Équations rationnelles fractionnaires - forme générale d'algorithme de solution. Comment résoudre une équation rationnelle

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"Résoudre des équations rationnelles fractionnaires"

Objectifs de la leçon:

Éducatif:

formation du concept d'équations rationnelles fractionnaires ; envisager différentes façons de résoudre des équations rationnelles fractionnaires ; considérons un algorithme pour résoudre des équations rationnelles fractionnaires, y compris la condition que la fraction soit égale à zéro ; enseigner la résolution d'équations rationnelles fractionnaires à l'aide d'un algorithme ; vérifier le niveau de maîtrise du sujet en réalisant un test.

Du développement:

développer la capacité d'opérer correctement avec les connaissances acquises et de penser logiquement ; développement des compétences intellectuelles et des opérations mentales - analyse, synthèse, comparaison et généralisation ; développement de l'initiative, de la capacité de prendre des décisions, et de ne pas s'arrêter là ; développement de la pensée critique; développement des compétences en recherche.

Éduquer :

favoriser l'intérêt cognitif pour le sujet ; favoriser l'indépendance dans la résolution des problèmes éducatifs ; nourrir la volonté et la persévérance pour atteindre les résultats finaux.

Type de cours: leçon - explication du nouveau matériel.

Pendant les cours

1. Moment organisationnel.

Bonjour gars! Il y a des équations écrites au tableau, regardez-les attentivement. Pouvez-vous résoudre toutes ces équations ? Lesquels ne le sont pas et pourquoi ?

Les équations dans lesquelles les côtés gauche et droit sont des expressions rationnelles fractionnaires sont appelées équations rationnelles fractionnaires. Que pensez-vous que nous allons étudier en classe aujourd’hui ? Formulez le sujet de la leçon. Alors, ouvrez vos cahiers et notez le sujet de la leçon «Résoudre des équations rationnelles fractionnaires».

2. Actualisation des connaissances. Enquête frontale, travail oral avec la classe.

Et maintenant, nous allons répéter le principal matériel théorique dont nous aurons besoin pour étudier un nouveau sujet. Merci de répondre aux questions suivantes:

1. Qu'est-ce qu'une équation ? ( Égalité avec une ou plusieurs variables.)

2. Quel est le nom de l'équation n°1 ? ( Linéaire.) Une méthode pour résoudre des équations linéaires. ( Déplacez tout ce qui a l'inconnue vers la gauche de l'équation, tous les nombres vers la droite. Donnez des termes similaires. Trouver un facteur inconnu).

3. Quel est le nom de l'équation n°3 ? ( Carré.) Méthodes de résolution d'équations quadratiques. ( Isoler un carré complet à l'aide de formules utilisant le théorème de Vieta et ses corollaires.)

4. Qu’est-ce que la proportion ? ( Égalité de deux rapports.) La propriété principale de proportion. ( Si la proportion est correcte, alors le produit des termes extrêmes est égal au produit des termes moyens..)

5. Quelles propriétés sont utilisées lors de la résolution d'équations ? ( 1. Si vous déplacez un terme d'une équation d'une partie à une autre, en changeant son signe, vous obtiendrez une équation équivalente à celle donnée. 2. Si les deux côtés de l'équation sont multipliés ou divisés par le même nombre non nul, vous obtenez une équation équivalente à celle donnée.)

6. Quand une fraction est-elle égale à zéro ? ( Une fraction est égale à zéro lorsque le numérateur est nul et le dénominateur n'est pas zéro..)

3. Explication du nouveau matériel.

Résolvez l’équation n°2 dans vos cahiers et au tableau.

Répondre: 10.

Quelle équation rationnelle fractionnaire pouvez-vous essayer de résoudre en utilisant la propriété fondamentale de proportion ? (N ° 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Résolvez l’équation n°4 dans vos cahiers et au tableau.

Répondre: 1,5.

Quelle équation rationnelle fractionnaire peux-tu essayer de résoudre en multipliant les deux côtés de l’équation par le dénominateur ? (Numéro 6).

D=1›0, x1=3, x2=4.

Répondre: 3;4.

Essayez maintenant de résoudre l’équation numéro 7 en utilisant l’une des méthodes suivantes.

Expliquez pourquoi cela s'est produit ? Pourquoi y a-t-il trois racines dans un cas et deux dans l’autre ? Quels nombres sont les racines de cette équation rationnelle fractionnaire ?

Jusqu'à présent, les étudiants n'ont pas rencontré la notion de racine étrangère ; il leur est en effet très difficile de comprendre pourquoi cela s'est produit. Si personne dans la classe ne peut donner une explication claire de cette situation, l’enseignant pose alors des questions suggestives.

En quoi les équations n°2 et 4 diffèrent-elles des équations n°5,6,7 ? ( Dans les équations n° 2 et 4, il y a des nombres au dénominateur, les n° 5 à 7 sont des expressions avec une variable.) Quelle est la racine d’une équation ? ( La valeur de la variable à laquelle l'équation devient vraie.) Comment savoir si un nombre est la racine d'une équation ? ( Faire un chèque.)

Lors des tests, certains élèves remarquent qu’ils doivent diviser par zéro. Ils concluent que les nombres 0 et 5 ne sont pas les racines de cette équation. La question se pose : existe-t-il un moyen de résoudre des équations rationnelles fractionnaires qui permette d’éliminer cette erreur ? Oui, cette méthode repose sur la condition que la fraction soit égale à zéro.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Si x=5, alors x(x-5)=0, ce qui signifie que 5 est une racine étrangère.

Si x=-2, alors x(x-5)≠0.

Répondre: -2.

Essayons de formuler un algorithme pour résoudre des équations rationnelles fractionnaires de cette manière. Les enfants formulent eux-mêmes l'algorithme.

Algorithme de résolution d'équations rationnelles fractionnaires :

1. Déplacez tout vers la gauche.

2. Réduisez les fractions à un dénominateur commun.

3. Créez un système : une fraction est égale à zéro lorsque le numérateur est égal à zéro et que le dénominateur n'est pas égal à zéro.

4. Résolvez l’équation.

5. Vérifiez l'inégalité pour exclure les racines superflues.

6. Écrivez la réponse.

Discussion : comment formaliser la solution si l'on utilise la propriété de base de proportion et en multipliant les deux côtés de l'équation par un dénominateur commun. (Ajouter à la solution : exclure de ses racines celles qui font disparaître le dénominateur commun).

4. Compréhension initiale du nouveau matériel.

Travailler en équipe de deux. Les élèves choisissent eux-mêmes comment résoudre l’équation en fonction du type d’équation. Devoirs du manuel « Algebra 8 », 2007 : n° 000 (b, c, i) ; N° 000(a, d, g). L'enseignant surveille l'achèvement de la tâche, répond à toutes les questions qui se posent et fournit une assistance aux élèves peu performants. Autotest : les réponses sont écrites au tableau.

b) 2 – racine étrangère. Réponse : 3.

c) 2 – racine étrangère. Réponse : 1.5.

a) Réponse : -12.5.

g) Réponse : 1;1.5.

5. Fixer des devoirs.

2. Apprenez l'algorithme de résolution d'équations rationnelles fractionnaires.

3. Résoudre dans les cahiers n° 000 (a, d, e) ; N° 000(g, h).

4. Essayez de résoudre le numéro 000(a) (facultatif).

6. Réaliser une tâche de contrôle sur le sujet étudié.

Le travail est réalisé sur des morceaux de papier.

Exemple de tâche :

A) Lesquelles des équations sont rationnelles fractionnaires ?

B) Une fraction est égale à zéro lorsque le numérateur est ______________________ et le dénominateur est _______________________.

Q) Le nombre -3 est-il la racine de l'équation numéro 6 ?

D) Résoudre l'équation n°7.

Critères d'évaluation de la mission :

« 5 » est attribué si l'élève a réalisé correctement plus de 90 % de la tâche. « 4 » - 75 %-89 % « 3 » - 50 %-74 % « 2 » est attribué à un élève qui a réalisé moins de 50 % de la tâche. Une note de 2 n'est pas donnée dans le journal, 3 est facultative.

7. Réflexion.

Sur les feuilles de travail indépendantes, écrivez :

1 – si la leçon vous a été intéressante et compréhensible ; 2 – intéressant, mais pas clair ; 3 – pas intéressant, mais compréhensible ; 4 – pas intéressant, pas clair.

8. Résumer la leçon.

Ainsi, aujourd'hui, dans la leçon, nous nous sommes familiarisés avec les équations rationnelles fractionnaires, avons appris à résoudre ces équations de différentes manières et testé nos connaissances à l'aide d'un travail pédagogique indépendant. Vous apprendrez les résultats de votre travail indépendant dans la prochaine leçon et à la maison, vous aurez l'occasion de consolider vos connaissances.

Quelle méthode de résolution d'équations rationnelles fractionnaires, à votre avis, est la plus simple, la plus accessible et la plus rationnelle ? Quelle que soit la méthode de résolution des équations rationnelles fractionnaires, que faut-il retenir ? Quelle est la « ruse » des équations rationnelles fractionnaires ?

Merci à tous, le cours est terminé.

Le plus petit dénominateur commun est utilisé pour simplifier cette équation. Cette méthode est utilisée lorsque vous ne pouvez pas écrire une équation donnée avec une expression rationnelle de chaque côté de l’équation (et utiliser la méthode de multiplication entrecroisée). Cette méthode est utilisée lorsqu'on vous donne une équation rationnelle avec 3 fractions ou plus (dans le cas de deux fractions, il est préférable d'utiliser la multiplication entrecroisée).

Nous avons déjà appris à résoudre des équations quadratiques. Étendons maintenant les méthodes étudiées aux équations rationnelles.

Qu'est-ce qu'une expression rationnelle ? Nous avons déjà rencontré ce concept. Expressions rationnelles sont des expressions composées de nombres, de variables, de leurs puissances et de symboles d'opérations mathématiques.

En conséquence, les équations rationnelles sont des équations de la forme : , où - des expressions rationnelles.

Auparavant, nous n'avions considéré que les équations rationnelles pouvant être réduites à des équations linéaires. Examinons maintenant ces équations rationnelles qui peuvent être réduites à des équations quadratiques.

Exemple 1

Résous l'équation: .

Solution:

Une fraction est égale à 0 si et seulement si son numérateur est égal à 0 et son dénominateur n'est pas égal à 0.

On obtient le système suivant :

La première équation du système est une équation quadratique. Avant de le résoudre, divisons tous ses coefficients par 3. On obtient :

On obtient deux racines : ; .

Puisque 2 n’est jamais égal à 0, deux conditions doivent être remplies : . Puisqu'aucune des racines de l'équation obtenue ci-dessus ne coïncide avec les valeurs invalides de la variable obtenues lors de la résolution de la deuxième inégalité, ce sont toutes deux des solutions à cette équation.

Répondre:.

Formulons donc un algorithme pour résoudre des équations rationnelles :

1. Déplacez tous les termes vers la gauche afin que le côté droit se termine par 0.

2. Transformez et simplifiez le côté gauche, ramenez toutes les fractions à un dénominateur commun.

3. Égalisez la fraction résultante à 0 en utilisant l'algorithme suivant : .

4. Notez les racines obtenues dans la première équation et satisfaisez la deuxième inégalité dans la réponse.

Regardons un autre exemple.

Exemple 2

Résous l'équation: .

Solution

Au tout début, on déplace tous les termes vers la gauche pour que 0 reste à droite. On obtient :

Ramenons maintenant le côté gauche de l’équation à un dénominateur commun :

Cette équation est équivalente au système :

La première équation du système est une équation quadratique.

Coefficients de cette équation : . On calcule le discriminant :

On obtient deux racines : ; .

Résolvons maintenant la deuxième inégalité : le produit des facteurs n'est pas égal à 0 si et seulement si aucun des facteurs n'est égal à 0.

Deux conditions doivent être remplies : . On constate que des deux racines de la première équation, une seule convient - 3.

Répondre:.

Dans cette leçon, nous avons rappelé ce qu'est une expression rationnelle et avons également appris à résoudre des équations rationnelles, qui se réduisent à des équations quadratiques.

Dans la leçon suivante, nous examinerons les équations rationnelles en tant que modèles de situations réelles, ainsi que les problèmes de mouvement.

Bibliographie

1. Bashmakov M.I. Algèbre, 8e année. - M. : Éducation, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et autres. Algèbre, 8. 5e éd. - M. : Éducation, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algèbre, 8e année. Manuel pour les établissements d'enseignement général. - M. : Éducation, 2006.

1. Festival d'idées pédagogiques "Leçon Ouverte" ().
2. École.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

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