Функцийн тэг
Функцийн тэг нь утга юм X, энэ үед функц 0 болж хувирна, өөрөөр хэлбэл f(x)=0.
Тэг нь функцийн графикийн тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд юм Өө.
Функцийн паритет
Функц нь аль ч байсан ч дуудагддаг Xтодорхойлолтын мужаас f(-x) = f(x) тэгш байдал биелнэ 
Тэгш функц нь тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна OU
Сондгой паритын функц
Функцийг хэрэв байгаа бол сондгой гэж нэрлэдэг Xтодорхойлолтын мужаас f(-x) = -f(x) тэгш байдал биелнэ. 
Хачирхалтай функц нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байна.
Тэгш, сондгой ч биш функцийг ерөнхий функц гэнэ. 
Өсөн нэмэгдэж буй функц
Хэрэв аргументийн том утга нь функцын том утгатай тохирч байвал f(x) функцийг өсөж байна гэж хэлнэ, өөрөөр хэлбэл. 
Буурах функц
Хэрэв аргументийн том утга нь функцын бага утгатай тохирч байвал f(x) функцийг бууралт гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл. 
Функц нь зөвхөн буурч эсвэл зөвхөн нэмэгддэг интервалуудыг дууддаг монотон байдлын интервалууд. f(x) функц нь монотон байдлын 3 интервалтай: 
Үйлчилгээг ашиглан монотон байдлын интервалуудыг олоорой. Өсөх ба буурах функцийн интервалууд
Орон нутгийн дээд хэмжээ
Цэг x 0хэрэв байгаа бол орон нутгийн дээд цэг гэж нэрлэдэг Xцэгийн ойр орчмоос x 0тэгш бус байдал нь: f(x 0) > f(x) 
Орон нутгийн доод хэмжээ
Цэг x 0хэрэв байгаа бол орон нутгийн хамгийн бага цэг гэж нэрлэдэг Xцэгийн ойр орчмоос x 0тэгш бус байдал: f(x 0)< f(x).
Орон нутгийн максимум цэгүүд болон орон нутгийн хамгийн бага цэгүүдийг орон нутгийн экстремум цэгүүд гэж нэрлэдэг. 
орон нутгийн экстремум цэгүүд.
Функцийн давтамж
f(x) функцийг үетэй, үетэй гэж нэрлэдэг Т, хэрэв байгаа бол X f(x+T) = f(x) тэгш байдал биелнэ. 
Тэмдгийн тогтмол байдлын интервалууд
Функц нь зөвхөн эерэг эсвэл зөвхөн сөрөг байх интервалуудыг тогтмол тэмдгийн интервал гэнэ. 
Функцийн тасралтгүй байдал
Хэрэв x → x 0 гэсэн функцийн хязгаар нь энэ цэг дэх функцийн утгатай тэнцүү бол f(x) функцийг x 0 цэг дээр тасралтгүй гэж нэрлэдэг. 
.
Хагарлын цэгүүд
Тасралтгүй байдлын нөхцөл зөрчигдсөн цэгүүдийг функцийн таслах цэг гэнэ. 
x 0- эвдрэх цэг.
Функцуудыг зурах ерөнхий схем
1. D(y) функцийн тодорхойлолтын мужийг ол.
2. Функцийн графикийн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг ол.
3. Функцийг тэгш, сондгой эсэхийг шалга.
4. Функцийг үечилсэн байдлыг шалгана уу.
5. Функцийн монотон байдлын интервал ба экстремум цэгүүдийг ол.
6. Функцийн гүдгэр интервал ба гулзайлтын цэгийг ол.
7. Функцийн асимптотуудыг ол.
8. Судалгааны үр дүнд үндэслэн график байгуул.
Жишээ:Функцийг судалж, графикийг зур: y = x 3 – 3x
1) Функц нь бүхэл тоон тэнхлэг дээр тодорхойлогддог, өөрөөр хэлбэл түүний тодорхойлолтын муж нь D(y) = (-∞; +∞).
2) Координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг ол:
OX тэнхлэгтэй: x 3 – 3x = 0 тэгшитгэлийг шийд
OY тэнхлэгтэй: y(0) = 0 3 – 3*0 = 0
3) Функц тэгш эсвэл сондгой эсэхийг олж мэд:
y(-x) = (-x) 3 – 3(-x) = -x 3 + 3x = - (x 3 – 3x) = -y(x)
Үүнээс үзэхэд функц нь сондгой байна.
4) Функц нь үе үе биш юм.
5) Функцийн монотон байдлын интервал ба экстремум цэгүүдийг олъё: y’ = 3x 2 - 3.
Чухал цэгүүд: 3x 2 – 3 = 0, x 2 =1, x= ±1.
y(-1) = (-1) 3 – 3(-1) = 2
y(1) = 1 3 – 3*1 = -2
6) Функцийн гүдгэр интервал ба гулзайлтын цэгийг ол: y’’ = 6x
Чухал цэгүүд: 6x = 0, x = 0.
y(0) = 0 3 – 3*0 = 0
7) Функц нь тасралтгүй, асимптотгүй.
8) Судалгааны үр дүнд үндэслэн бид функцийн графикийг байгуулна.
Экспонентийн янз бүрийн утгуудын чадлын функцүүдийн шинж чанар, графикийг үзүүлэв. Үндсэн томьёо, тодорхойлолтын хүрээ ба утгын багц, паритет, монотон байдал, өсөх ба буурах, экстремум, гүдгэр, гулзайлт, координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэг, хязгаар, тодорхой утгууд.
Эрчим хүчний функц бүхий томьёо
y = x p чадлын функцийн тодорхойлолтын мужид дараах томъёонууд байна.
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Хүчин чадлын функцүүдийн шинж чанарууд ба тэдгээрийн графикууд
Тэгтэй тэнцүү экспоненттай чадлын функц, p = 0
y = x p чадлын функцийн илтгэгч тэгтэй тэнцүү p = 0 бол чадлын функц нь бүх x ≠ 0-д тодорхойлогддог бөгөөд нэгтэй тэнцүү тогтмол байна.
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.
Байгалийн сондгой илтгэгчтэй чадлын функц, p = n = 1, 3, 5, ...
Байгалийн сондгой илтгэгч n = 1, 3, 5, ... y = x p = x n чадлын функцийг авч үзье. Энэ үзүүлэлтийг мөн хэлбэрээр бичиж болно: n = 2k + 1, k = 0, 1, 2, 3, ... нь сөрөг бус бүхэл тоо юм. Ийм функцүүдийн шинж чанар, графикийг доор харуулав.
n = 1, 3, 5, ... илтгэгчийн янз бүрийн утгуудын хувьд байгалийн сондгой илтгэгчтэй у = x n чадлын функцийн график.
Домэйн: -∞ < x < ∞
Олон утгатай: -∞ < y < ∞
Паритет:сондгой, y(-x) = - y(x)
Монотон:монотоноор нэмэгддэг
Хэт их:Үгүй
Гүдгэр:
-∞ дээр< x < 0
выпукла вверх
0-д< x < ∞
выпукла вниз
Гулзайлтын цэгүүд: x = 0, y = 0
x = 0, y = 0
Хязгаар:
;
Хувийн үнэт зүйлс:
x = -1 үед,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
x = 0 үед y(0) = 0 n = 0 байна
x = 1-ийн хувьд y(1) = 1 n = 1 байна
Урвуу функц:
n = 1-ийн хувьд функц нь түүний урвуу: x = y
n ≠ 1-ийн хувьд урвуу функц нь n зэрэглэлийн үндэс болно.
Байгалийн тэгш илтгэгчтэй чадлын функц, p = n = 2, 4, 6, ...
Байгалийн тэгш илтгэгч n = 2, 4, 6, ... y = x p = x n чадлын функцийг авч үзье. Энэ үзүүлэлтийг мөн хэлбэрээр бичиж болно: n = 2k, энд k = 1, 2, 3, ... - байгалийн. Ийм функцүүдийн шинж чанар, графикийг доор өгөв.
n = 2, 4, 6, ... илтгэгчийн янз бүрийн утгуудын хувьд натурал тэгш илтгэгчтэй y = x n чадлын функцийн график.
Домэйн: -∞ < x < ∞
Олон утгатай: 0 ≤ y< ∞
Паритет:тэгш, y(-x) = y(x)
Монотон:
x ≤ 0-ийн хувьд монотон буурна
x ≥ 0-ийн хувьд монотон нэмэгдэнэ
Хэт их:хамгийн бага, x = 0, y = 0
Гүдгэр:гүдгэр доош
Гулзайлтын цэгүүд:Үгүй
Координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд: x = 0, y = 0
Хязгаар:
;
Хувийн үнэт зүйлс:
x = -1 үед, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
x = 0 үед y(0) = 0 n = 0 байна
x = 1-ийн хувьд y(1) = 1 n = 1 байна
Урвуу функц:
n = 2-ын хувьд квадрат язгуур:
n ≠ 2-ийн хувьд n зэрэглэлийн үндэс:
Сөрөг бүхэл тоон үзүүлэлттэй чадлын функц, p = n = -1, -2, -3, ...
Бүхэл сөрөг илтгэгч n = -1, -2, -3, ... y = x p = x n чадлын функцийг авч үзье. Хэрэв k = 1, 2, 3, ... нь натурал тоо болох n = -k гэж тавьбал дараах байдлаар илэрхийлж болно.
n = -1, -2, -3, ... илтгэгчийн янз бүрийн утгуудын сөрөг бүхэл илтгэгчтэй y = x n чадлын функцийн график.
Сондгой илтгэгч, n = -1, -3, -5, ...
Сондгой сөрөг илтгэгч n = -1, -3, -5, ... y = x n функцийн шинж чанаруудыг доор харуулав.
Домэйн: x ≠ 0
Олон утгатай: y ≠ 0
Паритет:сондгой, y(-x) = - y(x)
Монотон:монотоноор буурдаг
Хэт их:Үгүй
Гүдгэр:
x дээр< 0
:
выпукла вверх
x > 0-ийн хувьд: гүдгэр доош
Гулзайлтын цэгүүд:Үгүй
Координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд:Үгүй
Гарын үсэг зурах:
x дээр< 0, y < 0
x > 0, y > 0-ийн хувьд
Хязгаар:
; ; ;
Хувийн үнэт зүйлс:
x = 1-ийн хувьд y(1) = 1 n = 1 байна
Урвуу функц:
n = -1 үед,
n< -2
,
Тэгш илтгэгч, n = -2, -4, -6, ...
Тэгш сөрөг илтгэгч n = -2, -4, -6, ... y = x n функцийн шинж чанаруудыг доор харуулав.
Домэйн: x ≠ 0
Олон утгатай: y > 0
Паритет:тэгш, y(-x) = y(x)
Монотон:
x дээр< 0
:
монотонно возрастает
x > 0-ийн хувьд: монотон буурна
Хэт их:Үгүй
Гүдгэр:гүдгэр доош
Гулзайлтын цэгүүд:Үгүй
Координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд:Үгүй
Гарын үсэг зурах: y > 0
Хязгаар:
; ; ;
Хувийн үнэт зүйлс:
x = 1-ийн хувьд y(1) = 1 n = 1 байна
Урвуу функц:
n = -2 үед,
n< -2
,
Рационал (бутархай) илтгэгчтэй чадлын функц
Рационал (бутархай) илтгэгчтэй y = x p чадлын функцийг авч үзье, энд n нь бүхэл тоо, m > 1 нь натурал тоо юм. Түүнчлэн n, m-д нийтлэг хуваагч байдаггүй.
Бутархай үзүүлэлтийн хуваагч нь сондгой байна
Бутархай илтгэгчийн хуваагч сондгой байг: m = 3, 5, 7, ... . Энэ тохиолдолд x p аргументийн эерэг ба сөрөг утгуудын аль алиных нь хувьд чадлын функцийг тодорхойлно. р илтгэгч тодорхой хязгаарт байх үед ийм чадлын функцүүдийн шинж чанарыг авч үзье.
p-утга нь сөрөг, p< 0
Рационал илтгэгч (сондгой хуваарьтай m = 3, 5, 7, ...) тэгээс бага байг: .
m = 3, 5, 7, ... сондгой байх илтгэгчийн янз бүрийн утгуудын хувьд оновчтой сөрөг илтгэгчтэй чадлын функцүүдийн графикууд.
Сондгой тоологч, n = -1, -3, -5, ...
y = x p чадлын функцийн шинж чанаруудыг рационал сөрөг илтгэгчтэй танилцуулж байна. Энд n = -1, -3, -5, ... сондгой сөрөг бүхэл тоо, m = 3, 5, 7 ... сондгой натурал бүхэл тоо.
Домэйн: x ≠ 0
Олон утгатай: y ≠ 0
Паритет:сондгой, y(-x) = - y(x)
Монотон:монотоноор буурдаг
Хэт их:Үгүй
Гүдгэр:
x дээр< 0
:
выпукла вверх
x > 0-ийн хувьд: гүдгэр доош
Гулзайлтын цэгүүд:Үгүй
Координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд:Үгүй
Гарын үсэг зурах:
x дээр< 0, y < 0
x > 0, y > 0-ийн хувьд
Хязгаар:
; ; ;
Хувийн үнэт зүйлс:
үед x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
x = 1-ийн хувьд y(1) = 1 n = 1 байна
Урвуу функц:
Тэгш тоологч, n = -2, -4, -6, ...
Рационал сөрөг илтгэгчтэй у = x p чадлын функцийн шинж чанарууд, энд n = -2, -4, -6, ... тэгш сөрөг бүхэл тоо, m = 3, 5, 7 ... нь сондгой натурал бүхэл тоо. .
Домэйн: x ≠ 0
Олон утгатай: y > 0
Паритет:тэгш, y(-x) = y(x)
Монотон:
x дээр< 0
:
монотонно возрастает
x > 0-ийн хувьд: монотон буурна
Хэт их:Үгүй
Гүдгэр:гүдгэр доош
Гулзайлтын цэгүүд:Үгүй
Координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд:Үгүй
Гарын үсэг зурах: y > 0
Хязгаар:
; ; ;
Хувийн үнэт зүйлс:
үед x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
x = 1-ийн хувьд y(1) = 1 n = 1 байна
Урвуу функц:
p-утга эерэг, нэгээс бага, 0< p < 1
Рационал илтгэгчтэй чадлын функцийн график (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.
Сондгой тоологч, n = 1, 3, 5, ...
< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Домэйн: -∞ < x < +∞
Олон утгатай: -∞ < y < +∞
Паритет:сондгой, y(-x) = - y(x)
Монотон:монотоноор нэмэгддэг
Хэт их:Үгүй
Гүдгэр:
x дээр< 0
:
выпукла вниз
x > 0-ийн хувьд: дээшээ гүдгэр
Гулзайлтын цэгүүд: x = 0, y = 0
Координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд: x = 0, y = 0
Гарын үсэг зурах:
x дээр< 0, y < 0
x > 0, y > 0-ийн хувьд
Хязгаар:
;
Хувийн үнэт зүйлс:
x = -1, y(-1) = -1 үед
x = 0, y(0) = 0 үед
x = 1-ийн хувьд у(1) = 1
Урвуу функц:
Тэгш тоологч, n = 2, 4, 6, ...
0 дотор рационал илтгэгчтэй y = x p чадлын функцийн шинж чанаруудыг үзүүлэв< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Домэйн: -∞ < x < +∞
Олон утгатай: 0 ≤ y< +∞
Паритет:тэгш, y(-x) = y(x)
Монотон:
x дээр< 0
:
монотонно убывает
x > 0-ийн хувьд: монотон нэмэгдэнэ
Хэт их:хамгийн бага нь x = 0, y = 0
Гүдгэр: x ≠ 0-ийн хувьд дээшээ гүдгэр
Гулзайлтын цэгүүд:Үгүй
Координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд: x = 0, y = 0
Гарын үсэг зурах: x ≠ 0, y > 0-ийн хувьд
Хязгаар:
;
Хувийн үнэт зүйлс:
x = -1, y(-1) = 1 үед
x = 0, y(0) = 0 үед
x = 1-ийн хувьд у(1) = 1
Урвуу функц:
p индекс нэгээс их, p > 1 байна
Рационал илтгэгчтэй чадлын функцийн график (p > 1) илтгэгчийн янз бүрийн утгуудын хувьд m = 3, 5, 7, ... - сондгой.
Сондгой тоологч, n = 5, 7, 9, ...
Рационал илтгэгч нэгээс их y = x p чадлын функцийн шинж чанарууд: . Энд n = 5, 7, 9, ... - сондгой байгалийн, m = 3, 5, 7 ... - сондгой байгалийн.
Домэйн: -∞ < x < ∞
Олон утгатай: -∞ < y < ∞
Паритет:сондгой, y(-x) = - y(x)
Монотон:монотоноор нэмэгддэг
Хэт их:Үгүй
Гүдгэр:
-∞ дээр< x < 0
выпукла вверх
0-д< x < ∞
выпукла вниз
Гулзайлтын цэгүүд: x = 0, y = 0
Координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд: x = 0, y = 0
Хязгаар:
;
Хувийн үнэт зүйлс:
x = -1, y(-1) = -1 үед
x = 0, y(0) = 0 үед
x = 1-ийн хувьд у(1) = 1
Урвуу функц:
Тэгш тоологч, n = 4, 6, 8, ...
Рационал илтгэгч нэгээс их y = x p чадлын функцийн шинж чанарууд: . Энд n = 4, 6, 8, ... - тэгш байгалийн, m = 3, 5, 7 ... - сондгой байгалийн.
Домэйн: -∞ < x < ∞
Олон утгатай: 0 ≤ y< ∞
Паритет:тэгш, y(-x) = y(x)
Монотон:
x дээр< 0
монотонно убывает
x > 0-ийн хувьд монотон нэмэгдэнэ
Хэт их:хамгийн бага нь x = 0, y = 0
Гүдгэр:гүдгэр доош
Гулзайлтын цэгүүд:Үгүй
Координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд: x = 0, y = 0
Хязгаар:
;
Хувийн үнэт зүйлс:
x = -1, y(-1) = 1 үед
x = 0, y(0) = 0 үед
x = 1-ийн хувьд у(1) = 1
Урвуу функц:
Бутархай үзүүлэлтийн хуваагч тэгш байна
Бутархай илтгэгчийн хуваагч тэгш байг: m = 2, 4, 6, ... . Энэ тохиолдолд аргументийн сөрөг утгуудын хувьд x p чадлын функц тодорхойлогдоогүй болно. Түүний шинж чанарууд нь иррациональ илтгэгч бүхий чадлын функцийн шинж чанаруудтай давхцдаг (дараагийн хэсгийг үзнэ үү).
Иррационал илтгэгчтэй чадлын функц
Иррационал р илтгэгчтэй у = x p чадлын функцийг авч үзье. Ийм функцүүдийн шинж чанарууд нь дээр дурдсанаас ялгаатай бөгөөд тэдгээр нь аргумент x-ийн сөрөг утгуудад тодорхойлогдоогүй болно. Аргументийн эерэг утгуудын хувьд шинж чанарууд нь зөвхөн р илтгэгчийн утгаас хамаардаг бөгөөд p нь бүхэл тоо, оновчтой эсвэл иррациональ эсэхээс хамаардаггүй.
р илтгэгчийн өөр утгуудын хувьд y = x p.
Сөрөг илтгэгч p-тэй чадлын функц< 0
Домэйн: x > 0
Олон утгатай: y > 0
Монотон:монотоноор буурдаг
Гүдгэр:гүдгэр доош
Гулзайлтын цэгүүд:Үгүй
Координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд:Үгүй
Хязгаар: ;
Хувийн утга: x = 1-ийн хувьд y(1) = 1 p = 1 байна
Эерэг илтгэгч p > 0-тэй чадлын функц
Нэг 0-ээс бага үзүүлэлт< p < 1
Домэйн: x ≥ 0
Олон утгатай: y ≥ 0
Монотон:монотоноор нэмэгддэг
Гүдгэр:дээшээ гүдгэр
Гулзайлтын цэгүүд:Үгүй
Координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд: x = 0, y = 0
Хязгаар:
Хувийн үнэт зүйлс: x = 0-ийн хувьд y(0) = 0 p = 0 байна.
x = 1-ийн хувьд y(1) = 1 p = 1 байна
Үзүүлэлт нь нэг p > 1-ээс их байна
Домэйн: x ≥ 0
Олон утгатай: y ≥ 0
Монотон:монотоноор нэмэгддэг
Гүдгэр:гүдгэр доош
Гулзайлтын цэгүүд:Үгүй
Координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд: x = 0, y = 0
Хязгаар:
Хувийн үнэт зүйлс: x = 0-ийн хувьд y(0) = 0 p = 0 байна.
x = 1-ийн хувьд y(1) = 1 p = 1 байна
Лавлагаа:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Инженер, коллежийн оюутнуудад зориулсан математикийн гарын авлага, "Лан", 2009 он.
Тодорхойлолт: Тоон функц гэдэг нь өгөгдсөн олонлогийн х тоо бүрийг нэг у тоотой холбосон захидал харилцаа юм.
Зориулалт:
Энд x нь бие даасан хувьсагч (аргумент), y нь хамааралтай хувьсагч (функц) юм. X-ийн утгуудын багцыг функцийн домэйн гэж нэрлэдэг (D(f) гэж тэмдэглэсэн). Y-ийн утгуудын багцыг функцийн утгын муж гэж нэрлэдэг (E(f) гэж тэмдэглэсэн). Функцийн график нь (x, f(x)) координаттай хавтгайн цэгүүдийн багц юм.
Функцийг тодорхойлох аргууд.
- аналитик арга (математикийн томъёог ашиглах);
- хүснэгтийн арга (хүснэгт ашиглах);
- дүрслэх арга (аман тайлбарыг ашиглах);
- график арга (график ашиглан).
Функцийн үндсэн шинж чанарууд.
1. Тэгш ба сондгой
Функцийг ч гэсэн дууддаг
– функцийн тодорхойлолтын домэйн нь тэг орчим тэгш хэмтэй байна
f(-x) = f(x)
Тэгш функцийн график нь тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна 0 жил
Функцийг сондгой if гэж нэрлэдэг
– функцийн тодорхойлолтын домэйн нь тэг орчим тэгш хэмтэй байна
– тодорхойлолтын домэйны дурын х-д f(-x) = –f(x)
Сондгой функцийн график нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байна.
2. Давтамж
f(x) функцийг тодорхойлолтын мужаас дурын х-ийн хувьд үетэй үе гэж нэрлэдэг f(x) = f(x+T) = f(x-T) .
Тогтмол функцийн график нь хязгааргүй давтагдах ижил хэсгүүдээс бүрдэнэ.
3. Нэг хэвийн байдал (өсөх, буурах)
Хэрэв энэ олонлогийн дурын x 1 ба x 2 бол x 1 байвал f(x) функц нь P олонлог дээр нэмэгдэж байна.
Хэрэв энэ олонлогоос ямар нэгэн x 1 ба x 2 байвал f(x) функц нь P олонлог дээр буурдаг бөгөөд x 1 f(x 2) болно.
4. Хэт туйлшрал
X max-ийн зарим хөршийн бүх х-д f(x) f(X max) тэгш бус байдал хангагдсан бол X max цэгийг f(x) функцийн хамгийн их цэг гэнэ.
Y max =f(X max) утгыг энэ функцийн хамгийн их утга гэнэ.
X max - хамгийн их цэг
Хамгийн ихдээ - дээд тал нь
X min-ийн зарим хөршөөс бүх x-ийн хувьд f(x) f(X min) тэгш бус байдал хангагдсан бол X min цэгийг f(x) функцийн хамгийн бага цэг гэнэ.
Y min =f(X min) утгыг энэ функцийн хамгийн бага утга гэнэ.
X мин - хамгийн бага цэг
Y мин - хамгийн бага
X мин , X max – экстремум цэгүүд
Y min , Y max - экстремум.
5. Функцийн тэг
y = f(x) функцийн тэг нь функц тэг болох х аргументын утга юм: f(x) = 0.
X 1, X 2, X 3 – y = f(x) функцийн тэгүүд.
"Функцийн үндсэн шинж чанарууд" сэдэвт даалгавар, тестүүд
- Функцийн шинж чанарууд - Тоон функц 9-р анги
Хичээл: 2 Даалгавар: 11 Тест: 1
- Логарифмын шинж чанарууд - Экспоненциал ба логарифм функцууд 11-р анги
Хичээл: 2 Даалгавар: 14 Тест: 1
- Квадрат язгуур функц, түүний шинж чанар, график - Квадрат язгуур функц. Квадрат язгуурын шинж чанарууд 8-р зэрэг
Хичээл: 1 Даалгавар: 9 Тест: 1
- Хүчин чадлын функц, тэдгээрийн шинж чанар, график - Зэрэг, үндэс. Эрчим хүчний функцууд 11-р анги
Хичээл: 4 Даалгавар: 14 Тест: 1
- Функцүүд - Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтыг хянах чухал сэдвүүд
Даалгавар: 24
Энэ сэдвийг судалсны дараа та янз бүрийн функцүүдийн тодорхойлолтын мужийг олох, график ашиглан функцийн монотон интервалыг тодорхойлох, тэгш ба сондгой байдлыг шалгах чадвартай байх ёстой. Дараах жишээнүүдийг ашиглан ижил төстэй асуудлыг шийдвэрлэх талаар авч үзье.
Жишээ.
1. Функцийн тодорхойлолтын мужийг ол.
Шийдэл:нөхцөлөөс функцийн тодорхойлолтын мужийг олно
Энэ хэсэгт үндсэн үндсэн функцууд болон тэдгээрийн шинж чанаруудын талаархи лавлагаа материалыг агуулдаг. Энгийн функцүүдийн ангиллыг өгсөн болно. График, томьёо, дериватив, эсрэг дериватив (интеграл), цувралын өргөтгөлүүд, цогц хувьсагчаар илэрхийлэгдэх тодорхой функцүүдийн шинж чанаруудын талаархи дэд хэсгүүдийн холбоосыг доор харуулав.
Үндсэн функцүүдийн лавлах хуудас
Энгийн функцүүдийн ангилал
Алгебрийн функцтэгшитгэлийг хангах функц байна:
,
хаана нь хамааралтай хувьсагч у ба бие даасан хувьсагч х дахь олон гишүүнт байна. Үүнийг дараах байдлаар бичиж болно.
,
олон гишүүнт хаана байна.
Алгебрийн функцийг олон гишүүнт (бүхэл бүтэн рационал функц), рационал функц, иррационал функц гэж хуваадаг.
Бүхэл бүтэн оновчтой функц, үүнийг бас нэрлэдэг олон гишүүнтэсвэл олон гишүүнт, нэмэх (хасах) болон үржүүлэх арифметик үйлдлүүдийг ашиглан х хувьсагч ба хязгаарлагдмал тооны тооноос гарна. Хаалтуудыг нээсний дараа олон гишүүнтийг каноник хэлбэрт оруулна.
.
Бутархай рационал функц, эсвэл зүгээр л оновчтой функц, нэмэх (хасах), үржүүлэх, хуваах арифметик үйлдлүүдийг ашиглан х хувьсагч ба хязгаарлагдмал тооны тооноос гарна. Рационал функцийг хэлбэр болгон бууруулж болно
,
хаана ба олон гишүүнт байна.
Иррациональ функцнь рационал биш алгебрийн функц юм. Дүрмээр бол иррациональ функцийг үндэс ба тэдгээрийн оновчтой функц бүхий найрлага гэж ойлгодог. n зэрэгтэй үндэс нь тэгшитгэлийн шийдэл гэж тодорхойлогддог
.
Үүнийг дараах байдлаар томилно.
.
Трансцендент функцуудалгебрийн бус функцууд гэж нэрлэдэг. Эдгээр нь экспоненциал, тригонометр, гипербол болон тэдгээрийн урвуу функцууд юм.
Үндсэн үндсэн функцүүдийн тойм
Бүх энгийн функцуудыг дараах хэлбэрийн илэрхийлэл дээр гүйцэтгэсэн нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах үйлдлүүдийн төгсгөлтэй тоогоор дүрсэлж болно.
z t.
Мөн урвуу функцийг логарифмээр илэрхийлж болно. Үндсэн үндсэн функцуудыг доор жагсаав.
Эрчим хүчний функц:
y(x) = x p ,
Энд p нь илтгэгч. Энэ нь х зэрэглэлийн сууриас хамаарна.
Хүч чадлын функцийн урвуу нь мөн чадлын функц юм.
.
р илтгэгчийн сөрөг бус бүхэл утгын хувьд энэ нь олон гишүүнт юм. Бүхэл тоон утгын хувьд p - оновчтой функц. Рациональ утгатай - иррациональ функц.
Трансцендент функцууд
Экспоненциал функц:
y(x) = a x ,
Энд a нь зэрэглэлийн суурь юм. Энэ нь x илтгэгчээс хамаарна.
Урвуу функц нь a суурийн логарифм юм:
x = log a y.
Экспонент, e-ийн x-ийн хүч:
y(x) = e x ,
Энэ нь дериватив нь тухайн функцтэй тэнцүү экспоненциал функц юм:
.
Экспонентийн суурь нь e тоо юм:
≈ 2,718281828459045...
.
Урвуу функц нь натурал логарифм - e тооны суурийн логарифм юм:
x = ln y ≡ log e y.
Тригонометрийн функцууд:
Синус: ;
Косинус: ;
Шүргэдэг: ;
Котангенс: ;
Энд i нь төсөөллийн нэгж, i 2 = -1.
Урвуу тригонометрийн функцууд:
Арксинус: x = арксин у,
;
Нуман косинус: x = arccos y,
;
Арктангенс: x = арктан y,
;
Нуман тангенс: x = arcctg y,
.
Тодорхойлолтын домэйн ба функцийн утгын хүрээ.Анхан шатны математикийн хувьд функцийг зөвхөн бодит тооны олонлог дээр судалдаг Р.Энэ нь функцийн аргумент нь зөвхөн тухайн функцийг тодорхойлсон бодит утгыг авч болно гэсэн үг юм. энэ нь зөвхөн бодит үнэ цэнийг хүлээн зөвшөөрдөг. Цөөн хэдэн Xбүх хүчинтэй аргументын утгууд x, үүнд зориулсан функц y= е(x) тодорхойлсон, дуудагдсан функцийн домэйн. Цөөн хэдэн Юбүх бодит үнэ цэнэ y, функц нь хүлээн зөвшөөрдөг, гэж нэрлэдэг функцийн хүрээ. Одоо бид функцийн илүү нарийн тодорхойлолтыг өгч болно: дүрэм(хууль) X ба Y олонлогуудын хоорондын уялдаа холбоо, үүний дагуу олонлогоос элемент бүрийн хувьдX нь функц гэж нэрлэгддэг Y олонлогоос зөвхөн нэг элементийг олж чадна.
Энэ тодорхойлолтоос харахад функцийг дараах тохиолдолд тодорхойлсон гэж үзнэ.
Функцийн домайныг зааж өгсөн болно X ;
Функцийн хүрээг тодорхойлсон Ю ;
Захидал харилцааны дүрэм (хууль) нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд тус бүрийн хувьд ийм байдаг
Аргументын утгын хувьд зөвхөн нэг функцийн утгыг олох боломжтой.
Функцийн өвөрмөц байдлын энэхүү шаардлага нь заавал байх ёстой.
Монотон функц.Хэрэв аргументийн аль нэг хоёр утгын хувьд x 1 ба xнөхцөл байдлын 2 x 2 > x 1 дагаж байна е(x 2) > е(x 1), дараа нь функц е(x) гэж нэрлэдэг нэмэгдэх; хэрэв байгаа бол x 1 ба xнөхцөл байдлын 2 x 2 > x 1 дагаж байна е(x 2) < е(x 1), дараа нь функц е(x) гэж нэрлэдэг буурч байна. Зөвхөн өсдөг эсвэл зөвхөн буурдаг функцийг дууддаг нэг хэвийн.
Хязгаарлагдмал ба хязгааргүй функцууд.Функцийг дууддаг хязгаарлагдмал, хэрэв ийм эерэг тоо байгаа бол Мюу | е(x) | Мбүх үнэт зүйлсийн хувьд x.Хэрэв ийм тоо байхгүй бол функц нь байна хязгааргүй.
ЖИШЭЭ.
3-р зурагт үзүүлсэн функц нь хязгаарлагдмал боловч монотон биш юм. 4-р зураг дээрх функц нь яг эсрэгээрээ, монотон, гэхдээ хязгааргүй юм. (Үүнийг тайлбарлана уу!).
Тасралтгүй ба тасархай функцууд.Чиг үүрэг y = е (x) гэж нэрлэдэг Үргэлжилсэн цэг дээрx = а, Хэрэв:
1) функц нь хэзээ тодорхойлогддог x = а, өөрөөр хэлбэл е (а) байдаг;
2) байдаг хязгаарлагдмалхязгаар лим е (x) ;
x→а
(Функцийн хязгаарыг үзнэ үү)
3) е (а) = лим е (x) .
x→а
Хэрэв эдгээр нөхцлүүдийн дор хаяж нэг нь хангагдаагүй бол функцийг дуудна тэсрэх бодисцэг дээр x = а.
Хэрэв функц нь хугацаанд тасралтгүй байвал хүн бүр түүний тодорхойлолтын хүрээний цэгүүд, дараа нь үүнийг дууддаг тасралтгүй функц.
Тэгш ба сондгой функцууд.Хэрэв төлөө ямар ч x е(- x) = е (x), дараа нь функц дуудагдана бүр; хэрэв энэ нь тохиолдвол: е(- x) = - е (x), дараа нь функц дуудагдана хачин. Тэгш функцийн график Y тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй(Зураг 5), сондгой функцийн график Симгарал үүсэлтэй холбоотой хэмжүүр(Зураг 6).
Тогтмол функц.Чиг үүрэг е (x) - үе үе, хэрэв ийм зүйл байгаа бол тэг биштоо Тюуны төлөө ямар ч xФункцийн тодорхойлолтын мужаас дараахь зүйлийг агуулна. е (x + Т) = е (x). Энэ хамгийн багадаадугаарыг дуудаж байна функцийн хугацаа. Бүх тригонометрийн функцууд нь үе үе байдаг.
Жишээ 1. Тэр гэмийг нотол x 2 хугацаатай.
Шийдэл: Бид нүглийг мэднэ ( x+ 2n) = нүгэл x, Хаана n= 0, ± 1, ± 2, …
Тиймээс нэмэлт 2 nсинус аргумент руу биш
Үүний утгыг өөрчилдөг. Энэ өөр тоо байна уу
Ижил өмч үү?
Ингэж жүжиглэе П- ийм тоо, өөрөөр хэлбэл. тэгш байдал:
нүгэл( x+P) = нүгэл x,
Ямар ч үнэ цэнэд хүчинтэй x. Харин дараа нь болсон
Газар, цаг хугацаа x= / 2, өөрөөр хэлбэл.
Нүгэл(/2 + П) = нүгэл / 2 = 1.
Гэхдээ нүгэл бууруулах томъёоны дагуу (/ 2 + П) = cos П. Дараа нь
Сүүлийн хоёр тэгшитгэлээс cos гарч ирнэ П= 1, гэхдээ бид
Энэ нь зөвхөн үед л үнэн гэдгийг бид мэднэ П = 2n. Хамгийн багаас нь
2-оос тэг биш тоо n 2 бол энэ тоо
Мөн нэг үе нүгэл байдаг x. Үүнтэй ижил аргаар нотлогдож болно 2-аас nбайна, тиймээс энэ нь нүгэл 2 үе юм x.
Функцийн тэг.Функц 0-тэй тэнцүү байх аргументын утгыг дуудна тэг (root) функц. Функц олон тэгтэй байж болно.Жишээ нь функц y = x (x + 1) (x-3) гурван тэг байна: x= 0, x= -1, x= 3. Геометрийн хувьд null функц - Энэ нь функцийн графикийн тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн абсцисса юм X .
Зураг 7-д тэгтэй функцийн графикийг үзүүлэв. x= а, x = бТэгээд x= в.
Асимптот.Хэрэв функцийн график эхээс холдохдоо тодорхой шугамд тодорхойгүй хугацаагаар ойртож байвал энэ шугамыг гэнэ. асимптот.
