Si vous devez élever un nombre spécifique à une puissance, vous pouvez utiliser . Nous allons maintenant examiner de plus près propriétés des diplômes.
Nombres exponentiels ouvrent de grandes possibilités, ils permettent de transformer la multiplication en addition, et ajouter est bien plus facile que multiplier.
Par exemple, nous devons multiplier 16 par 64. Le produit de la multiplication de ces deux nombres est 1024. Mais 16 équivaut à 4x4 et 64 équivaut à 4x4x4. Autrement dit, 16 x 64 = 4x4x4x4x4, ce qui est également égal à 1024.
Le nombre 16 peut également être représenté par 2x2x2x2 et 64 par 2x2x2x2x2x2, et si nous multiplions, nous obtenons à nouveau 1024.
Utilisons maintenant la règle. 16=4 2, ou 2 4, 64=4 3, ou 2 6, en même temps 1024=6 4 =4 5, ou 2 10.
Par conséquent, notre problème peut s'écrire différemment : 4 2 x4 3 =4 5 ou 2 4 x2 6 =2 10, et à chaque fois nous obtenons 1024.
Nous pouvons résoudre un certain nombre d’exemples similaires et voir que multiplier des nombres par des puissances se réduit à ajouter des exposants, ou exponentielle, bien sûr, à condition que les bases des facteurs soient égales.
Ainsi, sans effectuer de multiplication, on peut immédiatement dire que 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20.
Cette règle est également vraie lors de la division de nombres avec des puissances, mais dans ce cas l'exposant du diviseur est soustrait de l'exposant du dividende. Ainsi, 2 5:2 3 =2 2, ce qui en nombres ordinaires est égal à 32:8 = 4, soit 2 2. Résumons :
a m x a n = a m+n, a m : a n = a m-n, où m et n sont des nombres entiers.
À première vue, il peut sembler que ce soit multiplier et diviser des nombres avec des puissances pas très pratique, car vous devez d'abord représenter le nombre sous forme exponentielle. Il n'est pas difficile de représenter les nombres 8 et 16, c'est-à-dire 2 3 et 2 4, sous cette forme, mais comment faire cela avec les nombres 7 et 17 ? Ou que faire dans les cas où un nombre peut être représenté sous forme exponentielle, mais les bases des expressions exponentielles des nombres sont très différentes. Par exemple, 8x9 vaut 2 3 x 3 2, auquel cas nous ne pouvons pas additionner les exposants. Ni 2 5 ni 3 5 ne sont la réponse, et la réponse ne se situe pas non plus dans l'intervalle entre ces deux nombres.
Alors, est-ce que cela vaut la peine de s’embêter avec cette méthode ? Ça vaut vraiment le coup. Il offre d'énormes avantages, en particulier pour les calculs complexes et chronophages.
La notion de diplôme en mathématiques est introduite en 7e année du cours d'algèbre. Et par la suite, tout au long du cursus d’étude des mathématiques, ce concept est activement utilisé sous ses diverses formes. Les diplômes sont un sujet assez difficile, nécessitant la mémorisation des valeurs et la capacité de compter correctement et rapidement. Pour travailler plus rapidement et mieux avec les diplômes, les mathématiciens ont mis au point des propriétés de diplôme. Ils aident à réduire les calculs volumineux, à convertir dans une certaine mesure un énorme exemple en un seul nombre. Il n'y a pas tellement de propriétés et elles sont toutes faciles à retenir et à appliquer dans la pratique. Par conséquent, l’article traite des propriétés de base du diplôme, ainsi que des domaines dans lesquels elles sont appliquées.
Propriétés du diplôme
Nous examinerons 12 propriétés des degrés, y compris les propriétés des degrés ayant les mêmes bases, et donnerons un exemple pour chaque propriété. Chacune de ces propriétés vous aidera à résoudre les problèmes de degrés plus rapidement et vous évitera également de nombreuses erreurs de calcul.
1ère propriété.
Beaucoup de gens oublient très souvent cette propriété et font des erreurs, représentant un nombre à la puissance zéro comme zéro.
2ème propriété.
3ème propriété.
Il faut rappeler que cette propriété ne peut être utilisée que pour multiplier des nombres ; elle ne fonctionne pas avec une somme ! Et il ne faut pas oublier que cette propriété et les suivantes ne s'appliquent qu'à des puissances ayant les mêmes bases.
4ème propriété.
Si un nombre du dénominateur est élevé à une puissance négative, alors lors de la soustraction, le degré du dénominateur est pris entre parenthèses pour changer correctement le signe dans les calculs ultérieurs.
La propriété ne fonctionne que lors de la division, elle ne s'applique pas lors de la soustraction !
5ème propriété.
6ème propriété.
Cette propriété peut également s’appliquer dans le sens inverse. Une unité divisée par un nombre dans une certaine mesure est ce nombre à la puissance moins.
7ème propriété.
Cette propriété ne peut pas être appliquée à la somme et à la différence ! L'augmentation d'une somme ou d'une différence en puissance utilise des formules de multiplication abrégées plutôt que des propriétés de puissance.
8ème propriété.
9ème propriété.
Cette propriété fonctionne pour toute puissance fractionnaire de numérateur égal à un, la formule sera la même, seule la puissance de la racine changera en fonction du dénominateur de la puissance.
Cette propriété est aussi souvent utilisée à l’envers. La racine de n’importe quelle puissance d’un nombre peut être représentée comme ce nombre à la puissance un divisé par la puissance de la racine. Cette propriété est très utile dans les cas où la racine d’un nombre ne peut être extraite.
10ème propriété.
Cette propriété ne fonctionne pas seulement avec les racines carrées et les puissances secondes. Si le degré de la racine et le degré d'élévation de cette racine coïncident, alors la réponse sera une expression radicale.
11ème propriété.
Vous devez être capable de voir cette propriété à temps lors de sa résolution afin de vous épargner d'énormes calculs.
12ème propriété.
Chacune de ces propriétés vous rencontrera plus d'une fois dans les tâches, elle peut être donnée sous sa forme pure, ou elle peut nécessiter certaines transformations et l'utilisation d'autres formules. Par conséquent, pour prendre la bonne décision, il ne suffit pas de connaître uniquement les propriétés : il faut mettre en pratique et intégrer d’autres connaissances mathématiques.
Application des diplômes et de leurs propriétés
Ils sont activement utilisés en algèbre et en géométrie. Les diplômes en mathématiques occupent une place distincte et importante. Avec leur aide, les équations et inégalités exponentielles sont résolues, et les équations et exemples liés à d'autres branches des mathématiques sont souvent compliqués par des puissances. Les puissances permettent d'éviter des calculs longs et volumineux ; les puissances sont plus faciles à abréger et à calculer. Mais pour travailler avec de grandes puissances, ou avec des puissances de grands nombres, vous devez non seulement connaître les propriétés de la puissance, mais aussi travailler avec compétence avec les bases, être capable de les étendre pour faciliter votre tâche. Pour plus de commodité, vous devez également connaître la signification des nombres élevés à une puissance. Cela réduira votre temps de résolution, éliminant ainsi le besoin de longs calculs.
La notion de degré joue un rôle particulier dans les logarithmes. Puisque le logarithme, par essence, est la puissance d’un nombre.
Les formules de multiplication abrégées sont un autre exemple d'utilisation des pouvoirs. Les propriétés des degrés ne peuvent pas y être utilisées, elles sont développées selon des règles spéciales, mais dans chaque formule de multiplication abrégée, il y a invariablement des degrés.
Les diplômes sont également activement utilisés en physique et en informatique. Toutes les conversions vers le système SI sont effectuées à l'aide de puissances, et à l'avenir, lors de la résolution de problèmes, les propriétés de la puissance sont utilisées. En informatique, les puissances de deux sont activement utilisées pour faciliter le comptage et simplifier la perception des nombres. D'autres calculs de conversion d'unités de mesure ou de calculs de problèmes, tout comme en physique, s'effectuent en utilisant les propriétés des degrés.
Les degrés sont également très utiles en astronomie, où l'on voit rarement l'utilisation des propriétés d'un degré, mais les degrés eux-mêmes sont activement utilisés pour raccourcir la notation de diverses quantités et distances.
Les degrés sont également utilisés dans la vie quotidienne, pour calculer des superficies, des volumes et des distances.
Les diplômes sont utilisés pour enregistrer de très grandes et de très petites quantités dans n’importe quel domaine scientifique.
Équations exponentielles et inégalités
Les propriétés des degrés occupent une place particulière précisément dans les équations exponentielles et les inégalités. Ces tâches sont très courantes, aussi bien dans les cours scolaires que lors des examens. Tous sont résolus en appliquant les propriétés du degré. L'inconnue se trouve toujours dans le degré lui-même, donc connaître toutes les propriétés, résoudre une telle équation ou inégalité n'est pas difficile.
Chaque opération arithmétique devient parfois trop lourde à écrire et on essaie de la simplifier. C'était autrefois le cas avec l'opération d'addition. Les gens devaient effectuer des additions répétées du même type, par exemple pour calculer le coût de cent tapis persans, dont le coût est de 3 pièces d'or chacun. 3+3+3+…+3 = 300. En raison de sa lourdeur, il a été décidé de raccourcir la notation à 3 * 100 = 300. En fait, la notation « trois fois cent » signifie qu'il faut prendre un cent trois et additionnez-les. La multiplication s'est répandue et a gagné en popularité. Mais le monde ne reste pas immobile et au Moyen Âge, le besoin s'est fait sentir de procéder à des multiplications répétées du même type. Je me souviens d'une vieille énigme indienne sur un sage qui demandait des grains de blé dans les quantités suivantes en récompense du travail accompli : pour la première case de l'échiquier, il demandait un grain, pour le deuxième - deux, pour le troisième - quatre, pour le cinquième - huit, et ainsi de suite. C'est ainsi qu'apparut la première multiplication de puissances, car le nombre de grains était égal à deux à la puissance du nombre de cellule. Par exemple, sur la dernière cellule, il y aurait 2*2*2*...*2 = 2^63 grains, ce qui équivaut à un nombre de 18 caractères, ce qui est en fait le sens de l'énigme.
L'opération d'exponentiation s'est répandue assez rapidement, et la nécessité de procéder à des additions, soustractions, divisions et multiplications de puissances s'est également rapidement fait sentir. Ce dernier mérite d’être examiné plus en détail. Les formules pour ajouter des puissances sont simples et faciles à retenir. De plus, il est très facile de comprendre d'où ils viennent si l'opération de puissance est remplacée par la multiplication. Mais vous devez d’abord comprendre une terminologie de base. L'expression a^b (lire « a à la puissance b ») signifie que le nombre a doit être multiplié par lui-même b fois, « a » étant appelé la base de la puissance et « b » l'exposant de la puissance. Si les bases des diplômes sont les mêmes, alors les formules sont dérivées tout simplement. Exemple spécifique : recherchez la valeur de l'expression 2^3 * 2^4. Pour savoir ce qui doit se passer, vous devez rechercher la réponse sur l'ordinateur avant de lancer la solution. En saisissant cette expression dans n'importe quelle calculatrice en ligne, moteur de recherche, en tapant « multiplier les puissances avec des bases différentes et identiques » ou un logiciel mathématique, le résultat sera 128. Écrivons maintenant cette expression : 2^3 = 2*2*2, et 2^4 = 2 *2*2*2. Il s'avère que 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Il s'avère que le produit des puissances de même base est égal à la base élevée à une puissance égale à la somme des deux puissances précédentes.
On pourrait penser qu’il s’agit d’un accident, mais non : tout autre exemple ne peut que confirmer cette règle. Ainsi, en général, la formule ressemble à ceci : a^n * a^m = a^(n+m) . Il existe également une règle selon laquelle tout nombre à la puissance zéro est égal à un. Ici, nous devons rappeler la règle des puissances négatives : a^(-n) = 1 / a^n. Autrement dit, si 2^3 = 8, alors 2^(-3) = 1/8. En utilisant cette règle, vous pouvez prouver la validité de l'égalité a^0 = 1 : a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^( n) , a^ (n) peut être réduit et il en reste un. De là découle la règle selon laquelle le quotient des puissances ayant les mêmes bases est égal à cette base dans un degré égal au quotient du dividende et du diviseur : a^n : a^m = a^(n-m) . Exemple : simplifiez l'expression 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 : 2^(-2) . La multiplication est une opération commutative, vous devez donc d'abord additionner les exposants de multiplication : 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. Ensuite, vous devez gérer la division par une puissance négative. Il faut soustraire l'exposant du diviseur de l'exposant du dividende : 2^1 : 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. Il s'avère que l'opération de division par un degré négatif est identique à l'opération de multiplication par un exposant positif similaire. La réponse finale est donc 8.
Il existe des exemples où une multiplication non canonique des pouvoirs a lieu. Multiplier des pouvoirs avec des bases différentes est souvent beaucoup plus difficile, voire parfois impossible. Quelques exemples de différentes techniques possibles doivent être donnés. Exemple : simplifiez l'expression 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Évidemment, il y a une multiplication de puissances avec des bases différentes. Mais il convient de noter que toutes les bases sont des puissances de trois différentes. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. En utilisant la règle (a^n) ^m = a^(n*m) , vous devez réécrire l'expression sous une forme plus pratique : 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . Réponse : 3^11. Dans les cas où il existe des bases différentes, la règle a^n * b^n = (a*b) ^n fonctionne pour des indicateurs égaux. Par exemple, 3^3 * 7^3 = 21^3. Sinon, lorsque les bases et les exposants sont différents, une multiplication complète ne peut pas être effectuée. Parfois, vous pouvez simplifier partiellement ou recourir à l'aide de la technologie informatique.
Comment multiplier les pouvoirs ? Quels pouvoirs peuvent être multipliés et lesquels ne le peuvent pas ? Comment multiplier un nombre par une puissance ?
En algèbre, on peut trouver un produit de puissances dans deux cas :
1) si les diplômes ont les mêmes bases ;
2) si les diplômes ont les mêmes indicateurs.
Lors de la multiplication de puissances avec les mêmes bases, la base doit rester la même et les exposants doivent être ajoutés :
En multipliant les degrés avec les mêmes indicateurs, l'indicateur global peut être retiré entre parenthèses :
Voyons comment multiplier les puissances à l'aide d'exemples spécifiques.
L'unité ne s'écrit pas en exposant, mais lors de la multiplication des puissances, elles prennent en compte :
Lors d’une multiplication, il peut y avoir n’importe quel nombre de puissances. Rappelons qu’il n’est pas nécessaire d’écrire le signe de multiplication devant la lettre :
Dans les expressions, l'exponentiation se fait en premier.
Si vous devez multiplier un nombre par une puissance, vous devez d'abord effectuer l'exponentiation, puis seulement la multiplication :
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Addition, soustraction, multiplication et division des puissances
Addition et soustraction de puissances
Il est évident que les nombres avec puissances peuvent s’additionner comme les autres quantités , en les ajoutant les uns après les autres avec leurs signes.
Ainsi, la somme de a 3 et b 2 est a 3 + b 2.
La somme de a 3 - b n et h 5 -d 4 est a 3 - b n + h 5 - d 4.
Chances puissances égales de variables identiques peuvent être ajoutés ou soustraits.
Ainsi, la somme de 2a 2 et 3a 2 est égale à 5a 2.
Il est également évident que si vous prenez deux carrés a, ou trois carrés a, ou cinq carrés a.
Mais les diplômes diverses variables Et divers diplômes variables identiques, doivent être composés en les ajoutant avec leurs signes.
Ainsi, la somme de 2 et de 3 est la somme de 2 + 3.
Il est évident que le carré de a et le cube de a ne sont pas égaux au double du carré de a, mais au double du cube de a.
La somme de a 3 b n et 3a 5 b 6 est a 3 b n + 3a 5 b 6.
Soustraction les puissances s'effectuent de la même manière que l'addition, sauf que les signes des sous-tranches doivent être modifiés en conséquence.
Ou:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(une - h) 6 - 2(une - h) 6 = 3(une - h) 6
Des pouvoirs multiplicateurs
Les nombres avec puissances peuvent être multipliés, comme les autres quantités, en les écrivant les uns après les autres, avec ou sans signe de multiplication entre eux.
Ainsi, le résultat de la multiplication de a 3 par b 2 est a 3 b 2 ou aaabb.
Ou:
x -3 ⋅ une m = une m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
une 2 b 3 oui 2 ⋅ une 3 b 2 oui = une 2 b 3 oui 2 une 3 b 2 oui
Le résultat du dernier exemple peut être ordonné en ajoutant des variables identiques.
L'expression prendra la forme : a 5 b 5 y 3.
En comparant plusieurs nombres (variables) avec des puissances, nous pouvons voir que si deux d'entre eux sont multipliés, alors le résultat est un nombre (variable) avec une puissance égale à montant degrés de termes.
Donc, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Ici 5 est la puissance du résultat de la multiplication, qui est égale à 2 + 3, la somme des puissances des termes.
Donc, a n .a m = a m+n .
Pour a n , a est pris comme facteur autant de fois que la puissance de n ;
Et a m est pris comme facteur autant de fois que le degré m est égal ;
C'est pourquoi, les puissances avec les mêmes bases peuvent être multipliées en ajoutant les exposants des puissances.
Donc, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Et x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Ou:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 oui 3 ⋅ b 4 oui = b 6 oui 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Multipliez (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Réponse : x 4 - y 4.
Multipliez (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Cette règle est également vraie pour les nombres dont les exposants sont négatif.
1. Donc, a -2 .a -3 = a -5 . Cela peut s'écrire (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y -n .y -m = y -n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Si a + b sont multipliés par a - b, le résultat sera a 2 - b 2 : c'est-à-dire
Le résultat de la multiplication de la somme ou de la différence de deux nombres est égal à la somme ou à la différence de leurs carrés.
Si vous multipliez la somme et la différence de deux nombres pour obtenir carré, le résultat sera égal à la somme ou à la différence de ces nombres dans quatrième degrés.
Donc, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(une 2 - oui 2)⋅(une 2 + oui 2) = une 4 - oui 4.
(une 4 - oui 4)⋅(une 4 + oui 4) = une 8 - oui 8.
Division des diplômes
Les nombres dotés de puissances peuvent être divisés comme les autres nombres, en soustrayant du dividende ou en les plaçant sous forme de fraction.
Ainsi, a 3 b 2 divisé par b 2 est égal à a 3.
Écrire un 5 divisé par un 3 ressemble à $\frac $. Mais cela équivaut à un 2 . Dans une série de chiffres
une +4 , une +3 , une +2 , une +1 , une 0 , une -1 , une -2 , une -3 , une -4 .
n'importe quel nombre peut être divisé par un autre, et l'exposant sera égal à différence indicateurs de nombres divisibles.
Lors de la division de degrés ayant la même base, leurs exposants sont soustraits..
Donc, y 3 : y 2 = y 3-2 = y 1. Autrement dit, $\frac = y$.
Et a n+1:a = a n+1-1 = a n . Autrement dit, $\frac = a^n$.
Ou:
y 2m : y m = y m
8a n+m : 4a m = 2a n
12(b + y) n : 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
La règle est également vraie pour les nombres avec négatif valeurs des degrés.
Le résultat de la division d’un -5 par un -3 est un -2.
Aussi, $\frac : \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ou $h^2 :\frac = h^2.\frac = h^3$
Il faut très bien maîtriser la multiplication et la division des puissances, puisque de telles opérations sont très largement utilisées en algèbre.
Exemples de résolution d'exemples avec des fractions contenant des nombres avec des puissances
1. Diminuez les exposants de $\frac $ Réponse : $\frac $.
2. Diminuez les exposants de $\frac$. Réponse : $\frac$ ou 2x.
3. Réduisez les exposants a 2 /a 3 et a -3 /a -4 et ramènez-les à un dénominateur commun.
a 2 .a -4 est a -2 le premier numérateur.
a 3 .a -3 est a 0 = 1, le deuxième numérateur.
a 3 .a -4 est a -1 , le numérateur commun.
Après simplification : a -2 /a -1 et 1/a -1 .
4. Réduisez les exposants 2a 4 /5a 3 et 2 /a 4 et ramenez-les à un dénominateur commun.
Réponse : 2a 3 /5a 7 et 5a 5 /5a 7 ou 2a 3 /5a 2 et 5/5a 2.
5. Multipliez (a 3 + b)/b 4 par (a - b)/3.
6. Multipliez (a 5 + 1)/x 2 par (b 2 - 1)/(x + a).
7. Multipliez b 4 /a -2 par h -3 /x et a n /y -3 .
8. Divisez un 4 /y 3 par un 3 /y 2 . Réponse : a/o.
Propriétés du diplôme
Nous vous rappelons que dans cette leçon nous comprendrons propriétés des diplômes avec des indicateurs naturels et zéro. Les puissances avec des exposants rationnels et leurs propriétés seront abordées dans les cours de 8e année.
Une puissance avec un exposant naturel possède plusieurs propriétés importantes qui nous permettent de simplifier les calculs dans les exemples avec puissances.
Propriété n°1
Produit de pouvoirs
Lors de la multiplication de puissances avec les mêmes bases, la base reste inchangée et les exposants des puissances sont ajoutés.
a m · a n = a m + n, où « a » est n'importe quel nombre, et « m », « n » sont n'importe quels nombres naturels.
Cette propriété des puissances s'applique également au produit de trois puissances ou plus.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Attention, dans la propriété spécifiée, nous parlions uniquement de multiplication de puissances avec les mêmes bases. Cela ne s'applique pas à leur ajout.
Vous ne pouvez pas remplacer la somme (3 3 + 3 2) par 3 5. Ceci est compréhensible si
calculer (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 et 3 5 = 243
Propriété n°2
Diplômes partiels
Lors de la division de puissances avec les mêmes bases, la base reste inchangée et l'exposant du diviseur est soustrait de l'exposant du dividende.
(2b) 5 : (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Exemple. Résous l'équation. Nous utilisons la propriété des quotients de puissance.
3 8 : t = 3 4
Réponse : t = 3 4 = 81
Grâce aux propriétés n°1 et n°2, vous pouvez facilement simplifier les expressions et effectuer des calculs.
- Exemple. Simplifiez l'expression.
4 5m + 6 4 m + 2 : 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2 : 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
Exemple. Trouvez la valeur d'une expression en utilisant les propriétés des exposants.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Attention, dans la Propriété 2, nous parlions uniquement de partage de pouvoirs avec les mêmes bases.
Vous ne pouvez pas remplacer la différence (4 3 −4 2) par 4 1. Ceci est compréhensible si vous calculez (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 et 4 1 = 4
Propriété n°3
Élever un diplôme à un pouvoir
Lorsqu'on élève un degré à une puissance, la base du degré reste inchangée et les exposants sont multipliés.
(a n) m = a n · m, où « a » est n'importe quel nombre, et « m », « n » sont n'importe quels nombres naturels.
Veuillez noter que la propriété n°4, comme les autres propriétés des diplômes, s'applique également dans l'ordre inverse.
(une · b n)= (une · b) n
Autrement dit, pour multiplier des puissances avec les mêmes exposants, vous pouvez multiplier les bases, mais laisser l'exposant inchangé.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1
Dans des exemples plus complexes, il peut y avoir des cas où la multiplication et la division doivent être effectuées sur des puissances ayant des bases et des exposants différents. Dans ce cas, nous vous conseillons de procéder comme suit.
Par exemple, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
Un exemple d'élévation d'une décimale à une puissance.
4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4
Propriétés 5
Puissance d'un quotient (fraction)
Pour élever un quotient à une puissance, vous pouvez élever séparément le dividende et le diviseur à cette puissance, et diviser le premier résultat par le second.
(a : b) n = a n : b n, où « a », « b » sont des nombres rationnels, b ≠ 0, n - n'importe quel nombre naturel.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Nous vous rappelons qu'un quotient peut être représenté comme une fraction. Par conséquent, nous nous attarderons plus en détail sur le sujet de l'élévation d'une fraction à une puissance à la page suivante.
Pouvoirs et racines
Opérations avec pouvoirs et racines. Diplôme avec négatif ,
zéro et fractionnaire indicateur. Des expressions qui n’ont aucun sens.
Opérations avec diplômes.
1. Lors de la multiplication de puissances avec la même base, leurs exposants sont ajoutés :
suis · une n = une m + n .
2. Lors de la division de degrés ayant la même base, leurs exposants sont déduits .
3. Le degré du produit de deux ou plusieurs facteurs est égal au produit des degrés de ces facteurs.
4. Le degré d'un rapport (fraction) est égal au rapport des degrés du dividende (numérateur) et du diviseur (dénominateur) :
(un B) n = une n / b n .
5. Lorsqu'on élève une puissance à une puissance, leurs exposants sont multipliés :
Toutes les formules ci-dessus sont lues et exécutées dans les deux sens de gauche à droite et vice versa.
EXEMPLE (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .
Opérations avec racines. Dans toutes les formules ci-dessous, le symbole signifie racine arithmétique(l'expression radicale est positive).
1. La racine du produit de plusieurs facteurs est égale au produit des racines de ces facteurs :
2. La racine d'un ratio est égale au rapport des racines du dividende et du diviseur :
3. Lorsqu'on élève une racine à une puissance, il suffit d'élever à cette puissance nombre radical :
4. Si vous augmentez le degré de la racine de m fois et en même temps augmentez le nombre radical à la puissance m, alors la valeur de la racine ne changera pas :
5. Si vous réduisez le degré de la racine de m fois et extrayez simultanément la mième racine du nombre radical, alors la valeur de la racine ne changera pas :
Élargir la notion de diplôme. Jusqu'à présent, nous n'avons considéré que les degrés à exposants naturels ; mais les opérations avec des pouvoirs et des racines peuvent aussi conduire à négatif, zéro Et fractionnaire indicateurs. Tous ces exposants nécessitent une définition supplémentaire.
Un degré avec un exposant négatif. La puissance d'un certain nombre avec un exposant négatif (entier) est définie comme un divisé par la puissance du même nombre avec un exposant égal à la valeur absolue de l'exposant négatif :
Maintenant la formule suis : un = un m - n peut être utilisé non seulement pour m, plus que n, mais aussi avec m, moins que n .
EXEMPLE un 4: un 7 = un 4 — 7 = un — 3 .
Si nous voulons la formule suis : un = suis — nétait juste quand m = n, nous avons besoin d’une définition du degré zéro.
Un diplôme avec un indice nul. La puissance de tout nombre non nul d’exposant zéro est 1.
EXEMPLES. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Degré avec un exposant fractionnaire. Afin d'élever un nombre réel a à la puissance m/n, il faut extraire la nième racine de la mième puissance de ce nombre a :
Des expressions qui n’ont aucun sens. Il existe plusieurs expressions de ce type.
Où un ≠ 0 , n'existe pas.
En fait, si l'on suppose que X est un certain nombre, alors conformément à la définition de l'opération de division on a : un = 0· X, c'est à dire. un= 0, ce qui contredit la condition : un ≠ 0
— n'importe quel chiffre.
En fait, si l’on suppose que cette expression est égale à un certain nombre X, alors d'après la définition de l'opération de division on a : 0 = 0 · X. Mais cette égalité se produit lorsque n'importe quel nombre x, c'était ce qui devait être prouvé.
0 0 — n'importe quel chiffre.
Solution Considérons trois cas principaux :
1) X = 0 – cette valeur ne satisfait pas cette équation
2) quand X> 0 on obtient : x/x= 1, c'est-à-dire 1 = 1, ce qui signifie
Quoi X- n'importe quel chiffre; mais en tenant compte du fait que dans
dans notre cas X> 0, la réponse est X > 0 ;
Règles de multiplication des pouvoirs avec des bases différentes
DIPLÔME AVEC INDICATEUR RATIONNEL,
FONCTION DE PUISSANCE IV
§ 69. Multiplication et division des pouvoirs avec les mêmes bases
Théorème 1. Pour multiplier des puissances de mêmes bases, il suffit d'ajouter les exposants et de laisser la base la même, c'est-à-dire
Preuve. Par définition du diplôme
2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.
Nous avons examiné le produit de deux puissances. En fait, la propriété prouvée est vraie pour tout nombre de puissances ayant les mêmes bases.
Théorème 2. Pour diviser des puissances avec les mêmes bases, lorsque l'indice du dividende est supérieur à l'indice du diviseur, il suffit de soustraire l'indice du diviseur à l'indice du dividende, et de laisser la base la même, c'est-à-dire à t > p
(un =/= 0)
Preuve. Rappelons que le quotient de la division d'un nombre par un autre est le nombre qui, multiplié par le diviseur, donne le dividende. Démontrez donc la formule où un =/= 0, c'est la même chose que prouver la formule
Si t > p , puis le numéro t-p sera naturel; donc, d'après le théorème 1
Le théorème 2 est prouvé.
Il convient de noter que la formule
nous l'avons prouvé seulement sous l'hypothèse que t > p . Par conséquent, de ce qui a été prouvé, il n’est pas encore possible de tirer, par exemple, les conclusions suivantes :
De plus, nous n’avons pas encore considéré les degrés à exposant négatif et nous ne savons pas encore quel sens peut-on donner à l’expression 3 - 2 .
Théorème 3. Pour élever un degré à une puissance, il suffit de multiplier les exposants en laissant la même base du degré, c'est
Preuve. En utilisant la définition du degré et le théorème 1 de cette section, on obtient :
Q.E.D.
Par exemple, (2 3) 2 = 2 6 = 64 ;
518 (Oral) Déterminer X à partir des équations :
1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 X ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 X ;
2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 X ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 X .
519. (Numéro de jeu) Simplifier :
520. (Numéro de jeu) Simplifier :
521. Présentez ces expressions sous forme de diplômes avec les mêmes bases :
1) 32 et 64 ; 3) 8 5 et 16 3 ; 5) 4 100 et 32 50 ;
2) -1000 et 100 ; 4) -27 et -243 ; 6) 81 75 8 200 et 3 600 4 150.
Formules de diplômes utilisé dans le processus de réduction et de simplification d'expressions complexes, dans la résolution d'équations et d'inégalités.
Nombre c est n-ième puissance d'un nombre un Quand:
Opérations avec diplômes.
1. En multipliant les degrés avec la même base, leurs indicateurs s'ajoutent :
suis·une n = une m + n .
2. Lors de la division de degrés avec la même base, leurs exposants sont soustraits :
3. Le degré du produit de 2 facteurs ou plus est égal au produit des degrés de ces facteurs :
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. Le degré d'une fraction est égal au rapport des degrés du dividende et du diviseur :
(une/b) n = une n /b n .
5. En élevant une puissance à une puissance, les exposants sont multipliés :
(une m) n = une m n .
Chaque formule ci-dessus est vraie dans le sens de gauche à droite et vice versa.
Par exemple. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Opérations avec racines.
1. La racine du produit de plusieurs facteurs est égale au produit des racines de ces facteurs :
2. La racine d'un rapport est égale au rapport du dividende et du diviseur des racines :
3. Lorsqu'on élève une racine à une puissance, il suffit d'élever le nombre radical à cette puissance :
4. Si vous augmentez le degré de racine dans n une fois et en même temps, intégrer n la puissance est un nombre radical, alors la valeur de la racine ne changera pas :
5. Si vous réduisez le degré de racine dans n extraire la racine en même temps n-ème puissance d'un nombre radical, alors la valeur de la racine ne changera pas :
Un degré avec un exposant négatif. La puissance d'un certain nombre avec un exposant non positif (entier) est définie comme un divisé par la puissance du même nombre avec un exposant égal à la valeur absolue de l'exposant non positif :
Formule suis:a n =a m - n peut être utilisé non seulement pour m> n, mais aussi avec m< n.
Par exemple. un4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Pour formuler suis:a n =a m - n est devenu juste quand m=n, la présence de zéro degré est requise.
Un diplôme avec un indice nul. La puissance de tout nombre différent de zéro avec un exposant nul est égale à un.
Par exemple. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Degré avec un exposant fractionnaire. Pour augmenter un vrai nombre UN au degré m/n, vous devez extraire la racine n le degré de m-ième puissance de ce nombre UN.
