Ердийн гурвалжин пирамидын гадаргуугийн талбайг ол. Пирамидын талбайг хэрхэн тооцоолох вэ: суурь, тал, нийт

Энэхүү геометрийн дүрс ба түүний шинж чанарын талаархи асуултуудыг судлахаасаа өмнө зарим нэр томъёог ойлгох хэрэгтэй. Пирамидын тухай сонссон хүн Египетийн асар том барилгуудыг төсөөлдөг. Хамгийн энгийн нь иймэрхүү харагдаж байна. Гэхдээ тэдгээр нь янз бүрийн хэлбэр, хэлбэртэй байдаг бөгөөд энэ нь геометрийн дүрсийг тооцоолох томъёо нь өөр байх болно гэсэн үг юм.

Пирамид - геометрийн дүрс, хэд хэдэн нүүр царайг илэрхийлж, төлөөлдөг. Үндсэндээ энэ бол ижил олон өнцөгт хэлбэртэй бөгөөд түүний суурь дээр олон өнцөгт байрладаг бөгөөд талууд дээр нэг цэг дээр холбодог гурвалжин байдаг - орой. Зураг нь хоёр үндсэн төрлөөр ирдэг:

• зөв;
• тайрсан.

Эхний тохиолдолд суурь нь ердийн олон өнцөгт юм. Энд бүх хажуугийн гадаргуу тэнцүү байнаӨөрсдийнхөө хооронд болон дүр төрх нь төгс төгөлдөр хүний ​​​​нүдэнд таалагдах болно.

Хоёрдахь тохиолдолд хоёр суурь байдаг - хамгийн доод талд нь том, дээд талынх нь хооронд жижиг, голын хэлбэрийг давтана. Өөрөөр хэлбэл, таслагдсан пирамид нь суурьтай параллель үүссэн хөндлөн огтлолтой олон өнцөгт юм.

Нэр томъёо, тэмдэг

Гол нэр томъёо:

• Тогтмол (тэнцүү талт) гурвалжин- гурван тэнцүү өнцөгтэй, тэнцүү талуудтай дүрс. Энэ тохиолдолд бүх өнцөг нь 60 градус байна. Зураг нь ердийн олон талтуудын хамгийн энгийн зураг юм. Хэрэв энэ зураг суурь дээр байгаа бол ийм олон өнцөгтийг ердийн гурвалжин гэж нэрлэнэ. Хэрэв суурь нь дөрвөлжин бол пирамидыг ердийн дөрвөлжин пирамид гэж нэрлэнэ.
• Орой– ирмэгүүдийн нийлдэг хамгийн өндөр цэг. Оройн өндөр нь оройгоос пирамидын суурь хүртэл үргэлжилсэн шулуун шугамаар үүсгэгддэг.
• Ирмэг– олон өнцөгтийн хавтгайнуудын нэг. Энэ нь гурвалжин пирамидын хувьд гурвалжин хэлбэртэй, эсвэл таслагдсан пирамидын хувьд трапец хэлбэртэй байж болно.
• Хэсэг- задралын үр дүнд үүссэн хавтгай дүрс. Хэсэг нь тухайн хэсгийн ард юу байгааг харуулдаг тул үүнийг хэсэгтэй андуурч болохгүй.
• Апотем- пирамидын оройноос суурь хүртэл зурсан сегмент. Энэ нь мөн хоёр дахь өндрийн цэг байрладаг нүүрний өндөр юм. Энэ тодорхойлолт нь зөвхөн ердийн олон өнцөгттэй холбоотой юм. Жишээлбэл, хэрэв энэ нь таслагдсан пирамид биш бол нүүр нь гурвалжин болно. Энэ тохиолдолд энэ гурвалжны өндөр нь апотем болно.

Талбайн томъёо

Пирамидын хажуугийн гадаргууг олямар ч төрлийг хэд хэдэн аргаар хийж болно. Хэрэв зураг нь тэгш хэмтэй биш бөгөөд өөр өөр талуудтай олон өнцөгт хэлбэртэй бол энэ тохиолдолд гадаргуугийн нийт талбайг бүх гадаргуугийн нийлбэрээр тооцоолоход хялбар болно. Өөрөөр хэлбэл, та нүүр бүрийн талбайг тооцоолж, тэдгээрийг нэгтгэх хэрэгтэй.

Ямар параметрүүд мэдэгдэж байгаагаас хамааран квадрат, трапец, дурын дөрвөлжин гэх мэтийг тооцоолох томъёо шаардлагатай байж болно. Өөр өөр тохиолдолд томъёонууд өөрсдөөбас ялгаа байх болно.

Тогтмол дүрсийн хувьд талбайг олох нь илүү хялбар байдаг. Хэд хэдэн үндсэн параметрүүдийг мэдэхэд л хангалттай. Ихэнх тохиолдолд ийм тоонуудын хувьд тусгайлан тооцоолол хийх шаардлагатай байдаг. Тиймээс холбогдох томъёог доор өгөв. Үгүй бол та бүх зүйлийг хэд хэдэн хуудсан дээр бичих хэрэгтэй бөгөөд энэ нь таныг төөрөлдүүлж, төөрөлдүүлэх болно.

Тооцооллын үндсэн томъёоЕрдийн пирамидын хажуугийн гадаргуу нь дараах хэлбэртэй байна.

S=½ Па (P нь суурийн периметр, ба апотем)

Нэг жишээг харцгаая. Полиэдр нь A1, A2, A3, A4, A5 сегментүүдтэй суурьтай бөгөөд тэдгээр нь бүгд 10 см-тэй тэнцүү байна. Апотем 5 см-тэй тэнцүү байна. Эхлээд та периметрийг олох хэрэгтэй. Суурийн бүх таван нүүр нь адилхан тул та үүнийг дараах байдлаар олж болно: P = 5 * 10 = 50 см Дараа нь бид үндсэн томъёог хэрэглэнэ: S = ½ * 50 * 5 = 125 см квадрат.

Ердийн гурвалжин пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайтооцоолоход хамгийн хялбар. Томъёо дараах байдалтай байна.

S =½* ab *3, энд a нь үгийн тэмдэг, b нь суурийн нүүр юм. Гуравын хүчин зүйл нь суурийн нүүрний тоог илэрхийлдэг бөгөөд эхний хэсэг нь хажуугийн гадаргуугийн талбай юм. Нэг жишээ авч үзье. 5 см, суурийн ирмэг нь 8 см хэмжээтэй дүрс өгөгдсөн. Бид тооцоолно: S = 1/2*5*8*3=60 см квадрат.

Таслагдсан пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайТооцоолоход арай хэцүү. Томъёо нь дараах байдалтай харагдана: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, энд p_01 ба p_02 нь суурийн периметр бөгөөд апотем юм. Нэг жишээ авч үзье. Дөрвөн өнцөгт хэлбэрийн хувьд суурийн хажуугийн хэмжээс нь 3 ба 6 см, тэмдэг нь 4 см байна гэж бодъё.

Энд эхлээд суурийн периметрийг олох хэрэгтэй: р_01 =3*4=12 см; р_02=6*4=24 см.Үндсэн томъёонд утгуудыг орлуулахад үлдэж, бид дараахийг авна: S =1/2*(12+24)*4=0.5*36*4=72 см квадрат.

Тиймээс та ямар ч нарийн төвөгтэй энгийн пирамидын хажуугийн гадаргууг олох боломжтой. Та болгоомжтой байж, төөрөгдүүлэхгүй байх хэрэгтэйЭдгээр тооцоог бүхэл бүтэн олон өнцөгтийн нийт талбайтай хамт хийнэ. Хэрэв та үүнийг хийх шаардлагатай хэвээр байгаа бол олон өнцөгтийн хамгийн том суурийн талбайг тооцоолж, олон өнцөгтийн хажуугийн гадаргуугийн талбайд нэмнэ үү.

Видео

Энэ видео нь янз бүрийн пирамидын хажуугийн гадаргууг хэрхэн олох талаархи мэдээллийг нэгтгэхэд тусална.

Асуултынхаа хариуг аваагүй юу? Зохиогчид сэдвийг санал болгох.

Зааварчилгаа

Юуны өмнө пирамидын хажуугийн гадаргууг хэд хэдэн гурвалжингаар төлөөлдөг гэдгийг ойлгох нь зүйтэй бөгөөд тэдгээрийн талбайг мэдэгдэж буй өгөгдлөөс хамааран янз бүрийн томъёог ашиглан олж болно.

S = (a*h)/2, энд h нь а тал руу буулгасан өндөр;

S = a*b*sinβ, энд a, b нь гурвалжны талууд, β нь эдгээр талуудын хоорондох өнцөг;

S = (r*(a + b + c))/2, энд a, b, c нь гурвалжны талууд, r нь энэ гурвалжинд сийлсэн тойргийн радиус;

S = (a*b*c)/4*R, энд R нь тойргийг тойрсон гурвалжны радиус;

S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (хэрэв гурвалжин тэгш өнцөгт байвал);

S = S = (a²*√3)/4 (хэрэв гурвалжин тэгш талт бол).

Үнэн хэрэгтээ эдгээр нь гурвалжны талбайг олох хамгийн үндсэн мэдэгдэж буй томъёо юм.

Дээрх томъёог ашиглан пирамидын нүүр царай болох бүх гурвалжны талбайг тооцоолсны дараа та энэ пирамидын талбайг тооцоолж эхлэх боломжтой. Үүнийг маш энгийнээр хийдэг: та пирамидын хажуугийн гадаргууг бүрдүүлдэг бүх гурвалжны талбайг нэмэх хэрэгтэй. Үүнийг дараах томъёогоор илэрхийлж болно.

Sp = ΣSi, энд Sp нь хажуугийн гадаргуугийн талбай, Si нь хажуугийн гадаргуугийн хэсэг болох i-р гурвалжны талбай юм.

Илүү тодорхой болгохын тулд бид жижиг жишээг авч үзэж болно: ердийн пирамид, түүний хажуугийн нүүр нь тэгш талт гурвалжнуудаас бүрдэх ба түүний суурь дээр дөрвөлжин байрладаг. Энэ пирамидын ирмэгийн урт нь 17 см бөгөөд энэ пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг олох шаардлагатай.

Шийдэл: Энэ пирамидын ирмэгийн урт нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд түүний нүүр нь тэгш талт гурвалжин гэдгийг мэддэг. Тиймээс, хажуугийн гадаргуу дээрх бүх гурвалжны бүх талууд 17 см-тэй тэнцүү байна гэж хэлж болно. Тиймээс эдгээр гурвалжны аль нэгний талбайг тооцоолохын тулд та дараах томъёог ашиглах хэрэгтэй болно.

S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 см²

Пирамидын ёроолд дөрвөлжин байдаг нь мэдэгдэж байна. Тиймээс дөрвөн тэгш талт гурвалжин байгаа нь тодорхой байна. Дараа нь пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг дараах байдлаар тооцоолно.

125.137 см² * 4 = 500.548 см²

Хариулт: Пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь 500.548 см²

Эхлээд пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг тооцоолъё. Хажуугийн гадаргуу нь бүх хажуугийн нүүрний талбайн нийлбэр юм. Хэрэв та ердийн пирамидтай харьцаж байгаа бол (өөрөөр хэлбэл суурь нь энгийн олон өнцөгттэй, орой нь энэ олон өнцөгтийн төв рүү чиглэсэн байдаг) хажуугийн гадаргууг бүхэлд нь тооцоолохын тулд периметрийг үржүүлэхэд хангалттай. суурь (өөрөөр хэлбэл суурийн пирамид дээр байрлах олон өнцөгтийн бүх талуудын уртын нийлбэр) хажуугийн нүүрний өндрөөр (өөрөөр апотем гэж нэрлэдэг) үр дүнгийн утгыг 2-т хуваана: Sb = 1/2P* h, энд Sb нь хажуугийн гадаргуугийн талбай, P нь суурийн периметр, h нь хажуугийн нүүрний өндөр (apothem).

Хэрэв таны өмнө дурын пирамид байгаа бол та бүх нүүрний талбайг тусад нь тооцоолж, дараа нь нэмэх хэрэгтэй болно. Пирамидын хажуу талууд нь гурвалжин байдаг тул гурвалжны талбайн томъёог ашиглана уу: S=1/2b*h, b нь гурвалжны суурь, h нь өндөр. Бүх нүүрний талбайг тооцоолсны дараа пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг авахын тулд тэдгээрийг нэмэхэд л үлддэг.

Дараа нь та пирамидын суурийн талбайг тооцоолох хэрэгтэй. Тооцооллын томъёоны сонголт нь пирамидын суурь дээр аль олон өнцөгт байхаас хамаарна: ердийн (өөрөөр хэлбэл бүх тал нь ижил урттай) эсвэл жигд бус. Ердийн олон өнцөгтийн талбайг периметрийг олон өнцөгт доторх бичээстэй тойргийн радиусаар үржүүлж, үүссэн утгыг 2-т хуваах замаар тооцоолж болно: Sn = 1/2P*r, Sn нь олон өнцөгтийн талбай юм. олон өнцөгт, P нь периметр, r нь олон өнцөгт дотор бичигдсэн тойргийн радиус юм.

Таслагдсан пирамид нь пирамид ба түүний хөндлөн огтлолын суурьтай параллель байрладаг олон өнцөгт юм. Пирамидын хажуугийн гадаргууг олох нь тийм ч хэцүү биш юм. Энэ нь маш энгийн: талбай нь суурийн нийлбэрийн хагасын үржвэртэй тэнцүү байна. Хажуугийн гадаргуугийн талбайг тооцоолох жишээг авч үзье. Бидэнд ердийн пирамид өгөгдсөн гэж бодъё. Суурийн урт нь b = 5 см, c = 3 см. Апотем a = 4 см. Пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг олохын тулд эхлээд суурийн периметрийг олох хэрэгтэй. Том суурийн хувьд p1=4b=4*5=20 см-тэй тэнцүү байх ба жижиг суурийн хувьд томьёо нь дараах байдалтай байна: p2=4c=4*3=12 см.Иймээс талбай нь тэнцүү байна. : s=1/2(20+12 )*4=32/2*4=64 см.

Хэрэв пирамидын суурь дээр жигд бус олон өнцөгт байгаа бол бүхэл бүтэн зургийн талбайг тооцоолохын тулд эхлээд олон өнцөгтийг гурвалжин болгон хувааж, тус бүрийн талбайг тооцоолж, дараа нь нэмэх хэрэгтэй. Бусад тохиолдолд пирамидын хажуугийн гадаргууг олохын тулд та түүний хажуугийн гадаргуу бүрийн талбайг олж, үр дүнг нэмэх хэрэгтэй. Зарим тохиолдолд пирамидын хажуугийн гадаргууг олох ажлыг хөнгөвчлөх боломжтой. Хэрэв нэг хажуугийн нүүр нь сууринд перпендикуляр эсвэл хоёр зэргэлдээх хажуугийн нүүр нь суурьтай перпендикуляр байвал пирамидын суурь нь түүний хажуугийн гадаргуугийн нэг хэсгийн ортогональ проекц гэж тооцогддог бөгөөд тэдгээрийг томъёогоор холбодог.

Пирамидын гадаргуугийн тооцоог дуусгахын тулд пирамидын хажуугийн гадаргуу ба суурийн талбайг нэмнэ.

Пирамид нь олон өнцөгт хэлбэртэй бөгөөд тэдгээрийн нэг нь (суурь) нь дурын олон өнцөгт, үлдсэн нүүр нь (хажуу тал) нь гурвалжин хэлбэртэй байдаг. Өнцгийн тоогоор пирамидын суурь нь гурвалжин (тетраэдр), дөрвөлжин гэх мэт.

Пирамид нь олон өнцөгт хэлбэртэй суурьтай олон өнцөгт бөгөөд үлдсэн нүүр нь нийтлэг оройтой гурвалжин юм. Апотем гэдэг нь ердийн пирамидын оройгоос нь татсан хажуугийн нүүрний өндөр юм.

Пирамид нь олон өнцөгт, суурь нь олон өнцөгт, хажуугийн нүүр нь нэг нийтлэг оройтой гурвалжин юм. Дөрвөлжин гадаргуу пирамидуудхажуугийн талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна гадаргууболон үндэслэл пирамидууд.

Танд хэрэгтэй болно

• Цаас, үзэг, тооны машин

Зааварчилгаа

Эхлээд бид хажуугийн талбайг тооцоолно гадаргуу . Хажуугийн гадаргуу гэж бид бүх хажуугийн нүүрний нийлбэрийг хэлнэ. Хэрэв та ердийн пирамидтай харьцаж байгаа бол (өөрөөр хэлбэл ердийн олон өнцөгт байрладаг ба орой нь энэ олон өнцөгтийн төв рүү чиглэсэн байдаг) хажуу талыг бүхэлд нь тооцоолох хэрэгтэй. гадаргуусуурийн периметрийг үржүүлэхэд хангалттай (өөрөөр хэлбэл суурь дээр байрлах олон өнцөгтийн бүх талуудын уртын нийлбэр). пирамидууд) хажуугийн нүүрний өндрөөр (өөрөөр нэрлэнэ) үр дүнгийн утгыг 2-т хуваана: Sb=1/2P*h, Sb нь хажуугийн талбай юм. гадаргуу, P - суурийн периметр, h - хажуугийн нүүрний өндөр (apothem).

Хэрэв таны өмнө дурын пирамид байгаа бол та бүх нүүрний талбайг тооцоолж, дараа нь нэмэх хэрэгтэй болно. Хажуу тал нь тулгардаг тул пирамидуудбол гурвалжны талбайн томъёог ашиглана уу: S=1/2b*h, b нь гурвалжны суурь, h нь өндөр. Бүх нүүрний талбайг тооцоолоход хажуугийн талбайг авахын тулд тэдгээрийг нэмэхэд л үлддэг. гадаргуу пирамидууд.

Дараа нь та суурийн талбайг тооцоолох хэрэгтэй пирамидууд. Тооцооллын сонголт нь олон өнцөгт нь пирамидын сууринд байгаа эсэхээс хамаарна: ердийн (өөрөөр хэлбэл талууд нь бүгд ижил урттай) эсвэл. ДөрвөлжинЕрдийн олон өнцөгтийг периметрийг олон өнцөгт доторх бичээстэй тойргийн радиусаар үржүүлж, гарсан утгыг 2-т хуваах замаар тооцоолж болно: Sn = 1/2P*r, энд Sn нь олон өнцөгтийн талбай, P нь P. периметр, r нь олон өнцөгт дотор бичигдсэн тойргийн радиус юм.

Хэрэв суурь дээр байвал пирамидууджигд бус олон өнцөгт байрладаг бол бүхэл бүтэн зургийн талбайг тооцоолохын тулд та дахин олон өнцөгтийг гурвалжин болгон хувааж, тус бүрийн талбайг тооцоолж, дараа нь нэмэх хэрэгтэй болно.

Талбайн тооцоог дуусгахын тулд гадаргуу пирамидууд, дөрвөлжин талыг нугалав гадаргууболон үндэслэл пирамидууд.

Сэдвийн талаархи видео

Олон өнцөгт нь олон шугамыг хаах замаар бүтээгдсэн геометрийн дүрс юм. Хэд хэдэн төрлийн олон өнцөгт байдаг бөгөөд тэдгээр нь оройнуудын тооноос хамаарч өөр өөр байдаг. Талбайг олон өнцөгтийн төрөл тус бүрээр тодорхой аргаар тооцдог.

Зааварчилгаа

Хэрэв та дөрвөлжин эсвэл тэгш өнцөгтийн талбайг тооцоолох шаардлагатай бол талуудын уртыг үржүүлнэ. Хэрэв та тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг олох шаардлагатай бол түүнийг тэгш өнцөгт болгон сунгаж, талбайг нь тооцоолж, хоёр хуваа.

Хэрэв зураг нь 180 градусаас ихгүй (гүдгэр олон өнцөгт) бүх орой нь координатын сүлжээнд байгаа бөгөөд өөрөө огтлолцохгүй бол талбайг тооцоолохдоо дараах аргыг ашиглана уу.
Ийм олон өнцөгтийг тойруулан тэгш өнцөгт зурж, талууд нь торны шугамуудтай (координатын тэнхлэгүүд) параллель байна. Энэ тохиолдолд олон өнцөгтийн оройн дор хаяж нэг нь тэгш өнцөгтийн орой байх ёстой.

Зөвхөн тайрсан нэг нь хоёр суурьтай байж болно пирамидууд. Энэ тохиолдолд хоёр дахь суурь нь том суурьтай параллель зүсэлтээр үүсгэгддэг пирамидууд. Аль нэгийг нь олоорой шалтгаануудмэдэгдэж байгаа бол боломжтой эсвэл хоёр дахь шугаман элементүүд.

Танд хэрэгтэй болно

• - пирамидын шинж чанар;
• - тригонометрийн функцууд;
• - тоонуудын ижил төстэй байдал;
• - олон өнцөгтийн талбайг олох.

Зааварчилгаа

Хэрэв суурь нь ердийн гурвалжин бол түүнийг ол дөрвөлжинталын квадратыг 3-ын квадрат язгуураар үржүүлж 4-т хуваасан. Хэрэв суурь нь дөрвөлжин бол түүний талыг хоёр дахь зэрэгт өргө. Ер нь аливаа энгийн олон өнцөгтийн хувьд S=(n/4) a² ctg(180º/n) томъёог хэрэглэнэ, энд n нь ердийн олон өнцөгтийн талуудын тоо, a нь хажуугийн урт юм.

b=2 (a/(2 tg(180º/n))-h/tg(α)) tg(180º/n) томъёогоор жижиг суурийн талыг ол. Энд a нь том суурь, h нь таслагдсан өндөр юм пирамидууд, α – суурь дээрх хоёр талт өнцөг, n – талуудын тоо шалтгаанууд(Энэ нь ижил юм). Хоёрдахь суурийн талбайг эхнийхтэй адил олно, томьёонд түүний талын уртыг S=(n/4) b² ctg(180º/n) ашиглана.

Хэрэв суурь нь өөр төрлийн олон өнцөгт байвал тэдгээрийн аль нэгнийх нь бүх талууд нь мэдэгдэж байна шалтгаанууд, ба нөгөө талынх нь аль нэгийг, дараа нь үлдсэн талуудыг ижил төстэй байдлаар тооцоол. Жишээ нь, том суурийн талууд нь 4, 6, 8 см, жижиг суурийн том тал нь 4 см. Пропорциональ коэффициентийг тооцоол, 4/8 = 2 (бид тус бүр дээр талуудыг авна. шалтгаанууд), бусад талуудыг 6/2=3 см, 4/2=2 см-ээр тооцож, хажуугийн жижиг суурь дээр 2, 3, 4 см талуудыг авна. Одоо тэдгээрийг гурвалжны талбайгаар тооцоол.

Хэрэв тайрсан элементийн харгалзах элементүүдийн харьцаа мэдэгдэж байгаа бол талбайн харьцааг тодорхойлно шалтгаануудЭдгээр элементүүдийн квадратуудын харьцаатай тэнцүү байх болно. Жишээлбэл, холбогдох талууд нь мэдэгдэж байгаа бол шалтгаанууд a ба a1, дараа нь a²/a1²=S/S1.

Доод талбай пирамидуудихэвчлэн түүний хажуугийн эсвэл нийт гадаргуугийн талбайг хэлнэ. Энэхүү геометрийн биеийн суурь нь олон өнцөгт юм. Хажуугийн ирмэг нь гурвалжин хэлбэртэй. Тэд нийтлэг оройтой байдаг бөгөөд энэ нь мөн орой юм пирамидууд.

Танд хэрэгтэй болно

• - цаас;
• - үзэг;
• - тооцоолуур;
• - өгөгдсөн параметр бүхий пирамид.

Зааварчилгаа

Даалгаварт өгөгдсөн пирамидыг авч үзье. Олон өнцөгт нь суурь дээрээ тогтмол эсвэл жигд бус эсэхийг тодорхойл. Зөв нь бүх тал нь тэнцүү байна. Энэ тохиолдолд талбай нь периметр ба радиусын бүтээгдэхүүний хагастай тэнцүү байна. l талын уртыг n талуудын тоогоор үржүүлж периметрийг ол, өөрөөр хэлбэл P=l*n. Суурийн талбайг So=1/2P*r томъёогоор илэрхийлж болох ба P нь периметр, r нь бичээстэй тойргийн радиус юм.

Тогтмол бус олон өнцөгтийн периметр ба талбайг өөр өөрөөр тооцдог. Хажуугийн урт нь өөр өөр байдаг. руу

Цилиндр нь хоёр зэрэгцээ хавтгай ба цилиндр гадаргуугаар хүрээлэгдсэн геометрийн бие юм. Энэ нийтлэлд бид цилиндрийн талбайг хэрхэн олох талаар ярилцаж, томъёог ашиглан жишээ болгон хэд хэдэн асуудлыг шийдэх болно.

Цилиндр нь дээд, суурь, хажуугийн гадаргуу гэсэн гурван гадаргуутай.

Цилиндрийн дээд ба суурь нь дугуй хэлбэртэй бөгөөд тодорхойлоход хялбар байдаг.

Тойргийн талбай нь πr 2-тэй тэнцүү гэдгийг мэддэг. Тиймээс хоёр тойргийн талбайн томъёо (цилиндрийн дээд ба суурь) нь πr 2 + πr 2 = 2πr 2 байх болно.

Цилиндрийн гурав дахь, хажуугийн гадаргуу нь цилиндрийн муруй хана юм. Энэ гадаргууг илүү сайн төсөөлөхийн тулд түүнийг танигдахуйц хэлбэрт оруулахыг хичээцгээе. Цилиндр нь дээд таг эсвэл ёроолгүй энгийн цагаан тугалгатай лааз гэж төсөөлөөд үз дээ. Хажуугийн хананд лаазны дээд талаас доош хүртэл босоо зүсэлт хийж (зураг дээрх 1-р алхам) үүссэн дүрсийг аль болох нээхийг (шулуун болгох) оролдоорой (2-р алхам).

Үүссэн савыг бүрэн нээсний дараа бид танил дүрсийг харах болно (3-р алхам), энэ бол тэгш өнцөгт юм. Тэгш өнцөгтийн талбайг тооцоолоход хялбар байдаг. Гэхдээ үүнээс өмнө анхны цилиндр рүүгээ хэсэг хугацаанд буцаж орцгооё. Анхны цилиндрийн орой нь тойрог бөгөөд тойргийг L = 2πr томъёогоор тооцоолдог гэдгийг бид мэднэ. Энэ нь зураг дээр улаанаар тэмдэглэгдсэн байна.

Цилиндрийн хажуугийн ханыг бүрэн нээх үед тойрог нь үүссэн тэгш өнцөгтийн урт болж байгааг бид харж байна. Энэ тэгш өнцөгтийн талууд нь тойрог (L = 2πr) ба цилиндрийн өндөр (h) болно. Тэгш өнцөгтийн талбай нь түүний талуудын үржвэртэй тэнцүү байна - S = урт x өргөн = L x h = 2πr x h = 2πrh. Үүний үр дүнд бид цилиндрийн хажуугийн гадаргуугийн талбайг тооцоолох томъёог хүлээн авлаа.

Цилиндрийн хажуугийн гадаргуугийн томъёо
S тал = 2πrh

Цилиндрийн нийт гадаргуугийн талбай

Эцэст нь, хэрэв бид бүх гурван гадаргуугийн талбайг нэмбэл цилиндрийн нийт гадаргуугийн томъёог авна. Цилиндрийн гадаргуугийн талбай нь цилиндрийн дээд хэсгийн талбай + цилиндрийн суурийн талбай + цилиндрийн хажуугийн гадаргуугийн талбай эсвэл S = πr 2 + -тэй тэнцүү байна. πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Заримдаа энэ илэрхийлэл нь 2πr (r + h) томьёотой ижил бичигдсэн байдаг.

Цилиндрийн нийт гадаргуугийн томъёо
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – цилиндрийн радиус, h – цилиндрийн өндөр

Цилиндрийн гадаргуугийн талбайг тооцоолох жишээ

Дээрх томьёог ойлгохын тулд жишээн дээр цилиндрийн гадаргуугийн талбайг тооцоолохыг хичээцгээе.

1. Цилиндрийн суурийн радиус 2, өндөр нь 3. Цилиндрийн хажуугийн гадаргуугийн талбайг тодорхойл.

Нийт гадаргуугийн талбайг томъёогоор тооцоолно: S тал. = 2πrh

S тал = 2 * 3.14 * 2 * 3

S тал = 6.28 * 6

S тал = 37.68

Цилиндрийн хажуугийн гадаргуу нь 37.68 байна.

2. Цилиндрийн өндөр нь 4, радиус нь 6 бол гадаргуугийн талбайг хэрхэн олох вэ?

Гадаргуугийн нийт талбайг томъёогоор тооцоолно: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3.14 * 6 2 + 2 * 3.14 * 6 * 4

S = 2 * 3.14 * 36 + 2 * 3.14 * 24

Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэхдээ оюутнууд алгебр, геометрийн мэдлэгээ системчлэх ёстой. Би бүх мэдэгдэж байгаа мэдээллийг нэгтгэхийг хүсч байна, жишээлбэл, пирамидын талбайг хэрхэн тооцоолох талаар. Түүнээс гадна суурь ба хажуугийн ирмэгээс эхлээд бүх гадаргуугийн талбай хүртэл. Хэрвээ гурвалжин хэлбэртэй тул хажуугийн нүүрний байдал тодорхой байвал суурь нь үргэлж өөр байдаг.

Пирамидын суурийн талбайг хэрхэн олох вэ?

Энэ нь дурын гурвалжингаас n-gon хүртэл ямар ч дүрс байж болно. Мөн энэ суурь нь өнцгийн тооны ялгаанаас гадна ердийн дүрс эсвэл жигд бус байж болно. Сургуулийн сурагчдын сонирхдог Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгаврын үндсэн дээр зөвхөн зөв тоо бүхий даалгавар байдаг. Тиймээс бид зөвхөн тэдний тухай ярих болно.

Ердийн гурвалжин

Өөрөөр хэлбэл, тэгш талт. Бүх талууд тэнцүү бөгөөд "а" үсгээр тэмдэглэгдсэн байдаг. Энэ тохиолдолд пирамидын суурийн талбайг дараахь томъёогоор тооцоолно.

S = (a 2 * √3) / 4.

Дөрвөлжин

Түүний талбайг тооцоолох томъёо нь хамгийн энгийн бөгөөд энд "a" нь дахин тал юм.

Дурын тогтмол n-gon

Олон өнцөгтийн тал нь ижил тэмдэглэгээтэй байна. Өнцгийн тооны хувьд Латин үсэг n-ийг ашигладаг.

S = (n * a 2) / (4 * тг (180º/n)).

Хажуугийн болон нийт гадаргуугийн талбайг тооцоолохдоо юу хийх вэ?

Суурь нь ердийн дүрс тул пирамидын бүх нүүр нь тэнцүү байна. Түүнээс гадна хажуугийн ирмэгүүд нь тэнцүү тул тус бүр нь ижил өнцөгт гурвалжин юм. Дараа нь пирамидын хажуугийн талбайг тооцоолохын тулд танд ижил мономиалуудын нийлбэрээс бүрдэх томъёо хэрэгтэй болно. Нэр томъёоны тоог суурийн талуудын тоогоор тодорхойлно.

Адил өнцөгт гурвалжны талбайг суурийн бүтээгдэхүүний талыг өндрөөр үржүүлсэн томъёогоор тооцоолно. Пирамидын энэ өндрийг апотем гэж нэрлэдэг. Түүний тэмдэглэгээ нь "А" юм. Хажуугийн гадаргуугийн ерөнхий томъёо нь:

S = ½ P*A, энд P нь пирамидын суурийн периметр юм.

Суурийн талууд нь тодорхойгүй, харин хажуугийн ирмэгүүд (c) ба түүний орой дээрх хавтгай өнцөг (α) өгөгдсөн нөхцөл байдал байдаг. Дараа нь та пирамидын хажуугийн талбайг тооцоолохын тулд дараах томъёог ашиглах хэрэгтэй.

2 sin α-д S = n/2 * .

Даалгавар №1

Нөхцөл байдал.Пирамидын суурийн тал нь 4 см, апотем нь √3 см-ийн утгатай бол түүний нийт талбайг ол.

Шийдэл.Та суурийн периметрийг тооцоолж эхлэх хэрэгтэй. Энэ нь ердийн гурвалжин тул P = 3 * 4 = 12 см. Апотем мэдэгдэж байгаа тул бид хажуугийн гадаргуугийн талбайг нэн даруй тооцоолж болно: ½ * 12 * √3 = 6√3 см 2.

Суурийн гурвалжны хувьд та дараах талбайн утгыг авна: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 см 2.

Талбайг бүхэлд нь тодорхойлохын тулд 6√3 + 4√3 = 10√3 см 2 гэсэн хоёр утгыг нэмэх шаардлагатай.

Хариулах. 10√3 см 2.

Асуудал №2

Нөхцөл байдал. Ердийн дөрвөлжин пирамид байдаг. Суурийн хажуугийн урт нь 7 мм, хажуугийн ирмэг нь 16 мм байна. Түүний гадаргуугийн талбайг олж мэдэх шаардлагатай.

Шийдэл.Полиэдрон нь дөрвөлжин хэлбэртэй, тогтмол байдаг тул түүний суурь нь дөрвөлжин юм. Суурийн болон хажуугийн гадаргуугийн талбайг мэдсэний дараа та пирамидын талбайг тооцоолох боломжтой болно. Дөрвөлжингийн томъёог дээр өгөв. Мөн хажуугийн нүүрний хувьд гурвалжны бүх талыг мэддэг. Тиймээс тэдгээрийн талбайг тооцоолохдоо Хэроны томъёог ашиглаж болно.

Эхний тооцоо нь энгийн бөгөөд дараах тоонд хүргэдэг: 49 мм 2. Хоёр дахь утгын хувьд та хагас периметрийг тооцоолох хэрэгтэй: (7 + 16 * 2): 2 = 19.5 мм. Одоо та ижил өнцөгт гурвалжны талбайг тооцоолж болно: √(19.5*(19.5-7)*(19.5-16) 2) = √2985.9375 = 54.644 мм 2. Зөвхөн дөрвөн ийм гурвалжин байдаг тул эцсийн тоог тооцоолохдоо 4-өөр үржүүлэх шаардлагатай болно.

Энэ нь: 49 + 4 * 54.644 = 267.576 мм 2 болж байна.

Хариулах. Хүссэн утга нь 267.576 мм 2 байна.

Асуудал №3

Нөхцөл байдал. Ердийн дөрвөлжин пирамидын хувьд та талбайг тооцоолох хэрэгтэй. Талбайн тал нь 6 см, өндөр нь 4 см гэдгийг мэддэг.

Шийдэл.Хамгийн хялбар арга бол периметр ба апотемийн бүтээгдэхүүнтэй томъёог ашиглах явдал юм. Эхний утгыг олоход хялбар байдаг. Хоёр дахь нь арай илүү төвөгтэй юм.

Бид Пифагорын теоремыг санаж, энэ нь пирамидын өндөр ба гипотенуз болох апотемоос үүсдэг гэж үзэх хэрэгтэй. Хоёрдахь хөл нь дөрвөлжингийн талтай тэнцүү байна, учир нь олон талт өндөр нь дунд хэсэгтээ унадаг.

Шаардлагатай апотем (тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз) нь √(3 2 + 4 2) = 5 (см) -тэй тэнцүү байна.

Одоо та шаардлагатай утгыг тооцоолж болно: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (см 2).

Хариулах. 96 см 2.

Асуудал №4

Нөхцөл байдал.Зөв талыг нь өгсөн.Түүний суурийн хажуу тал нь 22 мм, хажуугийн ирмэг нь 61 мм байна. Энэ олон өнцөгтийн хажуугийн гадаргуугийн талбай хэд вэ?

Шийдэл.Үүний үндэслэл нь 2-р даалгаварт дурдсантай ижил байна. Зөвхөн тэнд дөрвөлжин суурьтай пирамид өгсөн бөгөөд одоо зургаан өнцөгт болжээ.

Юуны өмнө үндсэн талбайг дээрх томъёогоор тооцоолно: (6*22 2) / (4*тг (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 см 2.

Одоо та хажуугийн нүүр болох ижил өнцөгт гурвалжны хагас периметрийг олох хэрэгтэй. (22+61*2):2 = 72 см.Хероны томьёог ашиглан ийм гурвалжин бүрийн талбайг тооцоод зургаагаар үржүүлээд суурийн хувьд авсан дээр нэмэх л үлдлээ.

Хероны томьёо ашиглан хийсэн тооцоо: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 см 2. Хажуугийн гадаргуугийн талбайг өгөх тооцоо: 660 * 6 = 3960 см 2. Гадаргууг бүхэлд нь олж мэдэхийн тулд тэдгээрийг нэмэх хэрэгтэй: 5217.47≈5217 см 2.

Хариулах.Суурь нь 726√3 см2, хажуугийн гадаргуу 3960 см2, нийт талбай нь 5217 см2.

• Бодлого 1. Пирамидын нийт гадаргуугийн талбайг ол
• Бодлого 2. Ердийн гурвалжин пирамидын хажуугийн гадаргууг ол

Асуудал 1. Ердийн пирамидын нийт гадаргуугийн талбайг ол

Шийдэл.

Ердийн гурвалжин пирамидын сууринд ижил талт гурвалжин байдаг.
Тиймээс, асуудлыг шийдэхийн тулд бид ердийн гурвалжны шинж чанарыг ашиглана.

Бид гурвалжны өндрийг мэддэг бөгөөд түүний талбайг хаанаас олж болохыг мэддэг.
h = √3/2a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

Эндээс суурийн талбай тэнцүү байх болно:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3

Хажуугийн нүүрний талбайг олохын тулд бид өндрийг KM тооцоолно. Асуудлын дагуу OKM өнцөг нь 45 градус байна.
Тиймээс:
OK / MK = cos 45
Тригонометрийн функцүүдийн утгуудын хүснэгтийг ашиглаж, мэдэгдэж буй утгуудыг орлъё.

OK / MK = √2/2

OK нь бичээстэй тойргийн радиустай тэнцүү гэдгийг анхаарч үзье. Дараа нь
OK = √3/6a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1

Дараа нь
OK / MK = √2/2
1/MK = √2/2
MK = 2/√2

Хажуугийн нүүрний талбай нь гурвалжны өндөр ба суурийн бүтээгдэхүүний хагастай тэнцүү байна.
Хажуу тал = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

Тиймээс пирамидын нийт гадаргуугийн талбай тэнцүү байх болно
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Хариулах: 3√3 + 18/√6

Асуудал 2. Ердийн пирамидын хажуугийн гадаргууг ол

Шийдэл.

Ердийн гурвалжин пирамидын суурь нь тэгш талт гурвалжин байдаг тул AO нь суурийн эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиус юм.
(Үүнээс үүдэлтэй)

Бид ижил талт гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиусыг шинж чанараас нь олдог

Эндээс ердийн гурвалжин пирамидын ирмэгийн урт нь дараахтай тэнцүү байх болно.
AM 2 = MO 2 + AO 2
пирамидын өндрийг нөхцөлөөр (10 см) мэддэг, AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)

Пирамидын тал бүр нь ижил өнцөгт гурвалжин юм. Доор үзүүлсэн эхний томъёоноос бид тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг олдог

S = 1/2 * 16 sqrt((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 sqrt((556/3) - 64)
S = 8 sqrt (364/3)
S = 16 sqrt(91/3)

Ердийн пирамидын гурван нүүр бүгд тэнцүү тул хажуугийн гадаргуугийн талбай тэнцүү байна
3S = 48 √(91/3)

Хариулт: 48 √(91/3)

Бодлого 3. Ердийн пирамидын гадаргуугийн нийт талбайг ол

Энгийн гурвалжин пирамидын тал нь 3 см, хажуугийн нүүр ба пирамидын суурийн хоорондох өнцөг нь 45 градус байна. Пирамидын нийт гадаргуугийн талбайг ол.

Шийдэл.
Пирамид нь тогтмол байдаг тул түүний суурь дээр тэгш талт гурвалжин байдаг. Тиймээс суурийн талбай нь


Тэгэхээр = 9 * √3/4

Хажуугийн нүүрний талбайг олохын тулд бид өндрийг KM тооцоолно. Асуудлын дагуу OKM өнцөг нь 45 градус байна.
Тиймээс:
OK / MK = cos 45
Давуу талыг ашиглацгаая