagnés d'adsorption et de réactions chimiques. Ces effets ne peuvent pas être décrits sur la base d’une théorie linéaire. Si dans ce dernier la vitesse de propagation est infinie et donc il n'y a pas de localisation spatiale, alors les modèles non linéaires de diffusion avec réaction considérés, avec les dépendances fonctionnelles du coefficient de diffusion turbulent K et de la densité des effluents (cinétique des réactions chimiques) / sur la concentration c établie dans les travaux, permettent de décrire les effets réellement observés d'une vitesse de propagation finie, d'une localisation spatiale et d'une stabilisation sur un temps fini (récréation) des polluants. Les travaux ont établi que les effets répertoriés peuvent être décrits à l'aide des modèles proposés s'il existe une intégrale impropre avec w 1

K(w)dzdt = -\Q(t)dt, t>0;

00 cc с(сс^) = 0,К(с)- = 0, z = oo,t>0. dz

Le problème stationnaire sous forme sans coordonnées a la forme div(K(c)grade) = f(c) dans Q\P (0< с < оо},

K(cgradc,n)) + ac = 0 sur 5 = 5Q П Ж, (7) с = 0, (К(с) grade,п) = 0 sur Г s (с = 0) = dQ. PD,

JJJ/(c)dv + cds = q. comme

Dans un semi-quartier avec eQ du point Pe Г, le passage à la forme de notation semi-coordonnée a permis d'obtenir le problème de Cauchy drj

K(c) dc dt] divT (K(c)gradTc) = f(c) dans co rj<0

8) cc c = 0, K(c)~ = 0,77 = 0,

OT] où m] est la coordonnée mesurée le long de la normale à Γ au point P, et les deux autres coordonnées cartésiennes m1, m2 se trouvent dans le plan tangent à Γ au point P. Puisque dans co on peut supposer que c(m1, m2 , g/) dépend faiblement des coordonnées tangentielles, soit c(tx, t2,1]) = c(t]), alors pour déterminer c(t]) à partir de (8) le problème de Cauchy drj drj f(c ), TJ suit< О, dc c = 0, K(c) - = 0,77 = 0. drj

Une solution exacte au problème a été obtenue (9)

77(s)= refaire 2 s [ o s1m?< 00 (10) и доказана следующая теорема

Théorème 2. Une condition nécessaire à l’existence d’une solution spatialement localisée aux problèmes non locaux à frontières libres considérés est l’existence d’une intégrale impropre (b).

De plus, il a été prouvé que la condition (6) est nécessaire et suffisante 1 pour l’existence d’une solution spatialement localisée au problème stationnaire unidimensionnel suivant avec une frontière libre r(c), 0<г<со,

00 O tsk = ^- si) o 2 c1c c(oo) = 0, K(c)- = 0, g = oo, c1g c'est-à-dire que cela a lieu

Théorème 3. Si la fonction /(c) satisfait aux conditions f(c) = c ^ , ^< // < 1, при с-» О, а К{с)-непрерывная положительная функция, то при любом д>0 une solution positive au problème des valeurs limites non locales (11) existe et est unique.

Ici, nous considérons également les questions de loisirs environnementaux dans un temps fini qui sont très importantes pour la pratique. Dans les travaux de V.V. Kalachnikov et A.A. Samarsky, à l'aide de théorèmes de comparaison, ce problème se réduit à résoudre l'inégalité différentielle -< -/(с), где с - пространственно однородное (т.е. не зависящие от коей1 ординаты) решение.

Dans le même temps, pour le temps de récréation, l'estimation w

T<]. ск х)

Contrairement à ces approches, la thèse a tenté d'obtenir des estimations plus précises qui prendraient en compte la distribution initiale de la concentration co (x) et de son porteur « (0). A cet effet, en utilisant les estimations a priori obtenues dans le travail, une inégalité différentielle a été trouvée pour la norme au carré de la solution Ж

13) d'où découle une estimation plus précise de T t<

1+ /?>(())] où c est la racine de l'équation

Уг^-Р)/ с /1 =(р, = КМГ > = ^-Ш+Р)^1 ■

Le deuxième chapitre est consacré aux enjeux de modélisation des processus de transfert et de diffusion d'impuretés passives dans les milieux stratifiés. Le point de départ ici est le problème (1) avec /(c) = 0 et la condition aux limites de Dirichlet ou condition non locale c, = (I\(K(p,T,c)%gys)-<И\{сй) + а>en 0(0, t>0 с(р,0) = с0(р) en 0(0),

C(P>*) = φ(р,0 sur ou = ()((), с(р, Г) = 0, (К(р^, с)%?аес,н) = 0 sur Г(Г ).

Des problèmes unidimensionnels de diffusion turbulente sont considérés, en tenant compte de la dépendance du coefficient de diffusion sur l'échelle, le temps et la concentration. Ils représentent des problèmes locaux et non locaux pour l'équation ds quasi-linéaire

1 d dt g"-1 dg p-\

K(r,t,c)dsdgp = 1,2,3,

16) où K(r,t,c) = K0(p(t)rmck;

17) où les fonctions et le paramètre p sont déterminés lors du processus de séparation des variables dans (16). En conséquence, nous avons obtenu une équation différentielle ordinaire pour B(t]) à] et la représentation

Оn+m+p-2)/pBk £® drj

C.B-ij-dtl, oh

Pour deux valeurs d'une constante arbitraire C( - C, = et

С1 = ^Ур l'équation (18) permet des solutions exactes en fonction d'une constante arbitraire. Cette dernière peut être déterminée en satisfaisant certaines conditions supplémentaires. Dans le cas de la condition aux limites de Dirichlet c(0,0 = B0[f^)]"p/p (20), une solution exacte localisée spatialement est obtenue dans le cas k > 0, m< 2:

2-t Gf\h;

L/k 0<г <гф(/),

Oh, petite amie (/)<г< оо,

Vd^0(2-m\ p = pk + 2-m, et la solution exacte non localisée dans le cas de k<0, т <2:

1/k 0< г < 00.

22) = [k^2 - t)/?/^1 p = 2-t- p\k\.

Ici f(1) = \(p(r)yt; gf (/) = [^(O]^ o

Pour k -» 0, des solutions obtenues découle la solution du problème linéaire c(r,0 = VySht-t) exp[- /(1 - m)2k0f(1)\, qui, pour f(1) = 1 et m = 0, est transformée en solution fondamentale de l'équation de diffusion.

Des solutions exactes ont également été obtenues dans le cas de sources concentrées à action instantanée ou permanente, lorsqu'une condition aux limites non locale supplémentaire de la forme

23) où o)n est l'aire de la sphère unitaire (co1 = 2, a>2 = 2i, a>3 = 4z).

Les solutions exactes trouvées pour k >0 de la forme (21) représentent une onde de diffusion se propageant à travers un milieu non perturbé avec une vitesse finie. À k< О такой эффект пространственной локализации возмущения исчезает.

Les problèmes de diffusion à partir de sources ponctuelles et linéaires à action constante dans un milieu en mouvement sont considérés lorsqu'une équation quasi-linéaire est utilisée pour déterminer la concentration.

Vdivc = -^S(r),

24) où K(g,x,s) = K0k(x)gtsk, 8(g) est la fonction delta de Dirac, O est la puissance de la source. L'interprétation de la coordonnée x en temps/ a également permis d'obtenir des solutions partielles exactes à un problème non local de la forme (21) r 2/(2+2 k) 2 o, 1

Gf(x)<Г<СС,

Marc 0<г<гф (х), Ф

2С2 (2 + 2к)К0 к

La solution (25) permet en principe de décrire la localisation spatiale d'une perturbation de diffusion. Dans ce cas, le front de l'onde diffusante est déterminé, séparant les régions à concentrations nulles et non nulles. Pour k -» 0, cela implique la solution bien connue de Roberts, qui ne permet cependant pas de décrire la localisation spatiale.

Le troisième chapitre de la thèse est consacré à l'étude de problèmes spécifiques de diffusion avec réaction dans un environnement aérien stratifié, qui est le problème unidimensionnel suivant à frontière libre uxx-ut = / (u), 0< х < s(t), t>O, u(x,0) = Uq(X), 0< х < 5(0), (26) ux-hu = -h(p, х = 0, t >0, u = 0, leur = 0, x = s(t), t > 0.

Une implémentation numérique-analytique du problème (26) a été réalisée, basée sur la méthode Rothe, qui a permis d'obtenir l'approximation suivante à sept chiffres du problème sous la forme d'un système de problèmes aux limites pour les équations différentielles ordinaires avec par rapport à la valeur approximative u(x) = u(x,1k), et 5 =) V u(x)-u(x^k1) : V u"-m~xy = y - m~1 u, 0< х < 5, и"-ки = х = 0, (27) ф) = 0 |ф) = 0.

La solution (27) se réduit à des équations intégrales non linéaires de type Volterra et à une équation non linéaire pour x = 0 5 u(x) ~ 4m [i/r-^--* s/r + k^tek -¿r n V l / g l/g

0 < X < 5, к(р.

Pour les calculs numériques, la résolution du système (28) par approximation de dimension finie se réduit à trouver des solutions à un système d'équations algébriques non linéaires par rapport aux valeurs nodales et. = u(x)) et i-.

Les problèmes de frontières libres dans le problème de la pollution et de l'auto-épuration de l'atmosphère par des sources ponctuelles sont également examinés ici. En l'absence de surface adsorbante 5(0 (tie&3 = 0) dans le cas de sources de pollution planes, cylindriques ou ponctuelles, lorsque la concentration dépend d'une coordonnée spatiale - la distance à la source et le temps, la plus simple unidimensionnelle un problème non local avec une frontière libre est obtenu

-- = /(s), 0<г<гф(О,/>0, dt gp~x 8g \ 8g, f,0) = 0, 0<г<гф (0) (29) 5с с(г,0 = 0, - = 0, г = гф(0, ^>0 ; ah

1 I bg + /(c) Г~1£/г=- (30) о о ^ ; ^

La construction d'une solution au problème (29), (30) a été réalisée par la méthode Rothe en combinaison avec la méthode des équations intégrales non linéaires.

En transformant les variables dépendantes et indépendantes, le problème non local avec une frontière libre autour d'une source ponctuelle est réduit à la forme canonique<х<^(г), г>0,

5l:2 8t u(x,0) = 0, 0< л; < 5(0), (5(0) = 0), (31) м(5(г),т) = мх(5(т),т) = 0,

Pmg + = d(r), m > 0, contenant une seule fonction définissant la fonction d(r).

Dans des cas particuliers, des solutions exactes des problèmes stationnaires non locaux correspondants avec une frontière libre pour l'équation d'Emden-Fowler avec 12 et 1 en l sont obtenues

2=х иН, 0<Х<5, с!х ф) = м,(5) = 0, \х1~/*и1*сЬс = 4. (32) о

En particulier, lorsque /? = 0 m(l:) = (1/6)(25 + x)(5-x)2, où* = (Зз)1/3.

Parallèlement à la méthode Rothe, en combinaison avec la méthode des équations intégrales non linéaires, la solution du problème non stationnaire (32) est construite par la méthode de linéarisation équivalente. Cette méthode utilise essentiellement la construction d’une solution à un problème stationnaire. En conséquence, le problème est réduit au problème de Cauchy pour une équation différentielle ordinaire, dont la solution peut être obtenue par l'une des méthodes approchées, par exemple la méthode Runge-Kutta.

Les résultats suivants sont soumis pour soutenance :

Etude des effets qualitatifs de la localisation spatio-temporelle ;

Établissement des conditions nécessaires à la localisation spatiale jusqu'aux états stationnaires limites ;

Théorème sur l'unicité de la solution d'un problème à frontière libre dans le cas de conditions de Dirichlet sur une surface connue ;

Obtention par la méthode de séparation des variables de familles exactes spatialement localisées de solutions partielles d'équations paraboliques quasi-linéaires dégénérées ;

Développement de méthodes efficaces pour la solution approchée de problèmes locaux et non locaux non stationnaires unidimensionnels avec des frontières libres basées sur l'application de la méthode de Rothe en combinaison avec la méthode des équations intégrales ;

Obtention de solutions spatialement localisées précises aux problèmes de diffusion stationnaire avec réaction.

Conclusion de la thèse sur le thème "Physique mathématique"

Les principaux résultats des travaux de thèse peuvent être formulés comme suit.

1. Des effets qualitativement nouveaux de la localisation spatio-temporelle ont été étudiés.

2. Les conditions nécessaires à la localisation spatiale et à la stabilisation jusqu'aux états stationnaires limites ont été établies.

3. Un théorème sur l'unicité de la solution du problème avec frontière libre dans le cas des conditions de Dirichlet sur une surface connue est prouvé.

4. En utilisant la méthode de séparation des variables, des familles exactes localisées spatialement de solutions partielles d'équations paraboliques quasi-linéaires dégénérées ont été obtenues.

5. Des méthodes efficaces ont été développées pour la solution approximative de problèmes stationnaires unidimensionnels avec des frontières libres, basées sur l'application de la méthode de Rothe en combinaison avec la méthode des équations intégrales non linéaires.

6. Des solutions spatialement localisées exactes aux problèmes stationnaires de diffusion avec réaction ont été obtenues.

Sur la base de la méthode variationnelle en combinaison avec la méthode Rothe, la méthode des équations intégrales non linéaires, des méthodes de solution efficaces ont été développées avec le développement d'algorithmes et de programmes pour les calculs numériques sur ordinateur et des solutions approximatives de locaux non stationnaires unidimensionnels et des problèmes non locaux avec des frontières libres ont été obtenus, permettant de décrire la localisation spatiale des problèmes de pollution et d'auto-épuration des environnements aquatiques et aériens stratifiés.

Les résultats des travaux de thèse peuvent être utilisés pour formuler et résoudre divers problèmes des sciences naturelles modernes, en particulier la métallurgie et la cryomédecine.

CONCLUSION

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Introduction au travail

Pertinence du sujet. Lors de l'étude de problèmes de valeurs limites non linéaires qui décrivent les processus de pollution et de recréation de l'environnement, reflétant, avec la diffusion, l'adsorption et les réactions chimiques, les problèmes de type Stefan avec une frontière libre et des sources qui dépendent de manière significative du champ de concentration souhaité sont particulièrement importants. intérêt. En termes théoriques, les questions d'existence, d'unicité, de stabilisation et de localisation spatiale des solutions restent pertinentes pour de tels problèmes. En termes pratiques, le développement de méthodes numériques et analytiques efficaces pour les résoudre semble particulièrement important.

Le développement de méthodes efficaces de solution approximative des problèmes de cette classe permet d'établir des dépendances fonctionnelles des principaux paramètres du processus sur les données d'entrée, permettant de calculer et de prédire l'évolution du processus considéré.

Parmi les travaux qui considèrent la solvabilité des problèmes de type Stefan avec une frontière libre, il convient de noter les travaux d'A.A. Samarsky, O.A. Oleinik, S.A. Kamenomostkoy, L.I. Rubenstein et autres.

But du travail. Le but de cette thèse est d'étudier les problèmes à frontières libres dans une nouvelle formulation qui modélise les processus de transfert et de diffusion, en tenant compte de la réaction des polluants dans les problèmes environnementaux ; leur recherche qualitative et, principalement, le développement de méthodes constructives pour construire des solutions approximatives aux problèmes posés.

Méthodes générales de recherche. Les résultats des travaux ont été obtenus en utilisant la méthode Birkhoff de séparation des variables, la méthode des équations intégrales non linéaires, la méthode Rothe, ainsi que la méthode de linéarisation équivalente

Nouveauté scientifique et valeur pratique. Des énoncés de problèmes tels que le problème de Stefan étudié dans la thèse sont considérés pour la première fois. Pour cette classe de problèmes, les principaux résultats suivants ont été obtenus pour la défense :

Des effets qualitativement nouveaux de la localisation spatio-temporelle ont été étudiés

Les conditions nécessaires à la localisation spatiale et à la stabilisation jusqu'aux états stationnaires limites ont été établies,

Un théorème sur l'unicité de la solution du problème avec une frontière libre dans le cas des conditions de Dirichlet sur une surface connue est prouvé.

En utilisant la méthode de séparation des variables, des familles exactes localisées spatialement de solutions partielles d'équations paraboliques quasi-linéaires dégénérées sont obtenues.

Des méthodes efficaces ont été développées pour la solution approximative de problèmes stationnaires unidimensionnels avec des frontières libres, basées sur l'application de la méthode de Rothe en combinaison avec la méthode des équations intégrales non linéaires.

Des solutions exactes spatialement localisées aux problèmes de diffusion stationnaire avec réaction sont obtenues.

Les résultats des travaux de thèse peuvent être utilisés pour formuler et résoudre divers problèmes des sciences naturelles modernes, en particulier la métallurgie et la cryomédecine, et semblent être des méthodes très efficaces pour prévoir, par exemple, l'environnement aérien.

Approbation des travaux. Les principaux résultats de la thèse ont été rapportés et discutés lors du séminaire du Département de physique mathématique et de théorie des oscillations non linéaires de l'Institut de mathématiques de l'Académie nationale des sciences d'Ukraine et du Département de physique mathématique de l'Université Taras Shevchenko de Kiev, à la Conférence internationale "Problèmes non linéaires des équations différentielles et de la physique mathématique" (août 1997, Nalchik), au séminaire de la Faculté de mathématiques de l'Université d'État de Kabardino-Balkarie sur la physique mathématique et les mathématiques computationnelles.

Structure et étendue du travail. Le travail de thèse comprend une introduction, trois chapitres, une conclusion et une liste de littérature citée contenant 82 titres. Étendue des travaux:

ABA I. ÉNONCÉS DE PROBLÈMES CLASSIQUES ET SPÉCIAUX

AVEC FRONTIÈRES LIBRE.

I. Caractéristiques générales des problèmes de transfert de masse et de diffusion avec réaction.

I. Problèmes de valeurs limites initiales pour les surfaces planes du champ de concentration. Effets qualitatifs des processus de diffusion accompagnés d'adsorption et de réactions chimiques.

I. Stabilisation en temps fini vers des solutions stationnaires et spatialement localisées.

ABAII. ETUDE DES PROBLEMES DE TRANSFERT NON LINÉAIRE ET

DIFFUSION D'IMPURETÉS PASSIVES DANS DES MILIEUX STRATIFIÉS.

Une méthode pour séparer les variables dans une équation de diffusion et de transport parabolique quasi-linéaire.

Solutions exactes aux problèmes de diffusion et de transfert à partir de sources concentrées, instantanées et agissant en permanence dans un milieu au repos.

ABA III. MODÈLES MATHÉMATIQUES DE PROCESSUS DE DIFFUSION

AVEC RÉACTION.

Méthode de Rothe et équations intégrales du problème.

Problèmes de frontières libres dans le problème de la pollution et de l'auto-épuration par une source ponctuelle.

THÉRATURE.

Introduction de la thèse (partie du résumé) sur le thème "Méthodes constructives pour résoudre des problèmes de valeurs limites avec des frontières libres pour des équations non linéaires de type parabolique"

Conclusion de la thèse sur le thème "Physique mathématique", Doguchaeva, Svetlana Magomedovna

Liste de références pour la recherche de thèse Candidate en sciences physiques et mathématiques Doguchaeva, Svetlana Magomedovna, 2000

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Technologies de l'information automatisées et modèles mathématiques dans les problèmes socio-économiques.

S.M. Doguchaeva

Candidat en sciences physiques et mathématiques, professeur agrégé,

Université financière de

Gouvernement de la Fédération de Russie

Moscou

Annotation.

La responsabilité sociale de l'entrepreneuriat devrait aider les entreprises à minimiser les conséquences négatives de leurs activités de production, à veiller à l'introduction des nouvelles technologies de l'information et à améliorer la santé des employés. Le développement innovant et moderne de l'économie russe nécessite la formation d'un modèle socio-économique dans lequel l'État, prenant en compte les caractéristiques du territoire, agit dans l'intérêt de l'ensemble de la société, et pas seulement des grandes entreprises.

Mots clés:

Systèmes d'information, problèmes socio-économiques, modèles mathématiques, technologies cloud, développement innovant.

Problèmes d'organisation de la sécurité de l'information dans le cloud différentes activités économiques

Doguchaeva Svetlana Magomedovna

Candidat de Physique et Mathématique

Sciences, maître de conférences, Université de Finance.

Correspondance Institut financier et économique (Moscou)

Abstrait.

La responsabilité sociale des entreprises doit aider les entreprises à minimiser les effets négatifs de leurs activités de production, à prendre soin de l'introduction des nouvelles technologies de l'information et à améliorer la santé des employés. Le développement innovant et moderne de l’économie russe nécessite la formation d’un modèle socio-économique dans lequel l’État, compte tenu des caractéristiques du territoire, agit dans l’intérêt de l’ensemble de la société et non seulement des grandes entreprises.

Mots clés:

Systèmes d'information, problèmes sociaux et économiques, modèles mathématiques,Technologie Cloud, développement innovant.

La science économique russe compare objectivement son expérience de réforme et le choix de la voie que devrait emprunter l'économie sociale au stade de sa modernisation et de sa transformation en une économie innovante, permettant d'élever le système de connaissances à un nouveau niveau et de renforcer les possibilités. d'appliquer la théorie à la pratique. Avec la transition vers une économie de l'information et sociale, la popularité des systèmes de traitement de l'information et de gestion d'entreprise a considérablement augmenté. À ce stade, des activités coordonnées de tous les acteurs du processus socio-économique basées sur la confiance mutuelle sont nécessaires.

Les technologies de l'information informatique sont des processus de problèmes socio-économiques, constitués de règles clairement réglementées pour effectuer des opérations de divers degrés de complexité sur les données stockées dans les nuages. Ce travail est plus que pertinent, car il aborde les problèmes liés à la pollution de l'eau précisément à un niveau auquel une attention particulière devrait être accordée à la situation socio-économique du pays.

Dans les pays développés, la production d'équipements et de technologies environnementales est l'une des plus rentables, de sorte que le marché socio-économique se développe rapidement. Les entreprises d'Europe occidentale engagées dans des activités environnementales utilisent avec succès les tendances modernes de la politique environnementale pour augmenter leurs bénéfices. L'essence de ces changements est que la direction et les spécialistes doivent recevoir des informations presque instantanément pour analyser la situation.

La base méthodologique de l'étude comprend les méthodes suivantes : analyse du système, analyse sujet-objet, analyse économique, analyse de la situation, etc. La pertinence de l'étude est due au fait que les problèmes socio-économiques sont aujourd'hui parmi les plus importants et globaux. .

Les processus de diffusion se produisant dans l'atmosphère et l'océan représentent un problème pratiquement important dans la recherche socio-économique. Dans le contexte de la création d'un nouveau mécanisme économique et juridique pour la gestion de l'environnement, les possibilités d'utiliser un certain nombre de modèles économiques et mathématiques et de technologies de l'information pour résoudre les problèmes de gestion de l'environnement industriel sont à l'étude.

Pour résoudre des problèmes socio-économiques, les travaux considèrent des modèles mathématiques des processus d'absorption et d'oxydation dans un environnement aquatique stratifié. Les nouvelles technologies environnementales pour la purification et l'analyse des environnements aériens et aquatiques sont abordées dans les travaux. Considérons de nouvelles formulations de ces problèmes.

Dans la mer Noire, il existe un ensemble de diverses substances organiques et inorganiques dont les concentrations sont neutres dans l'eau en oxygène, qui le consomment et entrent avec lui dans des réactions d'oxydation.

Les substances relativement neutres comprennent de nombreuses substances organiques, en particulier le carbone organique, ainsi que les gaz dissous, l'azote, le dioxyde de carbone, le méthane et le sulfure d'hydrogène. Tous diffusent dans les profondeurs de la mer Noire à travers les mécanismes de diffusion moléculaire et turbulente, sont transportés par convection (montée ou descente verticale des masses d'eau) et, surtout, directement ou à travers des chaînes complexes de réactions intermédiaires, interagissent avec l'oxygène. Cela entraîne une diminution des concentrations d'oxygène et des substances mentionnées qui réagissent avec lui.

Les économistes et chercheurs pratiques modernes notent qu'à l'heure actuelle, l'influence humaine sur la nature atteint une telle ampleur que les mécanismes de régulation naturels ne sont plus en mesure de neutraliser de manière indépendante bon nombre de ses conséquences indésirables et néfastes.

La nature des réactions des substances neutres avec l'oxygène est différente. Leur réaction d'oxydation conduit soit à la consommation complète de l'oxygène avec de grandes quantités d'hydrogène sulfuré, soit à la disparition de l'hydrogène sulfuré. La découverte de sulfure d'hydrogène dans les eaux profondes de la mer Noire a conduit à supposer une distribution limitée de l'oxygène en profondeur. Les études expéditionnaires réalisées ont permis d'établir la limite inférieure de la répartition verticale de l'oxygène, qui est une surface isooxygénique de concentration nulle.

Les idées de base en matière de diffusion, chimiques et biologiques sur la dynamique du processus de redistribution des concentrations en profondeur se réduisent aux systèmes suivants :

Haut:

Inférieur

Les limites de la couche de coexistence sont des isosurfaces mobiles avec des concentrations et des flux nuls de sulfure d'hydrogène/isosulfure/ et d'oxygène/isooxygène/, respectivement. Les élévations ou dépressions locales des interfaces sont principalement déterminées par le modèle de circulation de l’eau. Au centre des gyres cycloniques, on observe une montée des isosurfaces, et à leurs périphéries et au centre des gyres anticycloniques, un approfondissement est observé.

Le mécanisme de distribution de l'oxygène et du sulfure d'hydrogène est la diffusion et est caractérisé par le coefficient de diffusion turbulente

Ce qui dépend périodiquement du temps

Où et sont les valeurs moyennes et d'amplitude,

– période de fluctuations annuelles.

Et ils dépendent fortement de la profondeur.

Dans la couche supérieure

Diminue de manière monotone jusqu'à une certaine valeur minimale dans l'halocline à une profondeur de 60 à 80 m, puis augmente de manière monotone avec la profondeur.

Ces résultats sont importants pour évaluer l’efficacité socio-économique des zones de protection de l’environnement, car En Russie, tous les domaines de l’économie doivent être transformés en domaines innovants dans un délai relativement court.

Dans la couche de coexistence, une diffusion turbulente a lieu, accompagnée de la réaction d'oxydation du sulfure d'hydrogène. La puissance de l'effluent oxygène consommé dans ce cas est plusieurs fois supérieure à la puissance de l'effluent sulfure d'hydrogène, où est le coefficient cinétique de la réaction d'oxydation.

L'oxygène provient de l'atmosphère, se forme à la suite de la photosynthèse et est consommé pour une consommation biochimique, dont la base est l'oxydation du sulfure d'hydrogène. Le sulfure d'hydrogène se forme à la suite de la dégradation de la matière organique, de l'activité des bactéries sulfato-réductrices et peut provenir des fonds marins.

Une description quantitative de la dynamique de ces problèmes est associée à des difficultés méthodologiques, informationnelles et algorithmiques.

Le rôle principal est joué par les estimations optimales obtenues dans ce travail, qui expriment l'efficacité de l'utilisation des ressources, l'efficacité comparative des objets du système en cours d'optimisation, qui sont incluses dans la résolution de problèmes de modélisation économique et mathématique à l'aide de l'infrastructure informatique.

La puissance des sources d'oxygène diminue avec la profondeur selon une loi exponentielle et a un cycle annuel bien défini. Étant donné que les profondeurs maximales auxquelles la photosynthèse a encore lieu ne dépassent pas 60 à 70 m, il n'y a aucune source d'oxygène en dessous de ces profondeurs.

De même, on peut supposer que la décomposition des substances organiques se produit en dessous de la limite supérieure de la couche de coexistence et que la puissance des sources de sulfure d'hydrogène

Changements périodiques tout au long de l'année.

Dans le cas général, pour déterminer les champs de concentration en oxygène

Et le sulfure d'hydrogène,

Nous arrivons à un problème de type Stefan non stationnaire.

Laisser

La région en termes de variables spatiales occupe tout le volume de la mer Noire.

Dans la zone

Une diffusion turbulente de l’oxygène se produit

– zone de diffusion et de réaction de l’oxygène et du sulfure d’hydrogène,

Région de diffusion turbulente du sulfure d'hydrogène.

Ici, se trouve une zone plate occupée par la surface de la mer,

La surface du fond marin,

Concentrations nulles d'isosulfure et d'isooxygène à déterminer.

Lors de la conduite de recherches dans ce domaine, de nouveaux matériaux écotechnologiques préalablement étudiés lors de séminaires scientifiques et pratiques sur l'économie sociale, de conférences et de colloques sur le problème des systèmes informatiques en Russie ont été utilisés.

Aujourd'hui, la Russie a plus que jamais besoin d'une nouvelle idée économique qui non seulement consolidera la société, les ressources intellectuelles et matérielles, mais conduira également à une réelle augmentation de la compétitivité de l'économie nationale et à son développement durable à l'avenir.

Le principal problème à résoudre aujourd'hui est de mettre en place une gestion efficace de la recherche et du développement en tant que processus de génération de connaissances innovantes utilisant les nouvelles capacités technologiques de notre époque.

Dernièrement, on a beaucoup parlé de « nuages ​​écologiques », du travail dans un environnement respectueux de l'environnement. Les entreprises qui choisissent le cloud peuvent réduire leur empreinte carbone cumulée d'au moins 30 % par rapport à l'exécution des mêmes applications sur leur propre infrastructure informatique.

Lors des conférences internationales, le problème de l'économie « verte » est également abordé, lié au développement de projets écologiquement durables dans les entreprises, et l'un de ces problèmes importants concerne les difficultés de collecte des données initiales, de calcul de la consommation d'électricité et des émissions de dioxyde de carbone dans l'environnement. atmosphère, c’est-à-dire le « New Green Deal » »

Pendant la conférence IDC IT Security Road show 2015, qui aura lieu le 10 septembre à Moscou, ce sera l'occasion non seulement de se familiariser avec les produits des principaux fabricants mondiaux et nationaux proposés pour résoudre ces problèmes, mais également de discuter avec des experts des problèmes les plus urgents liés à la fourniture de structures informatiques « vertes » pour résoudre les problèmes socio-économiques en Russie. .,B De nombreuses questions liées à la large diffusion des infrastructures cloud et virtuelles, ainsi qu'à l'utilisation généralisée de l'accès mobile aux ressources de l'entreprise et aux solutions modernes pour assurer la sécurité des infrastructures cloud et virtuelles seront abordées.

Formellement, le marché des services cloud en Russie croît à un rythme plus rapide que l'industrie mondiale. Sa dynamique est estimée entre 40 et 60 % contre 20 à 25 % au niveau mondial. Selon les prévisions d'IDC, ce segment atteindra 1,2 milliard de dollars en 2015. Orange Business Services estime que la part des services cloud et des services associés atteindra 13 % dans le volume total de l'ensemble du marché russe des services informatiques d'ici 2016.

Lors de la construction de centres de données (datacenters), de nombreuses entreprises utilisent désormais les dernières technologies « vertes » : un système de gestion de bâtiment intelligent (BMS) permet de surveiller 24 heures sur 24 les paramètres actuels afin d'utiliser plus efficacement l'énergie et d'augmenter la sécurité.

L'une des principales tâches socio-économiques de notre époque est la formation de spécialistes dans le domaine des technologies de l'information et le traitement des résultats des données à l'aide de nouveaux matériels et logiciels. La base théorique et méthodologique de la recherche est le travail scientifique de spécialistes russes et étrangers dans le domaine socio-économique, la recherche appliquée sur les caractéristiques du processus de développement des services informatiques.

Pour surmonter la crise environnementale et socio-économique en Russie, des décisions sérieuses sont prises, mais les tronçons les plus critiques du chemin doivent être franchis. Ils décideront si la Russie sortira de la crise ou restera dans l'abîme de l'ignorance environnementale et du refus de se laisser guider par les lois fondamentales du développement de la biosphère et les limites qui en découlent. L'une des tâches prioritaires de la politique environnementale en Russie est l'analyse des informations statistiques sur les indicateurs de coûts caractérisant l'ampleur des mesures de protection de l'environnement, le flux des ressources financières, l'efficacité des décisions prises, etc. Cela nécessitera une restructuration de la science et de la technologie dans leur relation avec la nature, garantissant ainsi un développement social plus écologique et compétence environnementale, y compris des moyens innovants de contrôle instrumental de la pollution. http://www.tadviser.ru/ http://www.datafort.ru/ Premier fournisseur de services.