Интервал дизайны арга. Квадрат тэгш бус байдлыг интервалын аргаар шийдвэрлэх

Интервалын арга– бутархай рационал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх энгийн арга. Энэ нь хувьсагчаас хамаарах рационал (эсвэл бутархай-рационал) илэрхийлэл агуулсан тэгш бус байдлын нэр юм.

1. Жишээлбэл, дараах тэгш бус байдлыг авч үзье

Интервалын арга нь үүнийг хэдхэн минутын дотор шийдэх боломжийг олгодог.

Энэ тэгш бус байдлын зүүн талд бутархай рационал функц байна. Үндэс, синус, логарифм агуулаагүй учраас рациональ - зөвхөн оновчтой илэрхийлэл. Баруун талд нь тэг байна.

Интервалын арга нь бутархай рационал функцийн дараах шинж чанарт суурилдаг.

Бутархай рационал функц нь зөвхөн тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй цэгүүдэд тэмдгийг өөрчилж болно.

Квадрат гурвалсан гишүүнийг яаж хүчин зүйлд хуваадаг, өөрөөр хэлбэл хэлбэрийн илэрхийлэл гэдгийг эргэн санацгаая.

Квадрат тэгшитгэлийн үндэс хаана ба байна.

Бид тэнхлэгийг зурж, тоологч ба хуваагчийг тэглэх цэгүүдийг байрлуулна.

Хуваагчийн тэг ба цоорсон цэгүүд, учир нь эдгээр цэгүүдэд тэгш бус байдлын зүүн талын функц тодорхойлогдоогүй (та тэгээр хувааж болохгүй). Тэгш бус байдал нь хатуу биш тул тоологчийн тэг ба - сүүдэртэй байна. Хэзээ ба бидний тэгш бус байдал хангагдана, учир нь түүний хоёр тал нь тэгтэй тэнцүү байна.

Эдгээр цэгүүд нь тэнхлэгийг интервал болгон хуваадаг.

Эдгээр интервал тус бүрийн тэгш бус байдлын зүүн талд байгаа бутархай рационал функцийн тэмдгийг тодорхойлъё. Бутархай рационал функц нь зөвхөн тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй цэгүүдэд тэмдгийг өөрчлөх боломжтой гэдгийг бид санаж байна. Энэ нь тоологч эсвэл хуваагч тэг болох цэгүүдийн хоорондох интервал бүрт тэгш бус байдлын зүүн талд байгаа илэрхийллийн тэмдэг тогтмол байх болно - "нэмэх" эсвэл "хасах".

Тиймээс ийм интервал тус бүрийн функцийн тэмдгийг тодорхойлохын тулд бид энэ интервалд хамаарах дурын цэгийг авна. Бидний хувьд тохиромжтой зүйл.
. Жишээлбэл, тэгш бус байдлын зүүн талд байгаа илэрхийллийн тэмдгийг шалгана уу. "Хаалт" бүр сөрөг байна. Зүүн тал нь тэмдэгтэй.

Дараагийн интервал: . Тэмдгийг шалгацгаая. Зүүн тал нь тэмдэгээ өөрчилсөн болохыг бид олж мэдэв.

Үүнийг авч үзье. Илэрхийлэл эерэг байх үед - тиймээс энэ нь бүхэл бүтэн интервалд эерэг байна.

Тэгш бус байдлын зүүн тал сөрөг байх үед.

Эцэст нь class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Ямар давтамжтайгаар илэрхийлэл эерэг болохыг бид олж мэдсэн. Хариултаа бичих л үлдлээ:

Хариулт: .

Анхаарна уу: тэмдгүүд нь интервалуудын хооронд ээлжлэн солигддог. Учир нь ийм зүйл болсон цэг бүрээр дамжин өнгөрөхөд шугаман хүчин зүйлсийн яг нэг нь тэмдэг өөрчлөгдсөн бол үлдсэн хэсэг нь өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.

Интервалын арга нь маш энгийн гэдгийг бид харж байна. Бутархай-рациональ тэгш бус байдлыг интервалын аргаар шийдэхийн тулд бид үүнийг дараах хэлбэрт оруулав.

Эсвэл class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \баруун))(\displaystyle Q\left(x \баруун)) > 0"> !}, эсвэл .

(зүүн талд нь бутархай оновчтой функц, баруун талд нь тэг).

Дараа нь бид тоон мөрөнд тоологч эсвэл хуваагч тэг рүү орох цэгүүдийг тэмдэглэнэ.
Эдгээр цэгүүд нь бүх тооны шугамыг интервалд хуваадаг бөгөөд тус бүр дээр бутархай-рационал функц тэмдэгээ хадгалдаг.
Үлдсэн зүйл бол интервал бүрт түүний тэмдгийг олж мэдэх явдал юм.
Өгөгдсөн интервалд хамаарах дурын цэг дээрх илэрхийллийн тэмдгийг шалгах замаар бид үүнийг хийдэг. Үүний дараа бид хариултаа бичнэ. Тэгээд л болоо.

Гэхдээ асуулт гарч ирдэг: тэмдгүүд нь үргэлж ээлжлэн солигддог уу? Үгүй ээ, үргэлж биш! Та болгоомжтой байх ёстой бөгөөд тэмдгүүдийг механикаар, бодолгүйгээр байрлуулж болохгүй.

2. Өөр нэг тэгш бус байдлыг авч үзье.

Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \баруун) \ зүүн(x-3 \right))>0"> !}

Тэнхлэг дээрх цэгүүдийг дахин байрлуул. Цэгүүд болон цэгүүд нь хуваагчийн тэг учраас цоорсон байна. Тэгш бус байдал хатуу байгаа тул энэ санааг бас хассан.

Тоолуур эерэг байвал хуваагч дахь хүчин зүйлүүд хоёулаа сөрөг байна. Үүнийг өгөгдсөн интервалаас дурын тоог авах замаар хялбархан шалгаж болно, жишээлбэл, . Зүүн талд нь дараах тэмдэг байна.

Тоолуур эерэг байвал; Хугацааны эхний хүчин зүйл эерэг, хоёр дахь хүчин зүйл нь сөрөг байна. Зүүн талд нь дараах тэмдэг байна.

Нөхцөл байдал ижил байна! Тоолуур нь эерэг, хуваарийн эхний хүчин зүйл эерэг, хоёр дахь нь сөрөг байна. Зүүн талд нь дараах тэмдэг байна.

Эцэст нь class="tex" alt="x>3)."> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Хариулт: .

Тэмдгийн ээлж яагаад тасалдсан бэ? Учир нь цэгээр дамжин өнгөрөхөд үржүүлэгч нь үүнийг "хариуцдаг" тэмдгийг өөрчилсөнгүй. Тиймээс бидний тэгш бус байдлын зүүн тал бүхэлдээ тэмдэг өөрчлөгдөөгүй.

Дүгнэлт: хэрэв шугаман үржүүлэгч нь тэгш хүч (жишээлбэл, квадрат) байвал цэгээр дамжин өнгөрөх үед зүүн талын илэрхийллийн тэмдэг өөрчлөгдөхгүй.. Сонирхолтой зэрэгтэй тохиолдолд тэмдэг нь мэдээж өөрчлөгддөг.

3. Илүү төвөгтэй тохиолдлыг авч үзье. Энэ нь өмнөхөөсөө ялгаатай нь тэгш бус байдал нь хатуу биш юм.

Зүүн тал нь өмнөх асуудалтай ижил байна. Тэмдгийн зураг ижил байх болно:

Магадгүй хариулт нь адилхан байх болов уу? Үгүй! Шийдэл нэмж байна Энэ нь тэгш бус байдлын зүүн ба баруун тал хоёулаа тэгтэй тэнцүү байдаг тул энэ цэг нь шийдэл юм.

Хариулт: .

Энэ нөхцөл байдал нь математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын асуудалд ихэвчлэн тохиолддог. Эндээс өргөдөл гаргагчид урхинд орж, оноогоо алддаг. Болгоомжтой байгаарай!

4. Тоолуур эсвэл хуваагчийг шугаман хүчин зүйлд тооцох боломжгүй бол яах вэ? Энэ тэгш бус байдлыг авч үзье:

Квадрат гурвалсан тоог хүчин зүйлээр ангилах боломжгүй: ялгаварлагч нь сөрөг, үндэс байхгүй. Гэхдээ энэ сайн байна! Энэ нь бүгдэд зориулсан илэрхийллийн тэмдэг нь ижил, ялангуяа эерэг гэсэн үг юм. Та энэ талаар илүү ихийг квадрат функцүүдийн шинж чанаруудын талаархи нийтлэлээс уншиж болно.

Одоо бид тэгш бус байдлынхаа хоёр талыг бүгдэд нь эерэг утгаар хувааж болно. Үүнтэй ижил тэгш бус байдалд хүрье:

Үүнийг интервалын аргыг ашиглан амархан шийддэг.

Бид тэгш бус байдлын хоёр талыг эерэг гэж баттай мэдэж байсан утгаараа хуваасан болохыг анхаарна уу. Мэдээжийн хэрэг, ерөнхийдөө тэгш бус байдлыг тэмдэг нь тодорхойгүй хувьсагчаар үржүүлж, хувааж болохгүй.

5 . Маш энгийн мэт санагдах өөр нэг тэгш бус байдлыг авч үзье.

Зүгээр л үржүүлмээр байна. Гэхдээ бид аль хэдийн ухаантай, үүнийг хийхгүй. Эцсийн эцэст энэ нь эерэг ба сөрөг аль аль нь байж болно. Хэрэв тэгш бус байдлын хоёр талыг сөрөг утгаар үржүүлбэл тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгддөгийг бид мэднэ.

Бид үүнийг өөрөөр хийх болно - бид бүгдийг нэг хэсэгт цуглуулж, нийтлэг хуваагч руу авчрах болно. Баруун тал нь тэг хэвээр байх болно:

Class="tex" alt="\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

Үүний дараа - өргөдөл гарга интервалын арга.

Нэгдүгээрт, интервалын аргаар шийдэж буй асуудлыг мэдрэхийн тулд бага зэрэг дууны үг. Дараах тэгш бус байдлыг шийдэх хэрэгтэй гэж үзье.

(x − 5)(x + 3) > 0

Ямар сонголтууд байна вэ? Ихэнх оюутнуудын санаанд хамгийн түрүүнд орж ирдэг зүйл бол “нэмэхэд нэмэх нь нэмэх”, “хасах нь нэмэх” гэсэн дүрэм юм. Иймд хоёр хаалт нь эерэг байх тохиолдлыг авч үзэхэд хангалттай: x − 5 > 0 ба x + 3 > 0. Дараа нь бид хоёр хаалт сөрөг байх тохиолдлыг авч үзье: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Илүү ахисан түвшний оюутнууд (магадгүй) зүүн талд график нь парабол болох квадрат функц байгааг санах болно. Түүнчлэн, энэ парабол нь OX тэнхлэгийг x = 5 ба x = -3 цэгүүдээр огтолж байна. Цаашид ажиллахын тулд та хаалтыг нээх хэрэгтэй. Бидэнд байгаа:

x 2 − 2x − 15 > 0

Одоо параболын мөчрүүд дээшээ чиглэсэн байгаа нь тодорхой байна, учир нь коэффициент a = 1 > 0. Энэ параболын диаграммыг зурж үзье.

Функц нь OX тэнхлэгээс дээгүүр өнгөрөх үед тэгээс их байна. Манай тохиолдолд эдгээр нь (−∞ −3) ба (5; +∞) интервалууд юм - энэ бол хариулт юм.

Анхаарна уу: зураг яг харагдаж байна функциональ диаграм, түүний хуваарь биш. Учир нь бодит графикийн хувьд та координатыг тоолох, нүүлгэн шилжүүлэлт болон бусад зүйлсийг тооцоолох хэрэгтэй бөгөөд одоогоор бидэнд огт хэрэггүй.

Эдгээр аргууд яагаад үр дүнгүй байдаг вэ?

Тиймээс бид ижил тэгш бус байдлын хоёр шийдлийг авч үзсэн. Хоёулаа нэлээн ээдрээтэй болсон. Эхний шийдвэр гарч ирнэ - зүгээр л бодоорой! - тэгш бус байдлын тогтолцооны багц. Хоёрдахь шийдэл нь тийм ч хялбар биш юм: та параболын график болон бусад олон жижиг баримтуудыг санах хэрэгтэй.

Энэ бол маш энгийн тэгш бус байдал байсан. Энэ нь зөвхөн 2 үржүүлэгчтэй. Одоо 2 биш, харин дор хаяж 4 үржүүлэгч байх болно гэж төсөөлөөд үз дээ.Жишээ нь:

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Ийм тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдвэрлэх вэ? Давуу болон сул талуудын боломжит бүх хослолыг үзэх үү? Тийм ээ, бид шийдлийг олохоосоо илүү хурдан унтах болно. Ийм функц координатын хавтгайд хэрхэн ажиллах нь тодорхойгүй тул график зурах нь бас сонголт биш юм.

Ийм тэгш бус байдлын хувьд шийдлийн тусгай алгоритм шаардлагатай бөгөөд бид өнөөдөр авч үзэх болно.

Интервалын арга гэж юу вэ

Интервалын арга нь f (x) > 0 ба f (x) хэлбэрийн нийлмэл тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд зориулагдсан тусгай алгоритм юм.< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. f (x) = 0 тэгшитгэлийг шийд. Тиймээс тэгш бус байдлын оронд шийдвэрлэхэд илүү хялбар тэгшитгэл гарч ирнэ;
2. Бүх олж авсан үндсийг координатын шугам дээр тэмдэглэ. Тиймээс шулуун шугамыг хэд хэдэн интервалд хуваах болно;
3. Хамгийн баруун талын интервал дээрх f (x) функцийн тэмдгийг (нэмэх хасах) ол. Үүнийг хийхийн тулд бүх тэмдэглэсэн язгуурын баруун талд байх дурын тоог f (x) -д орлуулахад хангалттай;
4. Үлдсэн интервалаар тэмдгүүдийг тэмдэглэ. Үүнийг хийхийн тулд үндэс бүрээр дамжих үед тэмдэг өөрчлөгддөг гэдгийг санаарай.

Тэгээд л болоо! Үүний дараа бидний сонирхсон интервалуудыг бичих л үлдлээ. Хэрэв тэгш бус байдал f (x) > 0 хэлбэртэй байсан бол тэдгээрийг "+" тэмдгээр, хэрэв тэгш бус байдал нь f (x) хэлбэртэй бол "-" тэмдгээр тэмдэглэнэ.< 0.

Өнгөц харахад интервалын арга нь ямар нэгэн цагаан тугалга юм шиг санагдаж магадгүй юм. Гэхдээ практик дээр бүх зүйл маш энгийн байх болно. Жаахан дасгал хийвэл бүх зүйл тодорхой болно. Жишээнүүдийг хараад өөрөө үзээрэй:

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

(x − 2)(x + 7)< 0

Бид интервалын аргыг ашиглан ажилладаг. Алхам 1: тэгш бус байдлыг тэгшитгэлээр сольж, шийд:

(x − 2)(x + 7) = 0

Хэрэв хүчин зүйлүүдийн дор хаяж нэг нь тэг байвал бүтээгдэхүүн тэг болно:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Бид хоёр үндэстэй. 2-р алхам руу шилжье: эдгээр үндэсийг координатын шугам дээр тэмдэглэ. Бидэнд байгаа:

Одоо 3-р алхам: хамгийн баруун талын интервал дээрх функцийн тэмдгийг ол (х = 2 гэж тэмдэглэсэн цэгийн баруун талд). Үүнийг хийхийн тулд x = 2-оос их ямар ч тоог авах хэрэгтэй. Жишээ нь, x = 3-ыг авъя (гэхдээ x = 4, x = 10, бүр x = 10,000 авахыг хэн ч хориглодоггүй). Бид авах:

f (x) = (x − 2)(x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

Бид f (3) = 10 > 0 гэдгийг олж мэдэх тул хамгийн баруун талын интервалд нэмэх тэмдэг тавина.

Сүүлчийн цэг рүү шилжье - үлдсэн интервал дээрх тэмдгүүдийг тэмдэглэх хэрэгтэй. Үндэс бүрээр дамжихдаа тэмдэг өөрчлөгдөх ёстой гэдгийг бид санаж байна. Жишээлбэл, x = 2 язгуурын баруун талд нэмэх тэмдэг байна (бид үүнийг өмнөх алхамд баталгаажуулсан) тул зүүн талд хасах байх ёстой.

Энэ хасах нь бүхэл интервалд (−7; 2) үргэлжилдэг тул x = −7 язгуурын баруун талд хасах тэмдэг байна. Тиймээс x = −7 язгуурын зүүн талд нэмэх тэмдэг байна. Эдгээр тэмдгүүдийг координатын тэнхлэг дээр тэмдэглэх нь хэвээр байна. Бидэнд байгаа:

Дараах хэлбэртэй байсан анхны тэгш бус байдал руу буцъя.

(x − 2)(x + 7)< 0

Тиймээс функц нь тэгээс бага байх ёстой. Энэ нь бид зөвхөн нэг интервал дээр гарч ирэх хасах тэмдгийг сонирхож байна гэсэн үг юм: (−7; 2). Энэ хариулт байх болно.

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Алхам 1: зүүн талыг тэг болгож тохируулна уу:

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Санаж байгаарай: хүчин зүйлүүдийн дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү байх үед бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү байна. Ийм учраас бид хаалт бүрийг тэгтэй тэнцүүлэх эрхтэй.

Алхам 2: координатын шугам дээрх бүх үндэсийг тэмдэглэ.

Алхам 3: Хамгийн баруун талын цоорхойн тэмдгийг олж мэд. Бид x = 1-ээс их ямар ч тоог авна. Жишээлбэл, бид x = 10-ыг авч болно. Бидэнд:

f (x) = (x + 9)(x - 3)(1 - x);
x = 10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f (10) = -1197< 0.

Алхам 4: Үлдсэн тэмдгүүдийг байрлуулах. Үндэс бүрээр дамжих үед тэмдэг өөрчлөгддөгийг бид санаж байна. Үүний үр дүнд бидний зураг дараах байдлаар харагдах болно.

Тэгээд л болоо. Хариултаа бичих л үлдлээ. Анхны тэгш бус байдлыг дахин харна уу:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Энэ нь f(x) хэлбэрийн тэгш бус байдал юм.< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Энэ бол хариулт юм.

Функцийн тэмдгийн тухай тэмдэглэл

Практикаас харахад интервалын аргын хамгийн том бэрхшээл нь сүүлийн хоёр алхамд үүсдэг, i.e. тэмдэг тавих үед. Олон оюутнууд эргэлзэж эхэлдэг: аль тоог авах, хаана тэмдэг тавих вэ.

Интервалын аргыг эцэст нь ойлгохын тулд түүний үндэслэсэн хоёр ажиглалтыг авч үзье.

1. Үргэлжилсэн функц нь зөвхөн эдгээр цэгүүдэд тэмдэгийг өөрчилдөг Энэ нь тэгтэй тэнцүү байна. Ийм цэгүүд координатын тэнхлэгийг хэсэг болгон хуваадаг бөгөөд тэдгээрийн дотор функцийн тэмдэг хэзээ ч өөрчлөгддөггүй. Ийм учраас бид f (x) = 0 тэгшитгэлийг шийдэж, олсон үндсийг шулуун дээр тэмдэглэнэ. Олдсон тоонууд нь давуу болон сул талуудыг тусгаарлах "хил" цэгүүд юм.
2. Аливаа интервал дээрх функцийн тэмдгийг олохын тулд энэ интервалаас дурын тоог функцэд орлуулахад хангалттай. Жишээлбэл (−5; 6) интервалын хувьд бид хүсвэл x = −4, x = 0, x = 4, бүр x = 1.29374 авах эрхтэй. Яагаад чухал вэ? Тийм ээ, учир нь олон оюутнуудад эргэлзээ төрж эхэлдэг. Хэрэв x = −4 бол нэмэх, x = 0 бол хасах байвал яах вэ? Гэхдээ ийм зүйл хэзээ ч тохиолдохгүй. Нэг интервал дээрх бүх цэгүүд ижил тэмдгийг өгдөг. Үүнийг санаарай.

Энэ бол интервалын аргын талаар мэдэх ёстой зүйл юм. Мэдээжийн хэрэг, бид үүнийг хамгийн энгийн хэлбэрээр шинжилсэн. Илүү төвөгтэй тэгш бус байдал байдаг - хатуу бус, бутархай, давтагдах үндэстэй. Та мөн интервалын аргыг ашиглаж болно, гэхдээ энэ нь тусдаа том хичээлийн сэдэв юм.

Одоо би интервалын аргыг эрс хялбаршуулсан дэвшилтэт техникийг хармаар байна. Илүү нарийвчлалтай, хялбарчлах нь зөвхөн гурав дахь алхамд нөлөөлдөг - шугамын хамгийн баруун талд байгаа тэмдгийг тооцоолох. Зарим шалтгааны улмаас энэ техникийг сургуулиудад заадаггүй (наад зах нь хэн ч надад тайлбарлаагүй). Гэхдээ дэмий хоосон - учир нь үнэндээ энэ алгоритм нь маш энгийн.

Тэгэхээр функцийн тэмдэг нь тооны шулууны баруун талд байна. Энэ хэсэг нь (a ; +∞) хэлбэртэй байна, энд a нь f (x) = 0 тэгшитгэлийн хамгийн том үндэс юм. Таны сэтгэлийг хөдөлгөхгүйн тулд тодорхой жишээг авч үзье:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) = (x - 1)(2 + x)(7 - x);
(x − 1)(2 + x)(7 − x) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Бид 3 үндэстэй болсон. Тэднийг өсөх дарааллаар жагсаацгаая: x = −2, x = 1 ба x = 7. Хамгийн том язгуур нь x = 7 байх нь ойлгомжтой.

Графикаар тайлбарлахад хялбар байдаг хүмүүст би эдгээр үндэсийг координатын шугам дээр тэмдэглэх болно. Юу болсныг харцгаая:

Хамгийн баруун талын интервал дээр f (x) функцийн тэмдгийг олох шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл. (7; +∞) хүртэл. Гэхдээ бид аль хэдийн тэмдэглэсэнчлэн тэмдгийг тодорхойлохын тулд та энэ интервалаас ямар ч тоог авч болно. Жишээлбэл, та x = 8, x = 150 гэх мэтийг авч болно. Одоо бол сургуульд заадаггүй техник: хязгааргүйг тоо болгон авч үзье. Илүү нарийн, нэмэх хязгааргүй, өөрөөр хэлбэл +∞.

"Чи чулуу шидсэн үү? Хязгааргүйг функцэд яаж орлуулах вэ?" - Та асууж магадгүй юм. Гэхдээ бодоод үз: бидэнд функцын утга хэрэггүй, зөвхөн тэмдэг хэрэгтэй. Тиймээс, жишээлбэл, f (x) = −1 ба f (x) = −938 740 576 215 утгууд нь ижил утгатай: энэ интервал дээрх функц нь сөрөг байна. Тиймээс танаас шаардагдах бүх зүйл бол функцийн утгыг бус, хязгааргүйд гарч ирэх тэмдгийг олох явдал юм.

Үнэн хэрэгтээ хязгааргүйг орлуулах нь маш энгийн зүйл юм. Функц руугаа буцъя:

f (x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

x бол маш том тоо гэж төсөөлөөд үз дээ. Тэрбум, бүр их наяд. Одоо хаалт бүрт юу болохыг харцгаая.

Эхний хаалт: (x − 1). Хэрэв та тэрбумаас нэгийг хасвал юу болох вэ? Үр дүн нь тэрбумаас нэг их ялгаатай биш тоо байх бөгөөд энэ тоо эерэг байх болно. Хоёрдахь хаалттай адил: (2 + x). Хэрэв та хоёр тэрбумыг нэмбэл тэрбум, копейк авах болно - энэ нь эерэг тоо юм. Эцэст нь гурав дахь хаалт: (7 - x). Эндээс долоон хэлбэртэй өрөвдмөөр хэсгийг "зажилсан" хасах тэрбум байх болно. Тэдгээр. гарсан тоо нь хасах тэрбумаас тийм ч их ялгаатай биш - энэ нь сөрөг байх болно.

Бүхэл бүтэн ажлын шинж тэмдгийг олох л үлдлээ. Эхний хаалтанд нэмэх, сүүлчийнх нь хасах тэмдэгтэй байсан тул бид дараах бүтцийг олж авна.

(+) · (+) · (−) = (−)

Эцсийн тэмдэг нь хасах! Мөн функцийн үнэ цэнэ нь ямар байх нь хамаагүй. Хамгийн гол нь энэ утга нь сөрөг, i.e. баруун талын интервал нь хасах тэмдэгтэй байна. Үлдсэн зүйл бол интервалын аргын дөрөв дэх алхамыг дуусгах явдал юм: бүх тэмдгүүдийг цэгцлээрэй. Бидэнд байгаа:

Анхны тэгш бус байдал нь:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

Тиймээс бид хасах тэмдгээр тэмдэглэгдсэн интервалуудыг сонирхож байна. Бид хариултыг бичнэ:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Энэ бол миний чамд хэлэх гэсэн бүх заль мэх юм. Дүгнэж хэлэхэд, хязгааргүйг ашиглан интервалын аргаар шийдэж болох өөр нэг тэгш бус байдал энд байна. Шийдлийг нүдээр богиносгохын тулд би алхамын тоо, дэлгэрэнгүй тайлбарыг бичихгүй. Бодит асуудлыг шийдэхэд би зөвхөн таны бичих ёстой зүйлийг л бичих болно.

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

Бид тэгш бус байдлыг тэгшитгэлээр сольж, шийднэ.

x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Бид бүх гурван үндсийг координатын шугам дээр тэмдэглэв (нэг дор тэмдэгтэй):

Координатын тэнхлэгийн баруун талд нэмэх зүйл бий, учир нь функц нь дараах байдлаар харагдаж байна.

f (x) = x (2x + 8)(x − 3)

Хэрэв бид хязгааргүйг (жишээлбэл, тэрбум) орлуулах юм бол бид гурван эерэг хаалт авна. Анхны илэрхийлэл нь тэгээс их байх ёстой тул бид зөвхөн эерэг талуудыг сонирхож байна. Хариултаа бичих л үлдлээ:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

Чухал тэмдэглэл!
1. Хэрэв та томьёоны оронд gobbledygook-г харвал кэшээ цэвэрлэ. Үүнийг хөтөч дээрээ хэрхэн хийх талаар энд бичсэн болно:
2. Өгүүллийг уншиж эхлэхээсээ өмнө манай хөтөчөөс хамгийн хэрэгцээтэй эх сурвалжийг олж мэдэхийг анхаарна уу

Та зүгээр л энэ аргыг ойлгож, гарын арван хуруу шигээ мэдэх хэрэгтэй! Хэрэв энэ нь оновчтой тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд хэрэглэгддэг бөгөөд энэ аргыг зөв мэддэг учраас эдгээр тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх нь гайхалтай хялбар байдаг. Хэсэг хугацааны дараа би эдгээр тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд цаг хугацаа хэмнэх хэд хэдэн нууцыг хэлье. За, та сонирхож байна уу? Тэгээд явцгаая!

Аргын мөн чанар нь тэгш бус байдлыг хүчин зүйлд оруулах (сэдвийг давтах), ODZ болон хүчин зүйлийн тэмдгийг тодорхойлох явдал юм; одоо би бүгдийг тайлбарлах болно. Хамгийн энгийн жишээг авч үзье: .

Хувьсагчаар хуваагдахгүй, энд ажиглагдсан радикалууд (үндэс) байхгүй тул хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгын мужийг () бичих шаардлагагүй. Энд байгаа бүх зүйл бидний хувьд аль хэдийн хүчин зүйлчилсэн байна. Гэхдээ тайвширч болохгүй, энэ бүхэн танд үндсийг сануулж, мөн чанарыг ойлгохын тулд юм!

Та интервалын аргыг мэдэхгүй гэж бодъё, та энэ тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдэх вэ? Логикоор хандаж, аль хэдийн мэддэг зүйл дээрээ тулгуурла. Нэгдүгээрт, хэрэв хаалтанд байгаа илэрхийлэл хоёулаа тэгээс их эсвэл тэгээс бага байвал зүүн тал нь тэгээс их байх болно, учир нь "нэмэх"-ийн "нэмэх" нь "нэмэх", "хасах"-д "хасах" нь "нэмэх" гэсэн үг юм, тийм үү? Хэрэв хаалтанд байгаа илэрхийллийн тэмдгүүд өөр байвал эцэст нь зүүн тал нь тэгээс бага байх болно. Хаалтанд байгаа илэрхийлэл сөрөг эсвэл эерэг байх утгыг олж мэдэхийн тулд бид юу хэрэгтэй вэ?

Бид тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй, энэ нь тэгш бус байдалтай яг адилхан, зөвхөн тэмдгийн оронд тэмдэг байх болно, энэ тэгшитгэлийн үндэс нь эдгээр хилийн утгыг тодорхойлох боломжийг бидэнд олгоно, үүнээс гарах хүчин зүйлүүд нь илүү их байх болно. эсвэл тэгээс бага.

Тэгээд одоо интервалууд өөрсдөө. Интервал гэж юу вэ? Энэ бол тооны шугамын тодорхой интервал, өөрөөр хэлбэл хоёр тооны хооронд агуулагдах боломжтой бүх тоонууд - интервалын төгсгөлүүд юм. Эдгээр интервалуудыг толгойдоо төсөөлөх нь тийм ч амар биш, тиймээс интервал зурах нь нийтлэг байдаг, би танд одоо заах болно.

Бид тэнхлэг зурж, бүхэл бүтэн тоон цуваа нь түүн дээр байрладаг. Функцийн тэг гэж нэрлэгддэг тэнхлэг дээр цэгүүдийг зурсан бөгөөд илэрхийлэл нь тэгтэй тэнцэх утгууд юм. Эдгээр цэгүүдийг "заасан" бөгөөд энэ нь тэгш бус байдал үнэн байх утгуудын тоонд ороогүй гэсэн үг юм. Энэ тохиолдолд тэд цоорсон байна, учир нь тэгш бус байдалд тэмдэг тавих ба биш, өөрөөр хэлбэл хатуу их, түүнээс их эсвэл тэнцүү биш.

Би тэгийг тэмдэглэх шаардлагагүй, энд тойроггүй, зөвхөн тэнхлэгийн дагуу ойлголт, чиг баримжаа олгоход зориулагдсан гэдгийг хэлмээр байна. За, бид тэнхлэгээ зурж, цэгүүдийг (илүү нарийвчлалтай, тойрог) тавь, дараа нь яах вэ, энэ нь надад шийдвэрлэхэд хэрхэн туслах вэ? - Та асуух. Одоо зөвхөн х-ийн утгыг дарааллаар нь авч, тэгш бус байдалдаа орлуулж, үржүүлгийн үр дүнд ямар тэмдэг гарч байгааг хараарай.

Товчхондоо, бид үүнийг жишээ болгон авч үзье, энд орлуулаарай, энэ нь ажиллах болно, энэ нь тэгш бус байдал нь бидний авсан бүх интервалд (бүхэл бүтэн интервалд) хүчинтэй байх болно гэсэн үг юм. Өөрөөр хэлбэл x нь -ээс хүртэл байвал тэгш бус байдал нь үнэн болно.

Бид хооронд нь ижил зүйлийг хийдэг, жишээлбэл, орлуулах, тэмдгийг тодорхойлох, тэмдэг нь "хасах" болно. Тэмдэг нь "нэмэх" болж хувирах сүүлчийн, гурав дахь завсарлагатай ижил зүйлийг хийдэг. Маш олон текст байгаа ч тодорхой бус байна, тийм үү?

Тэгш бус байдлыг дахин нэг хар.

Одоо бид үр дүнд нь олж авах тэмдгүүдийг ижил тэнхлэгт хэрэглэнэ. Миний жишээн дээр тасархай шугам нь тэнхлэгийн эерэг ба сөрөг хэсгүүдийг илэрхийлдэг.

Тэгш бус байдлыг хараарай - зураг дээр, дахин тэгш бус байдал дээр - дахин зураг дээр, тодорхой зүйл байна уу? Одоо ямар X интервал дээр тэгш бус байдал үнэн болохыг хэлэхийг оролдоорой. Зөв, -ээс эхлэн тэгш бус байдал хүртэл үнэн байх болно, гэхдээ тэгш бус байдал хүртэлх завсар нь тэг бөгөөд энэ интервал нь бидэнд тийм ч сонирхолтой биш юм, учир нь бид тэгш бус байдалд тэмдэгтэй байдаг.

За, одоо та үүнийг ойлгосон тул хариултаа бичих л үлдлээ! Үүний хариуд бид зүүн тал нь тэгээс их байх интервалуудыг бичдэг бөгөөд энэ нь X нь хасах хязгаараас хасах нэг хүртэлх, хоёроос нэмэх хязгааргүй хүртэлх интервалд хамаарна гэж уншина. Хаалт нь интервалыг хязгаарлах утгууд нь тэгш бус байдлын шийдэл биш, өөрөөр хэлбэл хариултанд тусгагдаагүй, зөвхөн жишээ нь: шийдэл.

Одоо та зөвхөн интервал зурах шаардлагагүй жишээ:

Тэнхлэг дээр цэг тавихаас өмнө юу хийх хэрэгтэй гэж та бодож байна вэ? Тиймээ, үүнийг хүчин зүйлд тооцоорой:

Бид интервал зурж, тэмдгүүдийг байрлуулж, тэмдэг нь тэгээс бага байгаа тул цоорсон цэгүүдийг анзаараарай.

Энэ сэдвийн эхэнд амлаж байсан нэг нууцаа танд хэлэх цаг боллоо! Тэмдгийг тодорхойлохын тулд интервал тус бүрийн утгыг орлуулах шаардлагагүй, гэхдээ та аль нэг интервал дахь тэмдгийг тодорхойлж, үлдсэн хэсэгт нь тэмдэгтүүдийг сольж болно гэж хэлвэл яах вэ!

Тиймээс бид тэмдэг тавихад бага зэрэг цаг хэмнэсэн - Улсын нэгдсэн шалгалтанд олсон цаг хугацаа нь хохирол учруулахгүй гэж бодож байна!

Бид хариултыг бичнэ:

Одоо бутархай-рационал тэгш бус байдлын жишээг авч үзье - тэгш бус байдал, тэдгээрийн аль аль нь оновчтой илэрхийлэл (харна уу).

Энэ тэгш бус байдлын талаар та юу хэлж чадах вэ? Та үүнийг бутархай-рационал тэгшитгэл гэж харвал бид эхлээд юу хийх вэ? Үндэс байхгүй гэдгийг бид шууд олж харлаа, энэ нь мэдээж оновчтой гэсэн үг, гэхдээ дараа нь энэ нь бутархай, тэр ч байтугай хуваагч нь үл мэдэгдэх хэсэг юм!

Энэ нь зөв, бидэнд ODZ хэрэгтэй!

Ингээд цаашаа явъя, энд нэгээс бусад хүчин зүйл нь нэгдүгээр зэрэглэлийн хувьсагчтай, харин х хоёр дахь зэрэгтэй хүчин зүйл бий. Ихэвчлэн тэгш бус байдлын зүүн тал тэг утгыг авах цэгүүдийн аль нэгийг дайран өнгөрсний дараа бидний тэмдэг өөрчлөгддөг бөгөөд үүний тулд хүчин зүйл тус бүрд х ямар тэнцүү байх ёстойг тодорхойлсон. Гэхдээ энд үргэлж эерэг байдаг, учир нь аль ч тоон квадрат > тэг ба эерэг гишүүн.

Энэ нь тэгш бус байдлын утгад нөлөөлнө гэж та бодож байна уу? Энэ нь зөв - энэ нь нөлөөлөхгүй! Бид тэгш бус байдлыг хоёр хэсэгт найдвартай хувааж, улмаар энэ хүчин зүйлийг арилгах боломжтой бөгөөд ингэснээр нүдийг зовоохгүй.

Интервалуудыг зурах цаг нь болсон тул үүнийг хийхийн тулд үржүүлэгч нь тэгээс их ба түүнээс бага байх хилийн утгуудыг тодорхойлох хэрэгтэй. Гэхдээ энд тэмдэг байгаа гэдгийг анхаарна уу, энэ нь тэгш бус байдлын зүүн тал нь тэг утгыг авах цэгийг сонгохгүй, энэ нь шийдлийн тоонд багтсан, бидэнд зөвхөн нэг ийм цэг байгаа гэсэн үг юм. энэ нь x нь нэгтэй тэнцэх цэг юм. Хуваагч сөрөг байгаа цэгийг будах уу? - Мэдээж үгүй!

Хуваагч нь тэг байх ёсгүй тул интервал дараах байдлаар харагдана.

Энэ диаграммыг ашигласнаар та хариултаа хялбархан бичиж болно, би одоо танд шинэ төрлийн хаалт байгаа гэж хэлье - дөрвөлжин! Энд хаалт байна [ утгыг уусмалын интервалд оруулсан гэж хэлдэг, i.e. хариултын нэг хэсэг бол энэ хаалт нь тэнхлэг дээрх дүүрсэн (хаалтгүй) цэгтэй тохирч байна.

Тэгэхээр та ижил хариултыг авсан уу?

Бид үүнийг хүчин зүйл болгон тооцож, бүгдийг нэг тал руу шилжүүлдэг; Эцсийн эцэст бид түүнтэй харьцуулахын тулд баруун талд тэгийг л үлдээх хэрэгтэй:

Сүүлчийн хувиргалтдаа хуваагч болон хуваагчийг авахын тулд тэгш бус байдлын хоёр талыг үржүүлдэг болохыг би та бүхний анхаарлыг татаж байна. Тэгш бус байдлын хоёр талыг үржүүлэхэд тэгш бус байдлын тэмдэг эсрэгээрээ өөрчлөгддөг гэдгийг санаарай!!!

Бид ODZ гэж бичдэг:

Үгүй бол хуваагч тэг рүү орох бөгөөд таны санаж байгаагаар та тэгээр хувааж болохгүй!

Зөвшөөрч байна, үүссэн тэгш бус байдал нь тоологч ба хуваагчийг багасгахад уруу татагдаж байна! Үүнийг хийх боломжгүй; та шийдвэрийнхээ зарим хэсгийг эсвэл ODZ-г алдаж магадгүй!

Одоо тэнхлэг дээрх цэгүүдийг өөрөө тавьж үзээрэй. Цэгүүдийг зурахдаа тэмдэгт дээр үндэслэн тэнхлэг дээр сүүдэрлэж зурсан мэт санагдах утгатай цэг нь сүүдэрлэхгүй, энэ нь тийм байх болно гэдгийг анхаарах хэрэгтэй гэдгийг би тэмдэглэх болно. ухсан! Та яагаад асуугаад байгаа юм бэ? ODZ-г санаж байна уу, та тэгт хуваагдахгүй гэж үү?

ODZ хамгийн түрүүнд ирдэг гэдгийг санаарай! Бүх тэгш бус байдал, тэгш байдлын тэмдгүүд нэгийг хэлж, ОДЗ өөр зүйлийг хэлж байгаа бол агуу, хүчирхэг ОДЗ-д итгээрэй! За, та интервалуудыг бий болгосон, та ээлжлэн солих талаар миний зөвлөгөөг авсан бөгөөд үүнийг ийм байдлаар авсан гэдэгт би итгэлтэй байна (доорх зургийг харна уу) Одоо үүнийг зураад дахин ийм алдаа бүү хий! Ямар алдаа вэ? - Та асуух.

Баримт нь энэ тэгш бус байдалд хүчин зүйл хоёр удаа давтагдсан (та үүнийг хэрхэн бууруулах гэж оролдсноо санаж байна уу?). Тэгэхээр, хэрэв тэгш бус байдалд зарим хүчин зүйл тэгш тоогоор хэд хэдэн удаа давтагдсан бол энэ хүчин зүйлийг тэг болгож хувиргадаг тэнхлэгийн цэгээр дамжин өнгөрөхөд (энэ тохиолдолд цэг) тэмдэг өөрчлөгдөхгүй; хэрэв сондгой бол , дараа нь тэмдэг өөрчлөгдөнө!

Дараах интервал ба тэмдэг бүхий тэнхлэг нь зөв байх болно.

Бидний сонирхож буй тэмдэг нь эхэнд байсан тэмдэг биш (тэгш бус байдлыг анх харахад тэнд байсан), хувиргасны дараа тэмдэг нь өөрчлөгдсөн бөгөөд энэ нь бид интервалыг сонирхож байна гэсэн үг юм. тэмдэгтэй.

Хариулт:

Ямар ч интервалд ороогүй тэгш бус байдлын үндэс байх тохиолдол байдаг гэдгийг би бас хэлье, хариуд нь буржгар хаалтанд бичдэг, жишээ нь: . Ийм нөхцөл байдлын талаар та нийтлэлийн дундаж түвшний талаар илүү ихийг уншиж болно.

Интервалын аргыг ашиглан тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар товч танилцуулъя.

1. Бид бүх зүйлийг зүүн тал руу шилжүүлж, баруун талд нь зөвхөн тэгийг үлдээдэг;
2. Бид ODZ-ийг олдог;
3. Бид тэгш бус байдлын бүх үндсийг тэнхлэг дээр зурдаг;
4. Бид аль нэг интервалаас дурын нэгийг авч, язгуур хамаарах интервал дахь тэмдгийг тодорхойлж, тэгш бус байдалд хэд хэдэн удаа давтагдаж буй язгууруудад анхаарлаа хандуулж, тэмдгүүдийг ээлжлэн солино; тэдгээрийн дундуур өнгөрөх үед тэмдэг өөрчлөгдөх эсэхээс хамаарна. давтагдах эсвэл давтагдахгүй тооны тэгш, сондгой байдлын талаар;
5. Үүний хариуд бид цоорсон болон цоороогүй цэгүүдийг ажиглаж интервал бичиж (ODZ-ийг үз), тэдгээрийн хооронд шаардлагатай төрлийн хаалтуудыг байрлуулна.

Эцэст нь бидний дуртай хэсэг болох "өөрөө хий"!

Жишээ нь:

Хариултууд:

ИНТЕРВАЛИЙН АРГА. ДУНДАЖ ТҮВШИН

Шугаман функц

Маягтын функцийг шугаман гэж нэрлэдэг. Жишээ болгон функцийг авч үзье. Энэ нь эерэг үед сөрөг байдаг. Цэг нь () функцийн тэг юм. Тооны тэнхлэгт энэ функцийн тэмдгүүдийг харуулъя.

Бид "цэгээр дамжин өнгөрөх үед функц тэмдэг өөрчлөгддөг" гэж хэлдэг.

Функцийн тэмдгүүд нь функцийн графикийн байрлалтай тохирч байгааг харж болно: хэрэв график нь тэнхлэгээс дээш байвал тэмдэг нь " ", доор нь " " байвал тэмдэг.

Хэрэв бид үр дүнгийн дүрмийг дурын шугаман функц болгон нэгтгэвэл бид дараах алгоритмыг олж авна.

• Функцийн тэгийг олох;
• Бид үүнийг тооны тэнхлэг дээр тэмдэглэнэ;
• Бид тэгийн эсрэг талын функцийн тэмдгийг тодорхойлно.

Квадрат функц

Та квадрат тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдэхээ санаж байна гэж найдаж байна. Үгүй бол сэдвийг уншина уу. Квадрат функцийн ерөнхий хэлбэрийг сануулъя: .

Одоо квадрат функц ямар тэмдэг авахыг санацгаая. Түүний график нь парабол бөгөөд функц нь парабол тэнхлэгээс дээш байгаа тохиолдолд " " тэмдэг, хэрэв парабол тэнхлэгээс доош байвал " " тэмдэг авна.

Хэрэв функц нь тэгтэй (утгууд) байвал парабол нь тэнхлэгийг харгалзах квадрат тэгшитгэлийн үндэс гэсэн хоёр цэгээр огтолно. Тиймээс тэнхлэг нь гурван интервалд хуваагддаг бөгөөд язгуур тус бүрээр дамжин өнгөрөх үед функцын тэмдгүүд ээлжлэн өөрчлөгддөг.

Бүр парабол зурахгүйгээр ямар нэгэн байдлаар тэмдгүүдийг тодорхойлох боломжтой юу?

Квадрат гурвалсан тоог үржвэрлэх боломжтой гэдгийг санаарай.

Жишээлбэл: .

Тэнхлэг дээрх үндсийг тэмдэглэе.

Функцийн тэмдэг нь зөвхөн язгуураар дамжих үед л өөрчлөгдөж болно гэдгийг бид санаж байна. Энэ баримтыг ашиглацгаая: тэнхлэгийг үндэсээр хуваасан гурван интервал бүрийн хувьд зөвхөн дур зоргоороо сонгосон нэг цэг дээр функцийн тэмдгийг тодорхойлоход хангалттай: интервалын үлдсэн цэгүүдэд тэмдэг нь ижил байх болно. .

Бидний жишээнд: хаалтанд байгаа илэрхийлэл хоёулаа эерэг байна (орлуулах, жишээ нь:). Бид тэнхлэг дээр "" тэмдэг тавьдаг.

За, (жишээ нь орлуулах), хаалт хоёулаа сөрөг байвал бүтээгдэхүүн эерэг байна гэсэн үг:

Ийм л байна интервалын арга: интервал бүрийн хүчин зүйлсийн шинж тэмдгийг мэдэж, бид бүхэл бүтэн бүтээгдэхүүний тэмдгийг тодорхойлно.

Функцид тэг байхгүй эсвэл зөвхөн нэг байх тохиолдлуудыг бас авч үзье.

Хэрэв тэд байхгүй бол үндэс байхгүй болно. Энэ нь "үндсээр дамжин өнгөрөх" зүйл байхгүй гэсэн үг юм. Энэ нь функц нь бүх тооны мөрөнд зөвхөн нэг тэмдэг авна гэсэн үг юм. Үүнийг функц болгон орлуулах замаар амархан тодорхойлж болно.

Хэрэв зөвхөн нэг язгуур байвал парабол тэнхлэгт хүрдэг тул язгуураар дамжин өнгөрөх үед функцийн тэмдэг өөрчлөгдөхгүй. Ийм нөхцөл байдалд бид ямар дүрэм гаргаж болох вэ?

Хэрэв та ийм функцийг хүчин зүйлээр тооцвол хоёр ижил хүчин зүйл гарч ирнэ.

Мөн ямар ч квадрат илэрхийлэл нь сөрөг биш юм! Тиймээс функцийн тэмдэг өөрчлөгдөхгүй. Ийм тохиолдолд бид тэмдэг нь өөрчлөгдөөгүй үндсийг дөрвөлжин дугуйлснаар тодруулна.

Бид ийм язгуурыг олон тоо гэж нэрлэх болно.

Тэгш бус байдлын интервалын арга

Одоо ямар ч квадрат тэгш бус байдлыг парабол зурахгүйгээр шийдэж болно. Квадрат функцийн тэмдгүүдийг тэнхлэг дээр байрлуулж, тэгш бус байдлын тэмдгээс хамааран интервалуудыг сонгоход л хангалттай. Жишээлбэл:

Тэнхлэг дээрх үндсийг хэмжиж, тэмдгүүдийг байрлуулцгаая.

Бидэнд "" тэмдэг бүхий тэнхлэгийн хэсэг хэрэгтэй; тэгш бус байдал нь хатуу биш тул үндэс нь өөрөө шийдэлд багтсан болно.

Одоо оновчтой тэгш бус байдлыг авч үзье - тэгш бус байдал, хоёр тал нь оновчтой илэрхийлэл (харна уу).

Жишээ:

Нэгээс бусад бүх хүчин зүйлүүд энд "шугаман" байна, өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь зөвхөн нэгдүгээр зэрэглэлийн хувьсагчийг агуулна. Интервалын аргыг хэрэглэхийн тулд бидэнд ийм шугаман хүчин зүйлс хэрэгтэй - тэдгээрийн үндэсээр дамжин өнгөрөх үед тэмдэг өөрчлөгддөг. Гэвч үржүүлэгч нь огт үндэсгүй. Энэ нь үргэлж эерэг байдаг (үүнийг өөрөө шалгаарай), тиймээс бүхэл тэгш бус байдлын шинж тэмдэгт нөлөөлөхгүй гэсэн үг юм. Энэ нь тэгш бус байдлын зүүн ба баруун талыг түүгээр хувааж, үүнээс ангижрах боломжтой гэсэн үг юм.

Одоо бүх зүйл квадрат тэгш бус байдлын адил байна: хүчин зүйлүүд тус бүр нь ямар цэгүүдэд тэг болохыг тодорхойлж, тэнхлэг дээр эдгээр цэгүүдийг тэмдэглэж, тэмдгүүдийг байрлуулна. Би маш чухал баримтад таны анхаарлыг хандуулахыг хүсч байна:

Хариулт: . Жишээ нь: .

Интервалын аргыг хэрэглэхийн тулд тэгш бус байдлын аль нэг хэсэг нь байх ёстой. Тиймээс баруун талыг зүүн тийш шилжүүлье:

Тоолуур ба хуваагч ижил хүчин зүйлтэй боловч үүнийг багасгах гэж бүү яар! Эцсийн эцэст бид энэ цэгийг тодруулахаа мартаж магадгүй юм. Энэ үндсийг олон тоогоор тэмдэглэх нь дээр, өөрөөр хэлбэл түүгээр дамжин өнгөрөхөд тэмдэг өөрчлөгдөхгүй.

Хариулт: .

Бас нэг маш тод жишээ:

Дахин хэлэхэд, бид тоологч болон хуваагчийн ижил хүчин зүйлийг цуцлахгүй, учир нь хэрэв тэгвэл бид цэгийг цоолохыг онцгойлон санах хэрэгтэй болно.

• : давтагдсан удаа;
• : удаа;
• : удаа (тоолох хэсэгт, нэг хуваарьт).

Тэгш тооны хувьд бид өмнөхтэй адил зүйлийг хийдэг: бид цэгийг квадратаар дугуйлж, үндсийг дамжин өнгөрөхдөө тэмдгийг өөрчлөхгүй. Гэхдээ сондгой тооны хувьд энэ дүрэм хамаарахгүй: үндэс дамжин өнгөрөх үед тэмдэг өөрчлөгдөнө. Тиймээс бид ийм язгуураар олон тооны биш юм шиг нэмэлт зүйл хийдэггүй. Дээрх дүрмүүд тэгш, сондгой бүх хүчинд хамаарна.

Хариултанд бид юу бичих ёстой вэ?

Хэрэв тэмдгүүдийн ээлжийг зөрчсөн бол та маш болгоомжтой байх хэрэгтэй, учир нь тэгш бус байдал нь хатуу биш бол хариулт нь дараахь зүйлийг агуулна. бүх сүүдэрлэсэн цэгүүд. Гэхдээ тэдний зарим нь ихэвчлэн тусдаа байдаг, өөрөөр хэлбэл сүүдэрт багтдаггүй. Энэ тохиолдолд бид тэдгээрийг хариултанд тусгаарлагдсан цэг болгон нэмнэ (буржгар хаалтанд):

Жишээ (өөрөө шийднэ үү):

Хариултууд:

1. Хэрэв хүчин зүйлүүдийн дунд энэ нь энгийн байвал энэ нь үндэс юм, учир нь үүнийг төлөөлж болно.
   .

ИНТЕРВАЛИЙН АРГА. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН

Интервалын аргыг оновчтой тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг. Энэ нь янз бүрийн интервал дахь хүчин зүйлийн шинж тэмдгүүдээс бүтээгдэхүүний шинж тэмдгийг тодорхойлоход оршино.

Интервалын аргыг ашиглан рационал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алгоритм.

• Бид бүх зүйлийг зүүн тал руу шилжүүлж, баруун талд нь зөвхөн тэгийг үлдээдэг;
• Бид ODZ-ийг олдог;
• Бид тэгш бус байдлын бүх үндсийг тэнхлэг дээр зурдаг;
• Бид аль нэг интервалаас дурын нэгийг авч, язгуур хамаарах интервал дахь тэмдгийг тодорхойлж, тэгш бус байдалд хэд хэдэн удаа давтагдаж буй язгууруудад анхаарлаа хандуулж, тэмдгүүдийг ээлжлэн солино; тэдгээрийн дундуур өнгөрөх үед тэмдэг өөрчлөгдөх эсэхээс хамаарна. давтагдах эсвэл давтагдахгүй тооны тэгш, сондгой байдлын талаар;
• Үүний хариуд бид цоорсон болон цоороогүй цэгүүдийг ажиглаж интервал бичиж (ODZ-ийг үз), тэдгээрийн хооронд шаардлагатай төрлийн хаалтуудыг байрлуулна.

За ингээд сэдэв дууслаа. Хэрэв та эдгээр мөрүүдийг уншиж байгаа бол энэ нь таныг маш дажгүй гэсэн үг юм.

Учир нь хүмүүсийн ердөө 5% нь өөрөө ямар нэг зүйлийг эзэмших чадвартай байдаг. Хэрэв та дуустал уншсан бол та энэ 5% -д байна!

Одоо хамгийн чухал зүйл.

Та энэ сэдвээр онолыг ойлгосон. Би давтан хэлье, энэ бол үнэхээр гайхалтай! Та үе тэнгийнхнийхээ дийлэнх олонхоос аль хэдийн илүү болсон.

Асуудал нь энэ нь хангалтгүй байж магадгүй юм ...

Юуны төлөө?

Улсын нэгдсэн шалгалтыг амжилттай өгч, их, дээд сургуульд төсвөөр элссэнийхээ төлөө, ХАМГИЙН ЧУХАЛ насан туршдаа.

Би чамайг юунд ч итгүүлэхгүй, би нэг л зүйлийг хэлье...

Сайн боловсрол эзэмшсэн хүмүүс сураагүй хүмүүсээс хамаагүй их цалин авдаг. Энэ бол статистик.

Гэхдээ энэ нь гол зүйл биш юм.

Хамгийн гол нь тэд ИЛҮҮ АЗ ЖАРГАЛТАЙ байдаг (ийм судалгаанууд байдаг). Магадгүй тэдний өмнө олон боломжууд нээгдэж, амьдрал илүү гэрэл гэгээтэй болж байгаа юм болов уу? Мэдэхгүй...

Гэхдээ өөрийнхөөрөө бод...

Улсын нэгдсэн шалгалтанд бусдаас илүү байж, эцэст нь... аз жаргалтай байхын тулд юу хэрэгтэй вэ?

ЭНЭ СЭДВИЙН АСУУДЛЫГ ШИЙДВЭРЭЭР ГАРАА АВНА.

Шалгалтын үеэр танаас онол асуухгүй.

Танд хэрэгтэй болно цаг хугацааны эсрэг асуудлыг шийдвэрлэх.

Хэрэв та тэдгээрийг шийдэж амжаагүй бол (МАШ ИХ!) Та хаа нэгтээ тэнэг алдаа гаргах нь гарцаагүй, эсвэл зүгээр л цаг зав гарахгүй.

Энэ нь спорттой адил юм - баттай ялахын тулд та үүнийг олон удаа давтах хэрэгтэй.

Хүссэн газраасаа цуглуулгаа олоорой зайлшгүй шийдэл, нарийвчилсан дүн шинжилгээ хийхмөн шийд, шийд, шийд!

Та бидний даалгавруудыг (заавал биш) ашиглаж болно, бид мэдээж санал болгож байна.

Бидний даалгавруудыг илүү сайн ашиглахын тулд та одоо уншиж байгаа YouClever сурах бичгийн ашиглалтын хугацааг уртасгахад туслах хэрэгтэй.

Хэрхэн? Хоёр сонголт байна:

1. Энэ нийтлэл дэх бүх далд ажлуудын түгжээг тайлах -
2. Сурах бичгийн бүх 99 өгүүлэлд байгаа бүх далд даалгавруудыг нээх Сурах бичиг худалдаж аваарай - 499 рубль

Тийм ээ, бидний сурах бичигт ийм 99 өгүүлэл байгаа бөгөөд бүх даалгавар, тэдгээрт байгаа бүх далд текстийг шууд нээх боломжтой.

Бүх далд даалгаврууд руу нэвтрэх эрхийг сайтын ашиглалтын хугацаанд олгодог.

Дүгнэж хэлэхэд...

Хэрэв танд бидний даалгавар таалагдахгүй бол бусдыг хайж олоорой. Зөвхөн онол дээр бүү зогс.

“Ойлголоо”, “Би шийдэж чадна” гэдэг бол огт өөр чадвар юм. Танд хоёулаа хэрэгтэй.

Асуудлыг хайж олоод шийдээрэй!

Эрт дээр үеэс практик асуудлыг шийдвэрлэхдээ хэмжигдэхүүн, хэмжигдэхүүнийг харьцуулах шаардлагатай байсан. Үүний зэрэгцээ нэг төрлийн хэмжигдэхүүнийг харьцуулах үр дүнг илэрхийлсэн их ба бага, өндөр ба бага, хөнгөн ба хүнд, чимээгүй ба чанга, хямд ба илүү үнэтэй гэх мэт үгс гарч ирэв.

Илүү бага гэсэн ойлголтууд объектыг тоолох, хэмжигдэхүүнийг хэмжих, харьцуулахтай холбоотойгоор үүссэн. Жишээлбэл, Эртний Грекийн математикчид аливаа гурвалжны тал нь нөгөө хоёр талын нийлбэрээс бага, том тал нь гурвалжны том өнцгийн эсрэг байрладаг гэдгийг мэддэг байсан. Архимед тойргийг тооцоолохдоо ямар ч тойргийн периметр нь диаметрийн долооны нэгээс бага, харин арав дахин их диаметртэй диаметрээс гурав дахин их хэмжээтэй тэнцүү болохыг тогтоожээ.

Тоо ба хэмжигдэхүүний хоорондын хамаарлыг > ба b тэмдгээр бэлгэдлээр бич. Хоёр тоог аль нэг тэмдгээр холбосон бичлэгүүд: > (илүү их), Та мөн доод ангиудад тоон тэгш бус байдалтай тулгарсан. Тэгш бус байдал нь үнэн ч байж болно, худал ч байж болно гэдгийг та мэднэ. Жишээлбэл, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) нь зөв тоон тэгш бус байдал, 0.23 > 0.235 нь буруу тоон тэгш бус байдал юм.

Үл мэдэгдэх зүйлстэй холбоотой тэгш бус байдал нь үл мэдэгдэх утгын зарим утгын хувьд үнэн, бусад нь худал байж болно. Жишээ нь: 2x+1>5 тэгш бус байдал x = 3-ийн хувьд үнэн, харин x = -3-ийн хувьд худал байна. Нэг үл мэдэгдэх тэгш бус байдлын хувьд та даалгаврыг тавьж болно: тэгш бус байдлыг шийдэх. Практикт тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх асуудлуудыг тэгшитгэлийг шийдэх асуудлаас багагүй олон удаа тавьж, шийддэг. Жишээлбэл, шугаман тэгш бус байдлын системийг судлах, шийдвэрлэхэд эдийн засгийн олон асуудал гардаг. Математикийн олон салбарт тэгш бус байдал нь тэгшитгэлээс илүү түгээмэл байдаг.

Зарим тэгш бус байдал нь тодорхой объект, жишээлбэл, тэгшитгэлийн үндэс оршин байгааг батлах эсвэл үгүйсгэх цорын ганц туслах хэрэгсэл болдог.

Тоон тэгш бус байдал

Та бүхэл тоо болон аравтын бутархайг харьцуулж болно. Ижил хуваагчтай боловч өөр өөр тоотой энгийн бутархайг харьцуулах дүрмийг мэдэх; ижил тоологчтой боловч өөр хуваагчтай. Эндээс та дурын хоёр тоог ялгах тэмдгийг олох замаар харьцуулж сурах болно.

Тоонуудыг харьцуулах нь практикт өргөн хэрэглэгддэг. Жишээлбэл, эдийн засагч төлөвлөсөн үзүүлэлтүүдийг бодит үзүүлэлттэй харьцуулдаг, эмч өвчтөний температурыг хэвийн, токарь нь боловсруулсан эд ангиудын хэмжээсийг стандарттай харьцуулдаг. Ийм бүх тохиолдолд зарим тоог харьцуулдаг. Тоонуудыг харьцуулах үр дүнд тоон тэгш бус байдал үүсдэг.

Тодорхойлолт. a-b зөрүү эерэг байвал a тоо b тооноос их байна. a-b зөрүү сөрөг байвал a тоо b тооноос бага байна.

Хэрэв a b-ээс их бол тэд бичнэ: a > b; хэрэв a нь b-ээс бага бол тэд бичнэ: a Тиймээс, a > b тэгш бус байдал нь a - b ялгаа эерэг, өөрөөр хэлбэл. a - b > 0. Тэгш бус байдал a Дурын хоёр a ба b тооны хувьд дараах гурван хамаарлаас a > b, a = b, a a ба b тоог харьцуулна гэдэг нь >, = эсвэл аль тэмдгийг олохыг хэлнэ. Теорем.Хэрэв a > b ба b > c байвал a > c.

Теорем.Хэрэв тэгш бус байдлын хоёр талд ижил тоог нэмбэл тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөхгүй.
Үр дагавар.Энэ нэр томьёоны тэмдгийг эсрэгээр нь өөрчилснөөр ямар ч нэр томъёог тэгш бус байдлын нэг хэсгээс нөгөө рүү шилжүүлж болно.

Теорем.Хэрэв тэгш бус байдлын хоёр талыг ижил эерэг тоогоор үржүүлбэл тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөхгүй. Хэрэв тэгш бус байдлын хоёр талыг ижил сөрөг тоогоор үржүүлбэл тэгш бус байдлын тэмдэг эсрэгээр өөрчлөгдөнө.
Үр дагавар.Хэрэв тэгш бус байдлын хоёр талыг ижил эерэг тоонд хуваавал тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөхгүй. Хэрэв тэгш бус байдлын хоёр тал ижил сөрөг тоонд хуваагдвал тэгш бус байдлын тэмдэг эсрэгээр өөрчлөгдөнө.

Тоон тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмж, үржүүлж болдог гэдгийг та мэднэ. Дараа нь та тэгш бус байдалтай ижил төстэй үйлдлүүдийг хэрхэн хийхийг сурах болно. Практикт тэгш бус байдлыг нэр томъёогоор нэмэх, үржүүлэх чадварыг ихэвчлэн ашигладаг. Эдгээр үйлдлүүд нь илэрхийллийн утгыг үнэлэх, харьцуулах асуудлыг шийдвэрлэхэд тусалдаг.

Төрөл бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ тэгш бус байдлын зүүн ба баруун талыг гишүүнээр нь нэмэх буюу үржүүлэх шаардлагатай байдаг. Үүний зэрэгцээ тэгш бус байдал нь нийлбэр эсвэл үрждэг гэж заримдаа хэлдэг. Жишээлбэл, жуулчин эхний өдөр 20 гаруй км, хоёр дахь өдөр 25 гаруй км алхсан бол хоёр өдрийн дотор 45 гаруй км алхсан гэж хэлж болно. Үүний нэгэн адил тэгш өнцөгтийн урт нь 13 см-ээс бага, өргөн нь 5 см-ээс бага бол энэ тэгш өнцөгтийн талбай нь 65 см2-ээс бага гэж хэлж болно.

Эдгээр жишээг авч үзэхдээ дараахь зүйлийг ашигласан болно. Тэгш бус байдлыг нэмэх ба үржүүлэх теоремууд:

Теорем.Ижил тэмдгийн тэгш бус байдлыг нэмэх үед ижил тэмдгийн тэгш бус байдлыг олж авна: хэрэв a > b ба c > d бол a + c > b + d.

Теорем.Зүүн ба баруун тал нь эерэг ижил тэмдгийн тэгш бус байдлыг үржүүлэхэд ижил тэмдгийн тэгш бус байдал гарна: хэрэв a > b, c > d ба a, b, c, d эерэг тоо бол ac > bd.

> (илүү) тэмдэгтэй тэгш бус байдал ба 1/2, 3/4 b, c Хатуу тэгш бус байдлын тэмдгүүдийн хамт > ба Үүний нэгэн адил тэгш бус байдал нь \(a \geq b \) нь a тоо байна гэсэн үг юм. b-ээс их буюу тэнцүү, өөрөөр хэлбэл .ба бага биш b.

\(\geq \) тэмдэг эсвэл \(\leq \) тэмдгийг агуулсан тэгш бус байдлыг хатуу бус гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) нь хатуу тэгш бус байдал биш юм.

Хатуу тэгш бус байдлын бүх шинж чанарууд нь хатуу бус тэгш бус байдлын хувьд ч хүчинтэй байдаг. Түүгээр ч барахгүй хатуу тэгш бус байдлын хувьд > тэмдгүүдийг эсрэгээр нь авч үзсэн бөгөөд хэд хэдэн хэрэглээний асуудлыг шийдэхийн тулд та тэгшитгэл эсвэл тэгшитгэлийн систем хэлбэрээр математик загварыг бий болгох хэрэгтэй гэдгийг мэддэг. Дараа нь та олон асуудлыг шийдвэрлэх математик загварууд нь үл мэдэгдэх тэгш бус байдал гэдгийг мэдэх болно. Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх тухай ойлголтыг танилцуулж, өгөгдсөн тоо нь тодорхой тэгш бус байдлын шийдэл мөн эсэхийг хэрхэн шалгахыг үзүүлнэ.

Маягтын тэгш бус байдал
\(ax > b, \quad ax, a ба b тоо өгөгдсөн, x нь үл мэдэгдэх тоонуудыг гэнэ. нэг үл мэдэгдэх шугаман тэгш бус байдал.

Тодорхойлолт.Нэг үл мэдэгдэх тэгш бус байдлын шийдэл нь үл мэдэгдэхийн утга бөгөөд энэ тэгш бус байдал нь жинхэнэ тоон тэгш бус байдал болно. Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх нь түүний бүх шийдлийг олох эсвэл байхгүй гэдгийг тогтоох гэсэн үг юм.

Та тэгшитгэлийг хамгийн энгийн тэгшитгэл болгон багасгаж шийдсэн. Үүний нэгэн адил тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ шинж чанарыг ашиглан энгийн тэгш бус байдлын хэлбэрт оруулахыг оролддог.

Нэг хувьсагчтай хоёрдугаар зэргийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх

Маягтын тэгш бус байдал
\(ax^2+bx+c >0 \) ба \(ax^2+bx+c энд x нь хувьсагч, a, b ба c нь зарим тоо бөгөөд \(a \neq 0 \) гэж нэрлэдэг. нэг хувьсагчтай хоёрдугаар зэргийн тэгш бус байдал.

Тэгш бус байдлын шийдэл
\(ax^2+bx+c >0 \) эсвэл \(ax^2+bx+c нь \(y= ax^2+bx+c \) функц эерэг эсвэл сөрөг авах интервалыг олох гэж үзэж болно. утгууд Үүнийг хийхийн тулд \(y= ax^2+bx+c\) функцийн график координатын хавтгайд хэрхэн байрлаж байгааг шинжлэхэд хангалттай: параболын мөчрүүд хаана - дээш эсвэл доош чиглэсэн байна. парабол х тэнхлэгтэй огтлолцдог бөгөөд хэрвээ огтлолцсон бол ямар цэгүүд дээр.

Нэг хувьсагчтай хоёрдугаар зэргийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алгоритм:
1) дөрвөлжин гурвалсан гишүүний ялгагчийг \(ax^2+bx+c\) олж, гурвалсан гишүүн үндэстэй эсэхийг олох;
2) хэрэв гурвалсан үсэг нь үндэстэй бол тэдгээрийг x тэнхлэг дээр тэмдэглээд, тэмдэглэсэн цэгүүдээр нь бүдүүвчилсэн параболыг зурж, салаа нь > 0-ийн хувьд дээш, 0-ийн хувьд доош, 3-ын доод талд байрладаг. x тэнхлэг дээрх параболууд нь x тэнхлэгээс дээш (хэрэв тэдгээр нь \(ax^2+bx+c >0\) тэгш бус байдлыг шийдвэл) эсвэл x тэнхлэгийн доор (хэрэв тэдгээр нь дараахийг шийдвэл) байрлах интервалуудыг ол. тэгш бус байдал
\(ax^2+bx+c Интервалын аргыг ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх

Функцийг авч үзье
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Энэ функцийн домэйн нь бүх тооны олонлог юм. Функцийн тэг нь -2, 3, 5 тоонууд юм. Тэд функцийн тодорхойлолтын мужийг \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; () интервалд хуваадаг. 3; 5) \) ба \( (5; +\infty)\)

Заасан интервал бүрт энэ функцын шинж тэмдгүүд юу болохыг олж мэдье.

(x + 2)(x - 3)(x - 5) илэрхийлэл нь гурван хүчин зүйлийн үржвэр юм. Эдгээр хүчин зүйл бүрийн тэмдэглэгээг авч үзэх интервал дахь хүснэгтэд үзүүлэв.

Ерөнхийдөө функцийг томъёогоор өгье
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
Энд x нь хувьсагч, x 1, x 2, ..., x n нь хоорондоо тэнцүү биш тоонууд юм. x 1 , x 2 , ..., x n тоонууд нь функцийн тэг юм. Тодорхойлолтын мужийг функцийн тэгээр хуваах интервал бүрт функцийн тэмдэг хадгалагдаж, тэгээр дамжих үед түүний тэмдэг өөрчлөгддөг.

Энэ шинж чанарыг хэлбэрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) энд x 1, x 2, ..., x n нь хоорондоо тэнцүү биш тоонууд юм.

Үзсэн арга тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх аргыг интервалын арга гэнэ.

Интервалын аргыг ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх жишээг өгье.

Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх:

Бид тооны тэнхлэг дээр функцийн тэгийг зурж, интервал бүр дээр тэмдгийг тооцоолно.

Функц тэгээс бага буюу тэнцүү байх интервалуудыг бид сонгож хариултыг бичнэ.

Хариулт:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \аяга \left[ 4; \; +\infty \баруун) \)

Интервалын аргаЭнэ нь сургуулийн алгебрийн хичээл дээр гарч буй бараг бүх тэгш бус байдлыг шийдэх бүх нийтийн арга юм. Энэ нь функцүүдийн дараах шинж чанарууд дээр суурилдаг.

1. Үргэлжилсэн функц g(x) нь зөвхөн 0-тэй тэнцэх цэг дээр тэмдэгээ өөрчилж болно. Графикаар энэ нь тасралтгүй функцийн график х-тэй огтлолцоход л нэг хагас хавтгайгаас нөгөөд шилжих боломжтой гэсэн үг юм. -тэнхлэг (OX тэнхлэг (абсцисса тэнхлэг) дээр байрлах аливаа цэгийн ординат нь тэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл энэ цэг дэх функцийн утга 0-тэй тэнцүү гэдгийг бид санаж байна):

График дээр үзүүлсэн y=g(x) функц нь OX тэнхлэгийг x= -8, x=-2, x=4, x=8 цэгүүдээр огтолж байгааг бид харж байна. Эдгээр цэгүүдийг функцийн тэг гэж нэрлэдэг. Мөн ижил цэгүүдэд g(x) функц тэмдэг өөрчлөгддөг.

2. Функц нь хуваагчийн тэг дэх тэмдгийг өөрчлөх боломжтой - хамгийн энгийн жишээ бол сайн мэддэг функц юм:

Функц нь хуваарийн үндэс, цэг дээр тэмдэгээ өөрчилдөг боловч аль ч цэгт алга болдоггүйг бид харж байна. Тиймээс хэрэв функц нь бутархайг агуулж байвал хуваагчийн язгуур дээрх тэмдгийг өөрчилж болно.

2. Гэсэн хэдий ч функц нь тоологчийн язгуур эсвэл хувагчийн язгуурын тэмдгийг үргэлж өөрчилдөггүй. Жишээлбэл, y=x 2 функц нь x=0 цэгийн тэмдгийг өөрчлөхгүй.

Учир нь x 2 =0 тэгшитгэл нь хоёр тэнцүү язгууртай x=0, x=0 цэгт функц 2 удаа 0 болж хувирах шиг байна.Ийм язгуурыг хоёр дахь үржвэрийн үндэс гэнэ.

Чиг үүрэг тоологчийн тэг дэх тэмдгийг өөрчилдөг, харин хувагчийн тэг дэх тэмдгийг өөрчилдөггүй: , язгуур нь хоёр дахь үржвэрийн, өөрөөр хэлбэл тэгш үржлийн үндэс учир:

Чухал! Тэгш олон тооны язгуурт функц тэмдэг өөрчлөгддөггүй.

Анхаар! Ямар ч шугаман бусСургуулийн алгебрийн хичээлийн тэгш бус байдлыг ихэвчлэн интервалын аргыг ашиглан шийддэг.

Би танд нарийвчилсан нэгийг санал болгож байна, үүний дараа та алдаа гаргахаас зайлсхийх боломжтой шугаман бус тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх.

1. Эхлээд тэгш бус байдлыг хэлбэрт оруулах хэрэгтэй

P(x)V0,

V нь тэгш бус байдлын тэмдэг:<,>,≤ эсвэл ≥. Үүнийг хийхийн тулд танд хэрэгтэй:

a) бүх гишүүнийг тэгш бус байдлын зүүн тал руу шилжүүлэх;

б) үүссэн илэрхийллийн үндсийг олох;

в) тэгш бус байдлын зүүн талын хүчин зүйл

г) ижил хүчин зүйлсийг эрх мэдэл гэж бичнэ.

Анхаар!Үндэсийн олон талт алдаа гаргахгүйн тулд хамгийн сүүлийн алхамыг хийх ёстой - хэрэв үр дүн нь тэгш хүчин чадалтай үржүүлэгч бол харгалзах үндэс нь тэгш үржвэртэй байна.

2. Олдсон язгууруудыг тооны тэнхлэгт зур.

3. Хэрэв тэгш бус байдал хатуу байвал тооны тэнхлэг дээрх язгуурыг заасан дугуйг "хоосон", тэгш бус байдал нь хатуу биш бол дугуйг бөглөнө.

4. Бид тэгш олон янзын үндэсийг сонгодог - тэдгээрийн дотор P(x)тэмдэг өөрчлөгдөхгүй.

5. Тэмдгийг тодорхойл P(x)хамгийн баруун талын завсар дээр. Үүнийг хийхийн тулд том язгуураас их x 0 гэсэн дурын утгыг авч, үүнийг орлуул. P(x).

Хэрэв P(x 0)>0 (эсвэл ≥0) бол хамгийн баруун талын зайд "+" тэмдэг тавина.

Хэрэв P(x 0) бол<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".

Тэгш олон үржихүйн язгуурыг зааж буй цэгээр дамжин өнгөрөхөд тэмдэг ӨӨРЧЛӨХГҮЙ.

7. Дахин нэг удаа бид анхны тэгш бус байдлын тэмдгийг харж, шаардлагатай тэмдгийн интервалуудыг сонгоно.

8. Анхаар! Хэрэв бидний тэгш бус байдал ХАТУУ БИШ бол бид тэгийн тэгш байдлын нөхцлийг тусад нь шалгана.

9. Хариултаа бичнэ үү.

Хэрэв эх хувь тэгш бус байдал нь хуваарьт үл мэдэгдэхийг агуулна, дараа нь бид мөн бүх нэр томъёог зүүн тийш шилжүүлж, тэгш бус байдлын зүүн талыг хэлбэр болгон бууруулна

(Үүнд V нь тэгш бус байдлын тэмдэг:< или >)

Энэ төрлийн хатуу тэгш бус байдал нь тэгш бус байдалтай тэнцэнэ

Хатуу бишхэлбэрийн тэгш бус байдал

тэнцүү систем:

Практикт хэрэв функц нь хэлбэртэй байвал бид дараах байдлаар ажиллана.

1. Тоолуур ба хувагчийн үндсийг ол.
2. Бид тэдгээрийг тэнхлэгт хэрэглэнэ. Бүх тойргийг хоосон орхи. Дараа нь, хэрэв тэгш бус байдал нь хатуу биш бол бид тоологчийн үндсийг будаж, хуваагчийн үндсийг үргэлж хоосон үлдээдэг.
3. Дараа нь бид ерөнхий алгоритмыг дагаж мөрддөг.
4. Бид тэгш үржвэрийн үндсийг сонгодог (хэрэв тоологч ба хуваагч нь ижил язгуурыг агуулж байвал ижил үндэс хэдэн удаа тохиолдохыг тоолно). Бүр олон тооны үндэст тэмдэг нь өөрчлөгддөггүй.
5. Бид хамгийн баруун талын цоорхой дээрх тэмдгийг олдог.
6. Бид тэмдэг тавьж байна.
7. Хатуу бус тэгш бус байдлын хувьд бид тэгш байдлын нөхцөл ба тэг хүртэлх тэгш байдлын нөхцөлийг тус тусад нь шалгадаг.
8. Бид шаардлагатай цоорхой, бие даасан үндэсийг сонгоно.
9. Бид хариултаа бичнэ.

Илүү сайн ойлгохын тулд интервалын аргыг ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алгоритм, жишээг дэлгэрэнгүй тайлбарласан ВИДЕО СУРГАЛТ-ыг үзнэ үү Интервалын аргыг ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх.