À l’école, chacun de nous a été confronté à un problème similaire au suivant. Si une voiture se déplaçait sur une partie du trajet à une vitesse et sur la partie suivante de la route à une autre, comment trouver la vitesse moyenne ?
Quelle est cette quantité et pourquoi est-elle nécessaire ? Essayons de comprendre cela.
La vitesse en physique est une quantité qui décrit la distance parcourue par unité de temps. Autrement dit, quand on dit que la vitesse d’un piéton est de 5 km/h, cela signifie qu’il parcourt une distance de 5 km en 1 heure.
La formule pour trouver la vitesse ressemble à ceci :
V=S/t, où S est la distance parcourue, t est le temps.
Il n’y a pas une seule dimension dans cette formule, puisqu’elle décrit à la fois des processus extrêmement lents et très rapides.
Par exemple, un satellite artificiel de la Terre parcourt environ 8 km en 1 seconde, et les plaques tectoniques sur lesquelles se trouvent les continents, selon les mesures des scientifiques, ne divergent que de quelques millimètres par an. Par conséquent, les dimensions de la vitesse peuvent être différentes - km/h, m/s, mm/s, etc.
Le principe est que la distance est divisée par le temps nécessaire pour parcourir le chemin. N'oubliez pas la dimensionnalité si des calculs complexes sont effectués.
Afin de ne pas se tromper et de ne pas se tromper dans la réponse, toutes les quantités sont données dans les mêmes unités de mesure. Si la longueur du chemin est indiquée en kilomètres, et une partie en centimètres, alors jusqu'à ce que nous obtenions l'unité de dimension, nous ne connaîtrons pas la bonne réponse.
Vitesse constante
Description de la formule.
Le cas le plus simple en physique est celui du mouvement uniforme. La vitesse est constante et ne change pas tout au long du trajet. Il existe même des constantes de vitesse tabulées, des valeurs immuables. Par exemple, le son se propage dans l’air à une vitesse de 340,3 m/s.
Et la lumière est la championne absolue à cet égard, elle a la vitesse la plus élevée de notre Univers - 300 000 km/s. Ces quantités ne changent pas du point de départ du mouvement au point final. Ils dépendent uniquement du milieu dans lequel ils se déplacent (air, vide, eau, etc.).
Des mouvements uniformes nous surviennent souvent dans la vie de tous les jours. C'est ainsi que fonctionne un tapis roulant dans une usine ou une usine, un téléphérique sur des routes de montagne, un ascenseur (sauf pour de très courtes périodes de démarrage et d'arrêt).
Le graphique d’un tel mouvement est très simple et représente une ligne droite. 1 seconde - 1 m, 2 secondes - 2 m, 100 secondes - 100 m Tous les points sont sur la même ligne droite.
Vitesse inégale
Malheureusement, il est extrêmement rare que les choses soient aussi idéales, tant dans la vie qu'en physique. De nombreux processus se déroulent à une vitesse inégale, parfois accélérés, parfois ralentis.
Imaginons le mouvement d'un bus interurbain régulier. Au début du trajet, il accélère, ralentit aux feux tricolores, voire s'arrête complètement. Ensuite, il va plus vite en dehors de la ville, mais plus lentement dans les montées, et accélère à nouveau dans les descentes.
Si vous décrivez ce processus sous forme de graphique, vous obtiendrez une ligne très complexe. Il est possible de déterminer la vitesse à partir du graphique uniquement pour un point précis, mais il n'y a pas de principe général.
Vous aurez besoin de tout un ensemble de formules, chacune ne convenant qu'à sa propre section du dessin. Mais il n'y a rien d'effrayant. Pour décrire le mouvement du bus, une valeur moyenne est utilisée.
Vous pouvez trouver la vitesse moyenne en utilisant la même formule. En effet, on sait que la distance entre les gares routières et le temps de trajet ont été mesurés. Divisez l'un par l'autre et trouvez la valeur requise.
Pourquoi est-ce?
De tels calculs sont utiles à tout le monde. Nous planifions notre journée et nos déplacements à tout moment. Ayant une datcha en dehors de la ville, il est logique de connaître la vitesse moyenne au sol lorsque vous vous y rendez.
Cela facilitera la planification de votre week-end. Ayant appris à trouver cette valeur, nous pouvons être plus ponctuels et ne plus être en retard.
Revenons à l'exemple proposé au tout début, lorsqu'une voiture roulait une partie du trajet à une vitesse, et l'autre à une vitesse différente. Ce type de problème est très souvent utilisé dans le programme scolaire. Par conséquent, lorsque votre enfant vous demandera de l’aider à résoudre un problème similaire, il vous sera facile de le faire.
En additionnant les longueurs des tronçons de chemin, vous obtenez la distance totale. En divisant leurs valeurs par les vitesses indiquées dans les données initiales, vous pouvez déterminer le temps passé sur chacune des sections. En les additionnant, nous obtenons le temps passé sur l'ensemble du voyage.
Très simple! Il est nécessaire de diviser l'ensemble du chemin au moment où l'objet du mouvement était en route. Exprimée différemment, on peut définir la vitesse moyenne comme la moyenne arithmétique de toutes les vitesses d'un objet. Mais il existe certaines nuances lors de la résolution de problèmes dans ce domaine.
Par exemple, pour calculer la vitesse moyenne, la version suivante du problème est donnée : le voyageur a d'abord marché à une vitesse de 4 km par heure pendant une heure. Puis une voiture qui passait l’a « récupéré » et il a parcouru le reste du trajet en 15 minutes. De plus, la voiture roulait à une vitesse de 60 km/h. Comment déterminer la vitesse moyenne d’un voyageur ?
Il ne faut pas simplement additionner 4 km et 60 et les diviser en deux, ce serait une mauvaise solution ! Après tout, les itinéraires parcourus à pied et en voiture nous sont inconnus. Cela signifie que nous devons d’abord calculer le chemin entier.
La première partie du parcours est facile à trouver : 4 km par heure X 1 heure = 4 km
Il y a des problèmes mineurs avec la deuxième partie du trajet : la vitesse est exprimée en heures, et le temps de trajet est exprimé en minutes. Cette nuance rend souvent difficile la recherche de la bonne réponse lorsque des questions sont posées sur la manière de trouver la vitesse, le trajet ou le temps moyen.
Exprimons 15 minutes en heures. Pour cela, 15 minutes : 60 minutes = 0,25 heure. Calculons maintenant la distance parcourue par le voyageur ?
60 km/h X 0,25h = 15 km
Désormais, retrouver l'intégralité du trajet parcouru par le voyageur ne sera pas difficile : 15 km + 4 km = 19 km.
Le temps de trajet est également assez simple à calculer. Cela fait 1 heure + 0,25 heure = 1,25 heure.
Et maintenant, il est clair comment trouver la vitesse moyenne : vous devez diviser l'ensemble du trajet par le temps qu'il a fallu au voyageur pour le parcourir. Soit 19 km : 1,25 heure = 15,2 km/h.
Il y a une blague sur ce sujet. Un homme pressé demande au propriétaire du terrain : « Puis-je accéder à la gare en passant par votre site ? J'arrive un peu en retard et souhaite raccourcir mon trajet en y allant directement. Alors je serai certainement à l’heure pour le train qui part à 16h45 ! - « Bien sûr, vous pouvez raccourcir votre chemin en passant par mon pré ! Et si mon taureau vous remarque là-bas, vous prendrez même le train qui part à 16h15.
Cette situation comique est quant à elle directement liée à un concept mathématique tel que la vitesse moyenne. Après tout, un passager potentiel essaie de raccourcir son trajet pour la simple raison qu'il connaît la vitesse moyenne de son déplacement, par exemple 5 km par heure. Et le piéton, sachant que le détour par la route goudronnée fait 7,5 km, après avoir fait des calculs mentaux simples, comprend qu'il lui faudra une heure et demie pour parcourir cette route (7,5 km : 5 km/h = 1,5 heure).
Ayant quitté la maison trop tard, il est limité dans le temps, il décide donc de raccourcir son chemin.
Et nous voilà confrontés à la première règle, qui nous dicte comment trouver la vitesse moyenne de déplacement : en tenant compte de la distance directe entre les points extrêmes du trajet ou précisément en calculant. De ce qui précède, c'est clair pour tout le monde : le calcul doit être effectué en tenant compte de la trajectoire du chemin.
En raccourcissant le trajet, mais sans modifier sa vitesse moyenne, l'objet en la personne du piéton gagne du temps. L'agriculteur, en supposant la vitesse moyenne d'un « sprinter » fuyant un taureau en colère, fait également des calculs simples et donne son résultat.
Les automobilistes utilisent souvent une deuxième règle importante pour calculer la vitesse moyenne, qui concerne le temps de trajet. Il s'agit de la question de savoir comment trouver la vitesse moyenne si l'objet s'arrête en cours de route.
Dans cette option, généralement, s'il n'y a pas de précisions supplémentaires, le temps plein est pris en compte pour le calcul, y compris les arrêts. Par conséquent, un automobiliste peut dire que sa vitesse moyenne le matin sur une route libre est bien supérieure à la vitesse moyenne aux heures de pointe, bien que le compteur de vitesse indique le même chiffre dans les deux versions.
Connaissant ces chiffres, un conducteur expérimenté ne sera jamais en retard nulle part, ayant deviné à l'avance quelle sera sa vitesse moyenne de déplacement en ville à différents moments de la journée.
Il existe des valeurs moyennes dont la définition incorrecte est devenue une plaisanterie ou une parabole. Tout calcul incorrect est commenté par une référence commune et généralement comprise à un résultat aussi manifestement absurde. Par exemple, l'expression « température moyenne à l'hôpital » fera sourire tout le monde avec une compréhension sarcastique. Cependant, les mêmes experts additionnent souvent, sans réfléchir, les vitesses sur certaines sections de l'itinéraire et divisent la somme calculée par le nombre de ces sections afin d'obtenir une réponse tout aussi dénuée de sens. Rappelons du cours de mécanique du lycée comment trouver la vitesse moyenne de manière correcte et non absurde.
Analogue de la « température moyenne » en mécanique
Dans quels cas les conditions délicates d’un problème nous poussent-elles à une réponse hâtive et irréfléchie ? S'ils parlent de « parties » du chemin, mais n'indiquent pas leur longueur, cela alarme même une personne peu expérimentée dans la résolution de tels exemples. Mais si le problème indique directement des intervalles égaux, par exemple « sur la première moitié du trajet, le train a suivi à une vitesse… », ou « le piéton a parcouru le premier tiers du trajet à une vitesse … », puis décrit en détail comment l'objet s'est déplacé à intervalles égaux restants, c'est-à-dire que le rapport est connu S 1 = S 2 = ... = S n et valeurs de vitesse exactes v 1, v 2, ... v n, notre réflexion échoue souvent de manière impardonnable. On considère la moyenne arithmétique des vitesses, c'est-à-dire toutes les valeurs connues v additionner et diviser en n. En conséquence, la réponse s’avère incorrecte.
Des « formules » simples pour calculer des quantités lors d’un mouvement uniforme
Tant pour toute la distance parcourue que pour ses sections individuelles dans le cas de la moyenne de la vitesse, les relations écrites pour un mouvement uniforme sont valables :
- S = vt(1), chemin « formule » ;
- t = S/v(2), "formule" pour calculer le temps de mouvement ;
- v = S/t(3), « formule » pour déterminer la vitesse moyenne sur un tronçon de voie S parcouru dans le temps t.
C'est-à-dire trouver la quantité désirée v en utilisant la relation (3), nous devons connaître exactement les deux autres. C'est pour résoudre la question de savoir comment trouver la vitesse moyenne de déplacement qu'il faut tout d'abord déterminer quelle est la distance totale parcourue S et quelle est la durée totale du mouvement ? t.
Détection mathématique des erreurs cachées
Dans l'exemple que nous résolvons, la distance parcourue par le corps (train ou piéton) sera égale au produit nS n(Depuis que nous n une fois que nous additionnons des sections égales du chemin, dans les exemples donnés - les moitiés, n=2, ou des tiers, n=3). Nous ne savons rien de la durée totale du mouvement. Comment déterminer la vitesse moyenne si le dénominateur de la fraction (3) n'est pas explicitement précisé ? Utilisons la relation (2), pour chaque section du chemin que nous déterminons t n = S n : v n. Montant Nous écrirons les intervalles de temps ainsi calculés sous la ligne de la fraction (3). Il est clair que pour se débarrasser des signes "+", il faut tout apporter S n : v nà un dénominateur commun. Le résultat est une « fraction à deux étages ». Ensuite, nous utilisons la règle : le dénominateur du dénominateur entre dans le numérateur. En conséquence, pour le problème du train après réduction de S n nous avons v av = nv 1 v 2 : v 1 + v 2, n = 2 (4) . Pour le cas d’un piéton, la question de savoir comment trouver la vitesse moyenne est encore plus difficile à résoudre : v av = nv 1 v 2 v 3 : v 1v2 + v 2 v 3 + v 3 v 1,n=3(5).
Confirmation explicite de l'erreur "en chiffres"
Afin de confirmer avec les doigts que déterminer la moyenne arithmétique n’est pas la bonne façon de faire des calculs vÉpouser, rendons l'exemple plus concret en remplaçant les lettres abstraites par des chiffres. Pour le train, prenons les vitesses 40km/h Et 60km/h(mauvaise réponse - 50 km/h). Pour un piéton - 5 , 6 Et 4km/h(moyenne - 5km/h). Il est facile de vérifier en substituant les valeurs dans les relations (4) et (5) que les bonnes réponses sont pour la locomotive 48km/h et pour une personne - 4.(864)km/h(fraction décimale périodique, le résultat n'est pas très beau mathématiquement).
Quand la moyenne arithmétique n'échoue pas
Si le problème est formulé comme suit : « Pendant des intervalles de temps égaux, le corps s'est d'abord déplacé avec vitesse v1, alors v2, v 3 et ainsi de suite", une réponse rapide à la question de savoir comment trouver la vitesse moyenne peut être trouvée dans le mauvais sens. Nous laisserons le lecteur le constater par lui-même en résumant des intervalles de temps égaux au dénominateur et en utilisant au numérateur v moyenne relation (1). C'est peut-être le seul cas où une méthode erronée conduit à un résultat correct. Mais pour garantir des calculs précis, vous devez utiliser le seul algorithme correct, en vous tournant invariablement vers la fraction. v av = S : t.
Algorithme pour toutes les occasions
Afin d'éviter définitivement les erreurs, au moment de décider comment trouver la vitesse moyenne, il suffit de mémoriser et de suivre une séquence d'actions simple :
- déterminer l'ensemble du chemin en additionnant les longueurs de ses sections individuelles ;
- régler tout le temps de trajet ;
- divisez le premier résultat par le second, les inconnues non précisées dans le problème (sous réserve de la formulation correcte des conditions) sont réduites.
L'article traite des cas les plus simples où les données initiales sont fournies pour des parts de temps égales ou des sections égales du chemin. Dans le cas général, le rapport des intervalles chronologiques ou des distances parcourues par un corps peut être très arbitraire (mais en même temps défini mathématiquement, exprimé sous la forme d'un entier ou d'une fraction spécifique). Règle pour faire référence au ratio v av = S : t absolument universel et ne faillit jamais, quelle que soit la complexité des transformations algébriques à première vue.
Notons enfin : l’importance pratique de l’utilisation du bon algorithme n’est pas passée inaperçue auprès des lecteurs observateurs. La vitesse moyenne correctement calculée dans les exemples donnés s'est avérée légèrement inférieure à la « température moyenne » sur l'autoroute. Par conséquent, un faux algorithme pour les systèmes qui enregistrent les excès de vitesse entraînerait un plus grand nombre de décisions erronées de la police de la circulation envoyées par « chaînes de lettres » aux conducteurs.
2 . Le skieur a parcouru la première section de 120 m de long en 2 minutes et la seconde de 27 m de long en 1,5 minute. Trouvez la vitesse moyenne du skieur tout au long du parcours.
3 . En se déplaçant le long de l'autoroute, le cycliste a parcouru 20 km en 40 minutes, puis il a parcouru une route de campagne de 600 m de long en 2 minutes, et il a parcouru les 39 km restants (400 m) le long de l'autoroute en 78 minutes. Quelle est la vitesse moyenne sur tout le trajet ?
4 . Le garçon a marché 1,2 km en 25 minutes, s'est ensuite reposé pendant une demi-heure, puis a couru encore 800 m en 5 minutes. Quelle était sa vitesse moyenne tout au long du trajet ?
Niveau B
1 . De quelle vitesse - moyenne ou instantanée - parle-t-on dans les cas suivants :
a) une balle sort d'un fusil à une vitesse de 800 m/s ;
b) la vitesse de la Terre autour du Soleil est de 30 km/s ;
c) sur le tronçon routier, il y a un limiteur de vitesse maximum de 60 km/h ;
d) une voiture vous a dépassé à une vitesse de 72 km/h ;
e) le bus a parcouru la distance entre Mogilev et Minsk à une vitesse de 50 km/h ?
2 . Le train électrique parcourt 63 km d'une gare à l'autre en 1 heure 10 minutes avec une vitesse moyenne de 70 km/h. Combien de temps durent les arrêts ?
3 . Une tondeuse automotrice a une largeur de coupe de 10 m. Déterminez la superficie du champ tondu en 10 minutes si la vitesse moyenne de la tondeuse est de 0,1 m/s.
4 . Sur une section horizontale de la route, la voiture a roulé à une vitesse de 72 km/h pendant 10 minutes, puis a roulé en montée à une vitesse de 36 km/h pendant 20 minutes. Quelle est la vitesse moyenne sur tout le trajet ?
5 . Pendant la première moitié du temps, lorsqu'il se déplaçait d'un point à un autre, un cycliste roulait à une vitesse de 12 km/h, et pendant la seconde moitié du temps (à cause d'un pneu crevé), il marchait à une vitesse de 4 km/h. km/h. Déterminez la vitesse moyenne du cycliste.
6 . L'élève a parcouru 1/3 du temps total en bus à une vitesse de 60 km/h, un autre 1/3 du temps total en vélo à une vitesse de 20 km/h et le reste du temps à une vitesse de 60 km/h. vitesse de 7 km/h. Déterminez la vitesse moyenne de l’élève.
7 . Un cycliste se déplaçait d'une ville à une autre. Il a parcouru la moitié du trajet à une vitesse de 12 km/h et la seconde moitié (à cause d'un pneu crevé) il a marché à une vitesse de 4 km/h. Déterminez la vitesse moyenne de son mouvement.
8 . Le motocycliste se déplaçait d'un point à un autre à une vitesse de 60 km/h et effectuait le trajet retour à une vitesse de 10 m/s. Déterminez la vitesse moyenne du motocycliste pour toute la période de déplacement.
9 . L'élève a parcouru 1/3 du trajet en bus à une vitesse de 40 km/h, un autre 1/3 du trajet en vélo à une vitesse de 20 km/h et le dernier tiers du trajet à une vitesse de 10 km/h. km/h. Déterminez la vitesse moyenne de l’élève.
10 . Le piéton a parcouru une partie du trajet à une vitesse de 3 km/h, y consacrant les 2/3 de son temps de déplacement. Il a marché le temps restant à une vitesse de 6 km/h. Déterminez la vitesse moyenne.
11 . La vitesse du train à la montée est de 30 km/h et à la descente de 90 km/h. Déterminez la vitesse moyenne sur tout le parcours si la descente est deux fois plus longue que la montée.
12 . La moitié du temps, lorsqu'elle se déplaçait d'un point à un autre, la voiture se déplaçait à une vitesse constante de 60 km/h. À quelle vitesse constante doit-il se déplacer pendant le temps restant si la vitesse moyenne est de 65 km/h ?
La vitesse moyenne est la vitesse obtenue si le trajet entier est divisé par le temps nécessaire à l'objet pour parcourir ce trajet. Formule de vitesse moyenne :
- Vav = S/t.
- S = S1 + S2 + S3 = v1*t1 + v2*t2 + v3*t3
- Vav = S/t = (v1*t1 + v2*t2 + v3*t3) / (t1 + t2 + t3)
Pour éviter toute confusion avec les heures et les minutes, nous convertissons toutes les minutes en heures : 15 minutes. = 0,4 heure, 36 minutes. = 0,6 heure. Remplacez les valeurs numériques dans la dernière formule :
- V av = (20*0,4 + 0,5*6 + 0,6*15) / (0,4 + 0,5 + 0,6) = (8 + 3 + 9) / (0,4 + 0,5 + 0,6) = 20 / 1,5 = 13,3 km/h
Réponse : vitesse moyenne V av = 13,3 km/h.
Comment trouver la vitesse moyenne d'un mouvement accéléré
Si la vitesse au début du mouvement diffère de la vitesse à la fin, un tel mouvement est appelé accéléré. De plus, le corps ne bouge pas toujours de plus en plus vite. Si le mouvement ralentit, on dit encore qu'il se déplace avec accélération, seule l'accélération sera négative.
En d'autres termes, si une voiture, en s'éloignant, accélérait jusqu'à une vitesse de 10 m/sec en une seconde, alors son accélération a est égale à 10 m par seconde par seconde a = 10 m/sec². Si dans la seconde suivante la voiture s'arrête, alors son accélération est également égale à 10 m/sec², uniquement avec un signe moins : a = -10 m/sec².
La vitesse de déplacement avec accélération à la fin de l'intervalle de temps est calculée par la formule :
- V = V0 ± à,
où V0 est la vitesse initiale du mouvement, a est l'accélération, t est le temps pendant lequel cette accélération a été observée. Un plus ou un moins est placé dans la formule selon que la vitesse a augmenté ou diminué.
La vitesse moyenne sur une période de temps t est calculée comme la moyenne arithmétique des vitesses initiale et finale :
- Vav = (V0 + V) / 2.
Trouver la vitesse moyenne : problème
La balle a été poussée le long d'un plan plat avec une vitesse initiale V0 = 5 m/sec. Après 5 secondes. le ballon s'est arrêté. Quelles sont l'accélération et la vitesse moyenne ?
Vitesse finale de la balle V = 0 m/sec. L'accélération de la première formule est égale à
- a = (V - V0)/ t = (0 - 5)/ 5 = - 1 m/sec².
Vitesse moyenne V av = (V0 + V) / 2 = 5 /2 = 2,5 m/sec.
