Lorsque nous résolvions des problèmes à l’aide d’équations, nous recherchions généralement une inconnue. Mais il existe également des problèmes pour lesquels il existe plusieurs inconnues. De tels problèmes sont généralement résolus en construisant des systèmes d’équations.
Deux cyclistes se dirigent l'un vers l'autre d'une ville à l'autre, la distance qui les sépare est de 30 km. Supposons que si le cycliste 1 part 2 heures plus tôt que son ami, alors ils se retrouveront 2,5 heures après le départ du cycliste 2 ; si le cycliste 2 part 2 heures plus tôt que le cycliste 1, alors le rendez-vous aura lieu 3 heures après le départ du premier. À quelle vitesse roule chaque cycliste ?
Solution.
1. Définissons la vitesse du cycliste 1 comme x km/h et la vitesse du cycliste 2 comme y km/h.
2. Si le premier cycliste part 2 heures plus tôt que le second, alors, selon la condition, il roulera 4,5 heures jusqu'au rendez-vous, tandis que le second mettra 2,5 heures. En 4,5 heures, le premier parcourra une distance de 4,5 km, et en 2,5 heures le second parcourra une distance de 2,5 km.
3. La rencontre de deux cyclistes signifie qu'ils ont parcouru une distance totale de 30 km, soit 4,5x + 2,5 y = 30. Ceci est notre première équation.
4. Si le second part 2 heures plus tôt que le premier, alors, selon la condition, il voyagera 5 heures pour se rendre au rendez-vous, tandis que le premier voyagera 3 heures. En utilisant un raisonnement similaire au raisonnement ci-dessus, nous arrivons. à l'équation :
5. Nous avons donc un système d'équations
(4,5x + 2,5 y = 30,
(3x + 5 ans = 30.
6. Après avoir résolu le système d'équations résultant, nous trouverons les racines : x = 5, y = 3.
Ainsi, le premier cycliste roule à une vitesse de 5 km/h et le second à 3 km/h.
Réponse : 5 km/h, 3 km/h.
Au bout d'un an, l'investisseur a reçu 6 $ d'intérêts sur son épargne. En ajoutant 44 $, l’investisseur a laissé cet argent pour une autre année. À la fin de l’année, les intérêts ont de nouveau été accumulés et le dépôt ainsi que les intérêts s’élèvent désormais à 257,5 $. Quel était le montant du dépôt initial et combien d’intérêts la banque facture-t-elle ?
Solution.
1. Soit x ($) le dépôt initial et y (%) les intérêts courus annuellement.
2. Puis d'ici la fin de l'année (y/100) ∙ x $ seront ajoutés à la contribution initiale.
De la condition, nous obtenons l’équation (ух/100) = 6.
3. Par condition, on sait qu'à la fin de l'année l'investisseur a contribué 44 $ supplémentaires, donc la contribution au début de la deuxième année était de x + 6 + 44, c'est-à-dire (x + 50)$. Ainsi, le montant reçu à la fin de la deuxième année, compte tenu des régularisations, était égal à (x + 50 + (y/100)(x + 50)) $. Selon la condition, ce montant est égal à 275,5 $. Cela nous a permis de créer une deuxième équation :
x + 50 + (y/100)(x + 50) = 257,5
4. Nous avons donc un système d'équations :
((x/100) = 6,
(x + 50 + (y/100)(x + 50) = 257,5
Après transformation du système d'équations, on obtient :
(xy = 600,
(100x + 50y + xy = 20750. 
Après avoir résolu le système d'équations, nous avons trouvé deux racines : 200 et 1,5. Seule la première valeur satisfait notre condition.
Remplacez la valeur de x dans l'équation et trouvez la valeur de y :
si x = 200, alors y = 3.
Ainsi, le dépôt initial était de 200 $ et la banque effectue une accumulation de 3 % par an.
Réponse : 200 $ ; 3%.
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À contre-courant
Avec le flux
N° 1193. Mathématiques 5e année. N.Ya.Vilenkin
? km/h
? km/h
№ 14.1
La distance entre deux points le long du fleuve est de 80 km. Le bateau parcourt cette distance le long du fleuve en 4 heures, et à contre-courant en 5 heures. Trouvez la vitesse du bateau en aval et en amont.
Avec le flux
4(x+y)
5(x-y)
Répondre:
№ 14.4
Un bateau parcourt 10 km en aval en 4 heures de moins qu'en 6 heures à contre-courant. Trouvez la vitesse du bateau si un radeau sur la même rivière parcourt en 15 heures la même distance en 15 heures qu'un bateau parcourt un lac en 2 heures.
Anti-flux
Avec le flux
4(x+y)
sur 10
6(x-y)
4(x+y) +10 =6(x-y)
4x+4a+10=6x-6a
4x-6x+4a+6a=-10
Répondre:
№ 14.10
Non, ha
en 1 jour
Quantité
jours
Total ha
1 conducteur de tracteur
2 conducteurs de tracteur
№ 14.10
- Deux conducteurs de tracteurs ont labouré ensemble 678 hectares. Le premier conducteur de tracteur a travaillé 8 jours et le second 11 jours. Combien d'hectares chaque conducteur de tracteur a-t-il labouré par jour, si le premier conducteur de tracteur a labouré 22 hectares de moins tous les 3 jours que le second en 4 jours ?
Non, ha
en 1 jour
Quantité
jours
Total ha
1 conducteur de tracteur
sur 22 hectares
moins
2 conducteurs de tracteur
Répondre:
№ 14.5
Un bateau à moteur parcourt 120 km en 5 heures à contre-courant du fleuve et 180 km en 6 heures en aval. Trouvez la vitesse du débit de la rivière et la propre vitesse du navire.
Avec le flux
6(x+y)
5(x-y)
Répondre:
№ 14.11
Qté.
dans 1 heure
Quantité
heures
Total
Brigade
Brigade
№ 14.11
- Deux équipes travaillaient à la récolte des pommes de terre. Le premier jour, une équipe a travaillé pendant 2 heures et la seconde pendant 3 heures, et elles ont collecté 23 centimes de pommes de terre. Le deuxième jour, la première équipe a récolté 2 quintaux de plus en 3 heures de travail que la seconde en 2 heures. Combien de centièmes de pommes de terre chaque équipe a-t-elle récolté en 1 heure de travail ?
Qté.
dans 1 heure
Quantité
heures
Total
Brigade
par 2 ct
plus
Brigade
Répondre:
№ 14.7
numéro x-1
numéro y-2
3(x-y)=(x+y)+6
2(x-y)=(x+y)+9
Répondre:
№ 14.12
Quantité t
pour 1 vol
Quantité
vols
Total
tonnes
voiture
voiture
№ 14.12
- Le premier jour, 27 tonnes de céréales ont été exportées, un véhicule effectuant 4 voyages et l'autre 3 voyages. Le lendemain, la deuxième voiture a transporté 11 tonnes de plus en 4 voyages que la première voiture en 3 voyages. Combien de tonnes de céréales ont été transportées dans chaque véhicule en un seul voyage ?
Quantité t
pour 1 vol
Quantité
vols
Total
tonnes
voiture
à 11 heures
plus
voiture
Répondre:
№ 14.14
Quantité kg
dans 1 boîte
Quantité
des boites
Total
cerises
pour 3 tiroirs
moins
cerise
№ 14.14
- 84 kg de cerises et de griottes ont été achetés au marché, et 3 caisses de cerises de moins que de cerises ont été achetées. Combien de cartons de cerises et de griottes ont été achetés séparément, si 1 carton contient 8 kg de cerises et 10 kg de griottes ?
Quantité kg
dans 1 boîte
Quantité
des boites
Total
cerises
cerise
Répondre:
№ 14.8
№ 14.25
№ 14.31
10 A + B - formule pour un nombre à deux chiffres
A est le nombre de dizaines, B est le nombre d'unités
Maslova S.V.
Institut pédagogique d'État de Moscou nommé d'après. M. E. Evsevieva, département. méthodes d'enseignement primaire
Résoudre des problèmes à l'aide de systèmes d'équations
Actuellement, l'étude des systèmes d'équations et la résolution de problèmes avec leur aide sont l'apanage des cours d'algèbre au lycée. Fondamentalement, un système d’équations est considéré comme deux ou plusieurs équations dans lesquelles les mêmes lettres représentent les mêmes nombres. Donnons des exemples de certains types de problèmes résolus à l'aide d'un système d'équations dans un cours d'algèbre. En conséquence, la résolution d’un système d’équations se réduit à résoudre une équation quadratique. Accordons une attention particulière à la méthode de compilation du système lui-même.
1. Problème avec le contenu géométrique: « L'hypoténuse d'un triangle rectangle mesure 13 cm et son aire est de 30 cm 2. Trouvez les jambes.
Solution : que les jambes soient égales X Et à centimètres. En utilisant le théorème de Pythagore et la formule de l'aire d'un triangle rectangle, nous écrivons la condition problématique comme suit :
En ajoutant à la première équation du système la seconde, multipliée par 4, on obtient : 
où 
ou depuis X Et à sont des nombres positifs, alors à partir de cette équation nous exprimons àà travers X et substituer dans l'une des équations du système, par exemple dans la seconde : 
Résolvons l'équation résultante :
En substituant ces valeurs dans la formule que nous trouvons 
Dans les deux cas, l'une des jambes mesure 5 cm, l'autre 12 cm.
Réponse : Les côtés d'un triangle rectangle mesurent 5 cm et 12 cm.
2. Problème de numérotation du contenu: « Lorsqu'un nombre à deux chiffres est divisé par la somme de ses chiffres, le quotient est 6 et le reste est 4. Lorsqu'on divise le même nombre par le produit de ses chiffres, le quotient est 2 et le reste est 16. . Trouvez ce numéro.
Solution : Écrivons un nombre à deux chiffres sous la forme 10x+y. En utilisant la règle sur l'interaction des composants lors d'une division avec un reste, nous écrivons la condition problématique comme suit :
En ouvrant les parenthèses dans la première équation, nous en exprimons la valeur à: Valeur de substitution à dans la première équation du système, on obtient une équation quadratique : - ne satisfait pas aux conditions du problème.
En remplaçant la valeur résultante dans la formule, nous trouvons
Réponse : numéro à deux chiffres 64.
3. Problème de zone: « La parcelle rectangulaire doit être clôturée avec une clôture de 1 km de long. Quelles doivent être la longueur et la largeur de la parcelle si sa superficie est de 6 hectares ?
Solution : Laissez la longueur et la largeur de la section rectangulaire être égales X Et à mètres. En utilisant les formules pour trouver le périmètre et l'aire d'un rectangle, ainsi que les rapports 1 km = 1000 m et 1 ha = 10 000 m, nous écrivons la condition problématique comme suit :
Exprimons la valeur de la deuxième équation à: Valeur de substitution à dans la première équation du système, on obtient une équation quadratique :
Remplacement des valeurs résultantes dans la formule 
Réponse : la longueur et la largeur de la parcelle sont de 300 m et 200 m.
Si, selon les conditions du problème, les élèves du secondaire créent un système d'équations, au cours du processus de résolution duquel aucune équation quadratique n'apparaît, alors le problème lui-même peut être résolu par les élèves des classes inférieures. Le seul programme qui a pris la liberté d'utiliser des systèmes d'équations dans le cours initial de mathématiques est le système d'éducation développementale de L.V. Zankov.Regardons quelques exemples de résolution de problèmes à l'aide d'un système d'équations du cours initial de mathématiques.
1. Tâche de mouvement: « La distance entre les villes est de 564 km. Les trains quittaient les villes pour se rejoindre en même temps et se rejoignaient 6 heures plus tard. La vitesse d'un train est 10 km plus rapide que la vitesse de l'autre. Quelle est la vitesse de chaque train ?
Solution : Soit x km/h la vitesse du premier train et y km/h la vitesse du deuxième train. Selon les conditions du problème, les trains se sont rencontrés au bout de 6 heures. Ensuite, 6 km - le premier train passera avant le rendez-vous, 6 km - le deuxième train passera avant le rendez-vous. Leur rencontre signifie qu'au total ils ont parcouru une distance de 564 km avant la rencontre, soit 6x+6y=564 - la première équation.
La vitesse du premier train est 10 km/h supérieure à la vitesse du second, c'est-à-dire que la différence entre les vitesses est de 10. On obtient la deuxième équation : x-y = 10
Réponse : 52 km/h, 42 km/h.
2. Problème d'égalisation de deux populations: « Il y a 84 livres sur deux étagères. Si vous retirez 12 livres d’une étagère, il y aura un nombre égal de livres sur les deux étagères. Combien de livres y aura-t-il sur chaque étagère ? C'était combien au début ?
Solution : Laissez x livres sur la première étagère et x livres sur la deuxième étagère. Selon les conditions du problème, il y a un total de 84 livres sur deux étagères, soit x + y = 84 - la première équation.
Si vous retirez 12 livres de la première étagère, le nombre de livres sur les deux étagères sera égal. On obtient la deuxième équation : x-12=y.
En conséquence, nous obtenons un système d'équations :
(livres) - était sur la première étagère.
84-48=36 (k.) - était sur la deuxième étagère.
48-12=36 (k.) - sera sur chaque étagère.
Réponse : 36 livres, 48 livres et 36 livres.
3. Tâche de deviner: « Le garçon a des coléoptères et des araignées dans sa collection - 8 au total. Si vous comptez toutes les jambes de la collection. Il y en aura alors 54. Combien de coléoptères et d’araignées y a-t-il dans la collection ?
Solution : Soit x le nombre de coléoptères et y le nombre d’araignées. Un total de 8 pièces. Nous obtenons la première équation – x+y=8.
Et comme le coléoptère a 6 pattes, il y aura 6 pattes au total. Une araignée a 8 pattes, alors 8y est le nombre total de pattes d'une araignée. Le total est de 54. Nous arrivons ensuite à la deuxième équation : 6x+8y=54.
Sujet de cours : « Résoudre des équations à l'aide de systèmes »
Objectif : apprendre à résoudre des équations à l'aide de systèmes.
Tâches:
Éducatif
Apprendre à résoudre des équations à l'aide de systèmes et consolider ces connaissances
Du développement.
Développement d'opérations de réflexion (généralisation, analyse, mise en évidence de l'essentiel). Développement de l'attention.
Développement des compétences de coopération.
Éducatif.
Cultiver une attitude consciente envers l'étude de l'algèbre.
Favoriser le désir de s’améliorer.
Type de cours – combiné.
Pendant les cours
Ι.Motivation pour les activités éducatives.
Objectif : organiser la mise à jour des exigences de l'étudiant en termes d'activités pédagogiques.
– Bonne après midi les gars! L'épigraphe de notre leçon sera les mots « Notre force est dans l'unité ».
Le sujet de notre leçon est « Résoudre des équations à l'aide de systèmes. Que penses-tu que nous ferons en classe ? (Réponses des élèves). Généralisons et consolidons les connaissances acquises sur la résolution d'équations à l'aide de systèmes.
Oui. Vérification des devoirs.
Objectif : organiser l'actualisation des modalités d'action étudiées, suffisante à la construction de nouvelles connaissances.
Veuillez échanger des cahiers et vérifier comment chacun a accompli la tâche.
Continuez la phrase « Je connais ce sujet… », « Je connais ce sujet… ». Dites-moi, quelle est la différence entre les concepts « savoir » et « pouvoir » ?
III. Identifier l'emplacement et la cause du problème
Objectif : organiser la restauration, fixer le lieu de difficulté, corréler ses actions avec les standards utilisés - déterminer les connaissances et les compétences qui manquent pour résoudre le problème posé.
Je vous suggère de résoudre l'équation suivante
S'il vous plaît, dites-moi ce que nous appelons une équation ? ( Une équation est une relation mathématique exprimant l'égalité de deux expressions algébriques)
Que signifie résoudre une équation ? ( Résous l'équation - signifie retrouver toutes ses racines, c'est-à-dire ces valeurs X, qui transforment l'équation en identité, ou prouvent qu'il n'y a pas de racines)
IV. Construire un projet pour sortir d'un problème
Objectif : organiser la construction d'un projet pour sortir de la difficulté.
Selon vous, que faut-il faire pour résoudre cette équation à l’aide de systèmes ? (Mise au carré) Exactement. Quelle méthode connaissez-vous pour résoudre cette équation ? (Réponses possibles : mettre au carré et vérifier, mais cela peut entraîner des racines supplémentaires ; non, nous ne pouvons pas). Il faut tenir compte, lors de la résolution de cette équation, que son membre droit est supérieur ou égal à 2.
Quelle équation avons-nous obtenue ? (Carré). Devinez, les gars, est-il possible de résoudre l'équation correctement et avec compétence à la fois et dans son intégralité ? (Non) Et si nous le décomposions en ses composants et le résolvions séparément ? (Oui, vous pouvez) Autrement dit, nous pouvons dire que même dans les équations, l’unité fait la force. Réfléchissez et dites-moi, quel est un exemple d'unité et de force ? (Réponses : pendant la guerre, les gens sont unis).
Les racines de cette équation sont 3 et -23/7. La première racine satisfait l’inégalité x>2, mais pas la deuxième racine. La solution de l’équation est une seule racine. (Réponse x=3)
Les gars, maintenant, pour résoudre cette équation, nous avons utilisé le théorème :
Nous utiliserons ce théorème pour résoudre des équations similaires. Veuillez ouvrir votre manuel à la page 243. Relisez le théorème.
V.Consolidation primaire.
Maintenant, je vous suggère de résoudre les équations suivantes.
Pour ceux qui étudient à « 5 », équation numéro un, pour le reste, tâche numéro 2.
(Dans les cahiers, tout le monde écrit la solution. Un élève écrit la solution au tableau. Après l'avoir résolue, j'ouvre la diapositive avec la bonne réponse pour la tâche numéro 1)
V. Travail indépendant avec autotest.
Objectif : organiser la réalisation autonome par les étudiants de tâches standards pour une nouvelle manière d’agir.
Test sur ordinateur.
VI. Inclusion dans le système de connaissances et répétition.
Objectif : organiser l'identification des types de tâches où une nouvelle méthode est utilisée.
Peut-être avez-vous déjà rencontré des équations similaires quelque part ? (C'est la tâche B5,
Alors, qu'avons-nous rencontré aujourd'hui ? Quelles nouvelles choses avez-vous apprises ? (Réponses)
Maintenant, je veux à nouveau me tourner vers l'épigraphe de notre leçon « Notre force est dans l'unité ». Les gars, pourquoi pensez-vous que j'ai choisi cette épigraphe en particulier pour la leçon ? (Réponses des élèves).
VII . Réflexion sur les activités d'apprentissage.
Objectif : organiser l’évaluation par les élèves de leurs propres activités pendant la leçon.
« Les gars, s'il vous plaît, continuez la phrase « En classe, j'ai réussi à... » (Réponses des élèves.)
VIII . Devoirs.
Être capable de résoudre des systèmes d’équations linéaires est une très bonne chose, mais la résolution de systèmes d’équations en soi n’est qu’une méthode pour des problèmes plus complexes. En utilisant des systèmes d’équations, nous pouvons résoudre divers problèmes que nous rencontrons dans la vie.
L'algèbre est la science de la résolution d'équations et de systèmes d'équations. C’est exactement la définition utilisée par les scientifiques à la fin du 20e siècle. Le célèbre scientifique René Descartes est célèbre pour l'une de ses œuvres, appelée « Méthode Descartes ». Descartes croyait que tout problème peut être réduit à un problème mathématique, tout problème mathématique peut être réduit à un système algébrique d'équations. Et tout système peut être réduit à la résolution d’une seule équation.
Malheureusement, Descartes n'a pas eu le temps de compléter pleinement sa méthode et n'en a pas écrit tous les points, mais l'idée est très bonne.
Et maintenant, comme Descartes, nous allons résoudre des problèmes en utilisant des systèmes d'équations, bien sûr, pas n'importe lesquels, mais seulement ceux qui peuvent être réduits à la résolution de systèmes d'équations linéaires.
Schéma général pour résoudre le problème à l'aide de systèmes d'équations
Décrivons le schéma général de résolution de problèmes à l'aide de systèmes d'équations :
- 1. Pour les quantités inconnues, nous introduisons certaines notations et composons un système d'équations linéaires.
- 2. Résolvez le système d'équations linéaires résultant.
- 3. J'utilise les notations saisies et j'écris la réponse.
Essayons d'appliquer ce schéma à un problème spécifique.
On sait que deux crayons et trois cahiers coûtent 35 roubles et que deux cahiers et trois crayons coûtent 40 roubles. Vous devez savoir combien coûtent cinq crayons et six cahiers.
Solution:
Nous devons déterminer combien coûtent séparément un crayon et un cahier. Si nous disposons de telles données, il ne sera pas difficile de décider combien coûtent cinq crayons et six cahiers.
Notons x le prix d'un crayon en roubles. Et y est le prix d'un ordinateur portable en roubles. Maintenant, lisez attentivement la condition et créez une équation.
"deux crayons et trois cahiers coûtent 35 roubles" signifie
- 2*x+3*y = 35 ;
"deux cahiers et trois crayons coûtent 40 roubles" donc
- 3*x+2*y = 40 ;
On obtient un système d'équations :
(2*x+3*y = 35 ;
(3*x+2*y = 40 ;
Le premier point est terminé. Il est maintenant nécessaire de résoudre le système d'équations résultant en utilisant l'une des méthodes connues.
Après avoir résolu, nous obtenons x=10 et y=5.
En revenant à la notation originale, nous constatons que le prix d'un crayon est de 10 roubles et le prix d'un cahier est de 5 roubles.
