"Экспоненциал тэгшитгэл ба экспоненциал тэгш бус байдал" сэдэвт хичээл, танилцуулга.
Нэмэлт материал
Эрхэм хэрэглэгчид, сэтгэгдэл, сэтгэгдэл, хүслээ үлдээхээ бүү мартаарай! Бүх материалыг вирусны эсрэг програмаар шалгасан.
11-р ангийн Integral онлайн дэлгүүрт заах хэрэгсэл, симуляторууд
9-11-р ангийн "Тригонометр" интерактив гарын авлага
10-11-р ангийн "Логарифм" интерактив гарын авлага
Экспоненциал тэгшитгэлийн тодорхойлолт
Залуус аа, бид экспоненциал функцийг судалж, тэдгээрийн шинж чанарыг олж мэдээд, график байгуулж, экспоненциал функцүүд олдсон тэгшитгэлийн жишээнд дүн шинжилгээ хийсэн. Өнөөдөр бид экспоненциал тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг судлах болно.Тодорхойлолт. Хэлбэрийн тэгшитгэлүүд: $a^(f(x))=a^(g(x))$, $a>0$, $a≠1$-г экспоненциал тэгшитгэл гэнэ.
"Экспоненциал функц" сэдвээр судалсан теоремуудыг эргэн санавал бид шинэ теоремыг танилцуулж болно.
Теорем. $a^(f(x))=a^(g(x))$ экспоненциал тэгшитгэл нь $a>0$, $a≠1$ нь $f(x)=g(x) тэгшитгэлтэй тэнцүү байна. доллар.
Экспоненциал тэгшитгэлийн жишээ
Жишээ.Тэгшитгэлийг шийдэх:
a) $3^(3х-3)=27$.
б) $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
в) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Шийдэл.
a) Бид $27=3^3$ гэдгийг сайн мэднэ.
Тэгшитгэлээ дахин бичье: $3^(3x-3)=3^3$.
Дээрх теоремыг ашиглан бидний тэгшитгэл $3x-3=3$ тэгшитгэлд буурдаг болохыг олж харвал бид $x=2$ болно.
Хариулт: $x=2$.
B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Дараа нь бидний тэгшитгэлийг дахин бичиж болно: $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) =((\ frac(2)(3)))^(0.2)$.
$2х+0,2=0,2$.
$x=0$.
Хариулт: $x=0$.
C) Анхны тэгшитгэл нь тэгшитгэлтэй тэнцүү байна: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ ба $x_2=-3$.
Хариулт: $x_1=6$ ба $x_2=-3$.
Жишээ.
Тэгшитгэлийг шийд: $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$.
Шийдэл:
Цуврал үйлдлүүдийг дараалан хийж, тэгшитгэлийнхээ хоёр талыг ижил суурьтай болгоцгооё.
Зүүн талд хэд хэдэн үйлдлийг хийцгээе:
1) $((0.25))^(x-0.5)=((\frac(1)(4)))^(x-0.5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0.5+0.5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1)) (4)))^x$.
Баруун тал руугаа явцгаая:
4) $16=4^2$.
5) $((0.0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0.0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Анхны тэгшитгэл нь тэгшитгэлтэй тэнцүү байна:
$((\ frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Хариулт: $x=0$.
Жишээ.
Тэгшитгэлийг шийд: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Шийдэл:
Тэгшитгэлээ дахин бичье: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Хувьсагчийн өөрчлөлтийг $a=3^x$ гэж үзье.
Шинэ хувьсагчдад тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ ба $a_2=3$.
Хувьсагчийн урвуу өөрчлөлтийг хийцгээе: $3^x=-12$ ба $3^x=3$.
Сүүлийн хичээл дээр бид экспоненциал илэрхийлэл нь зөвхөн эерэг утгыг авч болохыг олж мэдсэн тул графикийг санаарай. Энэ нь эхний тэгшитгэлд шийдэл байхгүй, хоёр дахь тэгшитгэл нь нэг шийдэлтэй байна: $x=1$.
Хариулт: $x=1$.
Экспоненциал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сануулъя:
1. График арга.Бид тэгшитгэлийн хоёр талыг функц хэлбэрээр илэрхийлж, тэдгээрийн графикийг байгуулж, графикуудын огтлолцлын цэгүүдийг олдог. (Бид энэ аргыг сүүлийн хичээл дээр ашигласан).
2. Шалгуур үзүүлэлтүүдийн тэгш байдлын зарчим.Эдгээр суурийн зэрэг (үзүүр) тэнцүү байвал ижил суурьтай хоёр илэрхийлэл тэнцүү байна гэсэн зарчим дээр суурилдаг. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Хувьсах солих арга.Хэрэв тэгшитгэл нь хувьсагчийг орлуулахдаа түүний хэлбэрийг хялбарчилж, шийдвэрлэхэд илүү хялбар бол энэ аргыг ашиглах хэрэгтэй.
Жишээ.
Тэгшитгэлийн системийг шийд: $\begin (тохиолдлууд) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \төгсгөл (тохиолдлууд)$.
Шийдэл.
Системийн хоёр тэгшитгэлийг тусад нь авч үзье.
$27^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Хоёр дахь тэгшитгэлийг авч үзье.
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Хувьсагчдыг өөрчлөх аргыг ашиглая $y=2^(x+y)$.
Дараа нь тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ ба $y_2=-3$.
Анхны хувьсагч руу шилжье, эхний тэгшитгэлээс $x+y=2$ гарна. Хоёр дахь тэгшитгэлд шийдэл байхгүй. Тэгвэл бидний анхны тэгшитгэлийн систем нь системтэй тэнцүү байна: $\begin (тохиолдлууд) x+3y=0, \\ x+y=2. \төгсгөл (тохиолдлууд)$.
Эхний тэгшитгэлээс хоёр дахь хэсгийг хасаад бид дараахийг авна: $\begin (тохиолдлууд) 2y=-2, \\ x+y=2. \төгсгөл (тохиолдлууд)$.
$\эхлэх (тохиолдлууд) y=-1, \\ x=3. \төгсгөл (тохиолдлууд)$.
Хариулт: $(3;-1)$.
Экспоненциал тэгш бус байдал
Тэгш бус байдал руу шилжье. Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ зэрэглэлийн үндэслэлд анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй. Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед үйл явдлын хөгжлийн хоёр хувилбар байж болно.Теорем. Хэрэв $a>1$ бол экспоненциал тэгш бус байдал $a^(f(x))>a^(g(x))$ нь $f(x)>g(x)$ тэгш бус байдалтай тэнцүү байна.
Хэрэв $0
Жишээ.
Тэгш бус байдлыг шийдэх:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0.3)^(x^2+6x)≤(0.3)^(4x+15)$ .
Шийдэл.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Бидний тэгш бус байдал нь тэгш бус байдалтай тэнцүү байна:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0.5$.
B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) Манай тэгшитгэлд суурь нь градус байх үед юм. 1-ээс бага бол тэгш бус байдлыг ижил тэгш бусаар солихдоо тэмдгийг өөрчлөх шаардлагатай.
$2х-4>2$.
$x>3$.
C) Бидний тэгш бус байдал нь тэгш бус байдалтай тэнцүү байна:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Интервал шийдлийн аргыг ашиглая:
Хариулт: $(-∞;-5]U
$b$-ын үүрэг нь энгийн тоо эсвэл илүү хатуу зүйл байж болно. Жишээ нь? Тиймээ:
\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ дөрвөлжин ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Утга нь ойлгомжтой гэж бодож байна: $((a)^(x))$ экспоненциал функц байдаг, түүнийг ямар нэгэн зүйлтэй харьцуулж, дараа нь $x$ олохыг хүссэн. Ялангуяа эмнэлзүйн тохиолдлуудад $x$ хувьсагчийн оронд $f\left(x \right)$ функцийг тавьж, улмаар тэгш бус байдлыг бага зэрэг хүндрүүлдэг.
Мэдээжийн хэрэг, зарим тохиолдолд тэгш бус байдал илүү ноцтой харагдаж болно. Жишээлбэл:
\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]
Эсвэл бүр энэ нь:
Ерөнхийдөө ийм тэгш бус байдлын нарийн төвөгтэй байдал нь маш өөр байж болох ч эцэст нь тэдгээр нь $((a)^(x)) \gt b$ энгийн бүтэц рүү буурдаг. Бид ямар нэгэн байдлаар ийм бүтээн байгуулалтыг олох болно (ялангуяа эмнэлзүйн тохиолдолд, юу ч санаанд орохгүй бол логарифм бидэнд туслах болно). Тиймээс, одоо бид ийм энгийн бүтээн байгуулалтыг хэрхэн шийдэхийг танд заах болно.
Энгийн экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх
Маш энгийн зүйлийг авч үзье. Жишээлбэл, энэ нь:
\[((2)^(x)) \gt 4\]
Мэдээжийн хэрэг, баруун талд байгаа тоог хоёрын зэрэглэлээр дахин бичиж болно: $4=((2)^(2))$. Тиймээс анхны тэгш бус байдлыг маш тохиромжтой хэлбэрээр дахин бичиж болно.
\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]
Одоо миний гар $x \gt 2$ гэсэн хариултыг авахын тулд эрх мэдлийн үндсэн дээр хоёрыг "гатлах" гэж загатнаж байна. Гэхдээ ямар нэг зүйлийг хасахын өмнө хоёрын хүчийг санацгаая.
\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]
Таны харж байгаагаар экспонент дахь тоо их байх тусам гаралтын тоо их болно. - Баярлалаа, кап! - гэж оюутнуудын нэг нь хашгирах болно. Энэ нь өөр үү? Харамсалтай нь ийм зүйл тохиолддог. Жишээлбэл:
\[((\left(\frac(1)(2) \баруун))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ баруун))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \баруун))^(3))=\frac(1)(8) );...\]
Энд бас бүх зүйл логик юм: зэрэг нь их байх тусам 0.5 тоог өөрөө үржүүлнэ (өөрөөр хэлбэл, хагаст хуваагдана). Тиймээс үүссэн тоонуудын дараалал буурч байгаа бөгөөд эхний ба хоёр дахь дарааллын ялгаа нь зөвхөн үндсэн дээр байна:
- Хэрэв градусын суурь $a \gt 1$ бол илтгэгч $n$ нэмэгдэх тусам $((a)^(n))$ тоо мөн нэмэгдэх болно;
- Мөн эсрэгээр, хэрэв $0 \lt a \lt 1$ бол $n$ илтгэгч нэмэгдэх тусам $((a)^(n))$ тоо буурах болно.
Эдгээр баримтуудыг нэгтгэн дүгнэснээр бид экспоненциал тэгш бус байдлын бүх шийдэлд үндэслэсэн хамгийн чухал мэдэгдлийг олж авна.
Хэрэв $a \gt 1$ бол $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ тэгш бус байдал нь $x \gt n$ тэгш бус байдалтай тэнцүү байна. Хэрэв $0 \lt a \lt 1$ бол $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ тэгш бус байдал нь $x \lt n$ тэгш бус байдалтай тэнцүү байна.
Өөрөөр хэлбэл, суурь нь нэгээс их байвал та үүнийг зүгээр л арилгаж болно - тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөхгүй. Хэрэв суурь нь нэгээс бага бол үүнийг арилгаж болно, гэхдээ тэр үед тэгш бус байдлын тэмдгийг өөрчлөх шаардлагатай болно.
Бид $a=1$ болон $a\le 0$ гэсэн сонголтыг авч үзээгүйг анхаарна уу. Учир нь эдгээр тохиолдолд тодорхойгүй байдал үүсдэг. $((1)^(x)) \gt 3$ хэлбэрийн тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдэхийг хэлье? Нэг нь ямар ч хүчинд дахин нэгийг өгөх болно - бид гурав ба түүнээс дээш удаа хэзээ ч авахгүй. Тэдгээр. шийдэл байхгүй.
Сөрөг шалтгаанаар бүх зүйл илүү сонирхолтой байдаг. Жишээлбэл, энэ тэгш бус байдлыг авч үзье:
\[((\left(-2 \баруун))^(x)) \gt 4\]
Эхлээд харахад бүх зүйл энгийн:
Тийм үү? Гэхдээ үгүй! Шийдэл буруу эсэхийг шалгахын тулд $x$-ын оронд хос тэгш, хоёр сондгой тоог орлуулахад хангалттай. Энийг хар даа:
\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x=4\Баруун сум ((\зүүн(-2 \баруун))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Баруун сум ((\зүүн(-2 \баруун))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Баруун сум ((\зүүн(-2 \баруун))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Баруун сум ((\зүүн(-2 \баруун))^(7))=-128 \lt 4. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Таны харж байгаагаар тэмдгүүд ээлжлэн солигддог. Гэхдээ бас бутархай эрх мэдэл болон бусад утгагүй зүйл байдаг. Жишээ нь, та $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (хоёрыг хасвал долоогийн зэрэглэлд) хэрхэн тооцоолох вэ? Арга ч үгүй!
Тиймээс тодорхой байхын тулд бид бүх экспоненциал тэгш бус байдалд (мөн тэгшитгэлд мөн адил) $1\ne a \gt 0$ байна гэж үздэг. Тэгээд бүх зүйл маш энгийнээр шийдэгддэг:
\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Баруун сум \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \баруун), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]
Ерөнхийдөө гол дүрмийг дахин санаарай: хэрэв экспоненциал тэгшитгэлийн суурь нь нэгээс их бол та үүнийг зүгээр л устгаж болно; ба суурь нь нэгээс бага бол түүнийг мөн арилгаж болох боловч тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөнө.
Шийдлийн жишээ
Тиймээс хэд хэдэн энгийн экспоненциал тэгш бус байдлыг харцгаая.
\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Бүх тохиолдолд үндсэн ажил нь адилхан: тэгш бус байдлыг хамгийн энгийн хэлбэрт $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ болгон багасгах. Энэ нь яг одоо бид тэгш бус байдал бүрийг хийх бөгөөд үүний зэрэгцээ градус болон экспоненциал функцүүдийн шинж чанаруудыг давтах болно. За, явцгаая!
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]
Та энд юу хийж чадах вэ? За, зүүн талд бид аль хэдийн заагч илэрхийлэлтэй байна - юу ч өөрчлөх шаардлагагүй. Гэхдээ баруун талд нь ямар нэгэн тэнэг зүйл байдаг: бутархай, бүр хуваагч дахь үндэс!
Гэсэн хэдий ч бутархай ба хүчнүүдтэй ажиллах дүрмийг санацгаая.
\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Нэгдүгээрт, бид бутархайг сөрөг илтгэгчтэй хүч болгон хувиргаснаар амархан салж чадна. Хоёрдугаарт, хуваагч нь язгууртай тул түүнийг хүч болгон хувиргавал зүгээр байх болно - энэ удаад бутархай илтгэгчээр.
Эдгээр үйлдлийг тэгш бус байдлын баруун талд дараалан хэрэглэж, юу болохыг харцгаая.
\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \баруун))^(-1))=((\left(((2)^(\frac() 1)(3))) \баруун))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \баруун)=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]
Нэг зэрэглэлийг хүч болгон өсгөхөд эдгээр зэрэглэлийн илтгэгчүүд нийлдэг гэдгийг бүү мартаарай. Ерөнхийдөө экспоненциал тэгшитгэл ба тэгш бус байдалтай ажиллахдаа хүч чадалтай ажиллах хамгийн энгийн дүрмийг мэдэх шаардлагатай.
\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \баруун))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Үнэндээ бид сүүлийн дүрмийг л хэрэгжүүлсэн. Тиймээс бидний анхны тэгш бус байдлыг дараах байдлаар дахин бичих болно.
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Баруун сум ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]
Одоо бид хоёр баазаас салж байна. 2 > 1 тул тэгш бус байдлын тэмдэг ижил хэвээр байна:
\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x-1\le -\frac(1)(3)\Баруун сум x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty;\frac(2)(3) \баруун]. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Энэ бол шийдэл! Гол бэрхшээл нь экспоненциал функцэд огтхон ч биш, харин анхны илэрхийлэлийг чадварлаг хувиргах явдал юм: та үүнийг хамгийн энгийн хэлбэрт нь болгоомжтой, хурдан оруулах хэрэгтэй.
Хоёр дахь тэгш бус байдлыг авч үзье.
\[((0.1)^(1-x)) \lt 0.01\]
Тийм болохоор. Аравтын бутархайнууд биднийг энд хүлээж байна. Би олон удаа хэлсэнчлэн, ямар ч эрх мэдэл бүхий илэрхийлэлд та аравтын бутархайг арилгах хэрэгтэй - энэ нь ихэвчлэн хурдан бөгөөд энгийн шийдлийг олж харах цорын ганц арга зам юм. Энд бид дараахь зүйлийг арилгах болно.
\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ баруун))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Баруун сум ((\left(\frac(1)(10) \баруун))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \баруун))^(2)). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Энд дахин бид хамгийн энгийн тэгш бус байдал, тэр ч байтугай 1/10 суурьтай, i.e. нэгээс бага. За, бид суурийг арилгаж, тэмдгийг "бага" -аас "илүү" болгон өөрчилснөөр бид дараахь зүйлийг авна.
\[\эхлэх(эгцлэх) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Бид эцсийн хариултыг авсан: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Анхаарна уу: хариулт нь тодорхой багц бөгөөд ямар ч тохиолдолд $x \lt -1$ хэлбэрийн бүтээн байгуулалт биш юм. Учир нь албан ёсоор ийм бүтээн байгуулалт нь олонлог биш, харин $x$ хувьсагчийн хувьд тэгш бус байдал юм. Тийм ээ, энэ нь маш энгийн, гэхдээ энэ нь хариулт биш юм!
Чухал тэмдэглэл. Энэ тэгш бус байдлыг өөр аргаар шийдэж болох юм - хоёр талыг нэгээс их суурьтай хүч болгон бууруулж болно. Энийг хар даа:
\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Баруун сум ((\зүүн(((10)^(-1)) \баруун))^(1-x)) \ lt ((\зүүн(((10)^(-1)) \баруун))^(2))\Баруун сум ((10)^(-1\cdot \left(1-x \баруун)))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]
Ийм хувиргалт хийсний дараа бид дахин экспоненциал тэгш бус байдлыг олж авах болно, гэхдээ суурь нь 10 > 1. Энэ нь бид аравыг зүгээр л зурж болно гэсэн үг юм - тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөхгүй. Бид авах:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Таны харж байгаагаар хариулт нь яг адилхан байсан. Үүний зэрэгцээ бид тэмдгийг өөрчлөх шаардлагаас өөрийгөө аварч, ямар ч дүрмийг санаж байна :)
\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]
Гэсэн хэдий ч энэ нь таныг айлгахыг бүү зөвшөөр. Шалгуур үзүүлэлтэд юу ч байсан хамаагүй, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх технологи нь өөрөө хэвээр байна. Тиймээс эхлээд 16 = 2 4 гэдгийг тэмдэглэе. Энэ баримтыг харгалзан анхны тэгш бус байдлыг дахин бичье.
\[\эхлэх(зохицуулах) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Өө! Бид ердийн квадрат тэгш бус байдлыг олж авлаа! Суурь нь хоёр буюу нэгээс их тоо тул тэмдэг нь хаана ч өөрчлөгдөөгүй.
Тооны шулуун дээрх функцын тэг
Бид $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ функцийн тэмдгүүдийг цэгцлэв - мэдээжийн хэрэг түүний график нь дээш салбарласан парабол байх тул "нэмэх" байх болно. ” тал дээр. Бид функц нь тэгээс бага байгаа бүс нутгийг сонирхож байна, i.e. $x\in \left(2;5 \right)$ нь анхны бодлогын хариулт юм.
Эцэст нь өөр нэг тэгш бус байдлыг авч үзье:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]
Дахин бид аравтын бутархай суурьтай экспоненциал функцийг харж байна. Энэ бутархайг энгийн бутархай болгон хөрвүүлье:
\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Баруун сум \\ & \Баруун сум ((0 ,2) )^(1+((x)^(2))))=((\зүүн(((5)^(-1)) \баруун))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \баруун)))\төгсгөл(эгц)\]
Энэ тохиолдолд бид өмнө нь өгсөн тайлбарыг ашигласан - бид цаашдын шийдлийг хялбарчлахын тулд суурийг 5>1 тоо болгон бууруулсан. Баруун талдаа ижил зүйлийг хийцгээе:
\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \баруун))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ баруун))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]
Хоёр хувиргалтыг харгалзан анхны тэгш бус байдлыг дахин бичье.
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Баруун сум ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \баруун)))\ge ((5)^(-2))\]
Хоёр талын суурь нь ижил бөгөөд нэгээс давсан. Баруун болон зүүн талд өөр нэр томъёо байхгүй тул бид тавыг "тасалж" маш энгийн илэрхийлэлийг олж авна.
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Эндээс та илүү болгоомжтой байх хэрэгтэй. Олон оюутнууд тэгш бус байдлын хоёр талын квадрат язгуурыг аваад $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$ гэх мэт зүйлийг бичих дуртай. Ямар ч тохиолдолд үүнийг хийж болохгүй. , учир нь яг квадратын үндэс нь модуль бөгөөд ямар ч тохиолдолд анхны хувьсагч биш:
\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\right|\]
Гэсэн хэдий ч модультай ажиллах нь хамгийн таатай туршлага биш, тийм үү? Тиймээс бид ажиллахгүй. Үүний оронд бид зүгээр л бүх нөхцөлийг зүүн тийш шилжүүлж, интервалын аргыг ашиглан ердийн тэгш бус байдлыг шийднэ.
$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\төгсгөл(зохицуулах)$
Бид олж авсан цэгүүдийг тоон шулуун дээр дахин тэмдэглээд тэмдгүүдийг харна.
Анхаарна уу: цэгүүд сүүдэртэй байна Бид хатуу бус тэгш бус байдлыг шийдэж байсан тул график дээрх бүх цэгүүд сүүдэртэй байна. Тиймээс хариулт нь: $x\in \left[ -1;1 \right]$ нь интервал биш харин сегмент юм.
Ерөнхийдөө экспоненциал тэгш бус байдлын хувьд төвөгтэй зүйл байхгүй гэдгийг тэмдэглэхийг хүсч байна. Өнөөдөр бидний хийсэн бүх өөрчлөлтийн утга нь энгийн алгоритм дээр бууж байна.
- Бид бүх зэрэглэлийг бууруулах үндэслэлийг олох;
- $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ хэлбэрийн тэгш бус байдлыг олж авахын тулд хувиргалтыг болгоомжтой хийнэ. Мэдээжийн хэрэг, $x$ ба $n$ хувьсагчийн оронд илүү төвөгтэй функцүүд байж болох ч утга нь өөрчлөгдөхгүй;
- Зэрэглэлийн суурийг хөндлөн зур. Энэ тохиолдолд суурь $a \lt 1$ байвал тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөж болно.
Үнэн хэрэгтээ энэ нь бүх тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх бүх нийтийн алгоритм юм. Мөн энэ сэдвээр танд хэлэх бусад бүх зүйл бол өөрчлөлтийг хялбаршуулж, хурдасгах тодорхой арга техник, заль мэх юм. Бид одоо эдгээр техникүүдийн талаар ярих болно.
оновчтой болгох арга
Өөр нэг тэгш бус байдлын багцыг авч үзье.
\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \баруун))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \баруун))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \right))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \баруун))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]
Тэгвэл тэдний юугаараа онцлог вэ? Тэд хөнгөн. Гэсэн хэдий ч зогсоо! π тоог тодорхой хэмжээнд өсгөсөн үү? Ямар утгагүй юм бэ?
$2\sqrt(3)-3$ тоог хэрхэн хүчирхэг болгох вэ? Эсвэл $3-2\sqrt(2)$? Асуудлын зохиолчид ажилдаа суухаасаа өмнө хэт их долоогоно уусан нь ойлгомжтой.
Үнэндээ эдгээр ажлуудад аймшигтай зүйл байхгүй. Танд сануулъя: экспоненциал функц нь $((a)^(x))$ хэлбэрийн илэрхийлэл бөгөөд $a$ суурь нь нэгээс бусад эерэг тоо юм. π тоо эерэг - бид үүнийг аль хэдийн мэддэг. $2\sqrt(3)-3$ болон $3-2\sqrt(2)$ тоонууд ч эерэг байна - хэрэв та тэдгээрийг тэгтэй харьцуулж үзвэл үүнийг харахад хялбар болно.
Энэ бүх "аймшигтай" тэгш бус байдлыг дээр дурдсан энгийн зүйлсээс ялгаагүй шийдэж байгаа юм болов уу? Мөн тэд адилхан шийдэгдсэн үү? Тийм ээ, энэ үнэхээр зөв. Гэсэн хэдий ч тэдний жишээн дээр би бие даасан ажил, шалгалтын цагийг ихээхэн хэмнэдэг нэг аргыг авч үзэхийг хүсч байна. Бид оновчтой болгох аргын талаар ярих болно. Тиймээс, анхаарал:
$((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ хэлбэрийн аливаа экспоненциал тэгш бус байдал нь $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \) тэгш бус байдалтай тэнцүү байна. баруун) \gt 0 $.
Энэ бол бүхэл бүтэн арга. :) Та өөр төрлийн тоглоом болно гэж бодож байсан уу? Ийм зүйл байхгүй! Гэхдээ нэг мөрөнд шууд утгаар нь бичсэн энэ энгийн баримт нь бидний ажлыг ихээхэн хөнгөвчлөх болно. Энийг хар даа:
\[\эхлэх(матриц) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Дотоод \\ \зүүн(x+7-\зүүн(((x)^(2)) -3x+2 \баруун) \баруун)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \баруун) \gt 0 \\\end(матриц)\]
Тиймээс экспоненциал функц байхгүй болно! Мөн тэмдэг өөрчлөгдсөн эсэхийг санах шаардлагагүй. Гэвч шинэ асуудал гарч ирнэ: \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\] хараал идсэн үржүүлэгчийг яах вэ? π тооны яг ямар утгатай болохыг бид мэдэхгүй. Гэсэн хэдий ч ахмад тодорхой зүйлийг сануулж байх шиг байна:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\ойролцоогоор 3.14... \gt 3\Баруун сум \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]
Ерөнхийдөө π-ийн яг утга нь бидэнд огт хамаагүй - ямар ч тохиолдолд $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 гэдгийг ойлгох нь бидний хувьд чухал юм. $, t.e. Энэ нь эерэг тогтмол бөгөөд тэгш бус байдлын хоёр талыг түүгээр хувааж болно.
\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \баруун) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \баруун) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \зүүн(x-5 \баруун)\зүүн(x+1 \баруун) \lt 0. \\\төгсгөл(эгц)\]
Таны харж байгаагаар тодорхой мөчид бид хасах нэгээр хуваах шаардлагатай болсон бөгөөд тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдсөн. Төгсгөлд нь би квадрат гурвалжийг Виетийн теоремыг ашиглан өргөжүүлсэн - язгуурууд нь $((x)_(1))=5$ ба $((x)_(2))=-1$-тэй тэнцүү байх нь ойлгомжтой. . Дараа нь бүх зүйлийг сонгодог интервалын аргыг ашиглан шийддэг.
Интервалын аргыг ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх Анхны тэгш бус байдал нь хатуу тул бүх оноо хасагдсан. Бид сөрөг утгатай бүс нутгийг сонирхож байгаа тул хариулт нь $x\in \left(-1;5 \right)$ байна. Энэ бол шийдэл. :)
Дараагийн даалгавар руу шилжье:
\[((\left(2\sqrt(3)-3 \баруун))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]
Энд бүх зүйл ерөнхийдөө энгийн, учир нь баруун талд нэгж байдаг. Нэг нь тэг зэрэглэлд хүрсэн ямар ч тоо гэдгийг бид санаж байна. Хэдийгээр энэ тоо нь зүүн талын суурь дахь иррационал илэрхийлэл байсан ч:
\[\эхлэх(эгцлэх) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \баруун))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \баруун))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \right)))^(0)); \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
За, оновчтой болгоё:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \баруун)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \баруун) \lt 0. \\\төгсгөл(эгц)\ ]
Үлдсэн зүйл бол шинж тэмдгийг олж мэдэх явдал юм. $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ хүчин зүйл нь $x$ хувьсагчийг агуулаагүй - энэ нь зүгээр л тогтмол бөгөөд бид түүний тэмдгийг олж мэдэх хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд дараахь зүйлийг анхаарна уу.
\[\begin(матриц) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Дотоод \\ 2\зүүн(\sqrt(3)-2 \баруун) \lt 2\cdot \left(2) -2 \баруун)=0 \\\төгсгөл(матриц)\]
Хоёрдахь хүчин зүйл нь тогтмол биш, харин сөрөг тогтмол юм! Үүнийг хуваахдаа анхны тэгш бус байдлын тэмдэг эсрэгээр өөрчлөгдөнө.
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \баруун) \gt 0. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Одоо бүх зүйл бүрэн тодорхой болж байна. Баруун талын гурвалсан квадратын язгуурууд нь: $((x)_(1))=0$ ба $((x)_(2))=2$. Бид тэдгээрийг тооны мөрөнд тэмдэглээд $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ функцийн тэмдгүүдийг харна:
Бид хажуугийн интервалыг сонирхож байгаа тохиолдол Бид нэмэх тэмдгээр тэмдэглэгдсэн интервалуудыг сонирхож байна. Хариултаа бичих л үлдлээ:
Дараагийн жишээ рүү шилжье:
\[((\left(\frac(1)(3) \баруун))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ баруун))^(16-x))\]
Энд бүх зүйл тодорхой байна: суурь нь ижил тооны хүчийг агуулдаг. Тиймээс би бүгдийг товчхон бичих болно:
\[\begin(матриц) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Доошоо \\ ((\зүүн(((3)^(-1)) \баруун))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \баруун))^(16-x)) \\\төгсгөл(матриц)\]
\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ зүүн(16-x \баруун)); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \баруун) \баруун)\cdot \left(3-1 \баруун) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \зүүн(x+8 \баруун)\зүүн(x-4 \баруун) \lt 0. \\\төгсгөл(эгц)\]
Таны харж байгаагаар хувиргах явцад бид сөрөг тоогоор үржүүлэх шаардлагатай болсон тул тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдсөн. Төгсгөлд нь би дахин Виетийн теоремыг ашиглан квадрат гурвалжийг хүчин зүйл болгон ашигласан. Үүний үр дүнд хариулт нь дараах байх болно: $x\in \left(-8;4 \right)$ - хэн ч үүнийг тоон шугам татаж, цэгүүдийг тэмдэглэж, тэмдгийг тоолж баталгаажуулж болно. Үүний зэрэгцээ бид "иж бүрдэл"-ээс сүүлчийн тэгш бус байдал руу шилжих болно.
\[((\left(3-2\sqrt(2) \баруун))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]
Таны харж байгаагаар суурь дээр дахин иррационал тоо байгаа бөгөөд баруун талд дахин нэгж байна. Тиймээс бид экспоненциал тэгш бус байдлыг дараах байдлаар дахин бичнэ.
\[((\left(3-2\sqrt(2) \баруун))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ баруун))^(0))\]
Бид оновчтой байдлыг ашигладаг:
\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \баруун)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \баруун) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \баруун)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \баруун) \lt 0. \\\төгсгөл(эгц)\ ]
Гэсэн хэдий ч $1-\sqrt(2) \lt 0$ байх нь маш ойлгомжтой, учир нь $\sqrt(2)\ойролцоогоор 1,4... \gt 1$. Тиймээс хоёр дахь хүчин зүйл нь дахин сөрөг тогтмол бөгөөд түүгээр тэгш бус байдлын хоёр талыг хувааж болно.
\[\эхлэх(матриц) \left(3x-((x)^(2))-0 \баруун)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \баруун) \lt 0 \\ \Дотоод \ \\төгсгөл(матриц)\]
\[\эхлэх(зохицуулах) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \баруун) \lt 0. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Өөр суурь руу шилжих
Экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх тусдаа асуудал бол "зөв" суурийг хайх явдал юм. Харамсалтай нь аливаа ажлыг эхлээд харахад юуг үндэс болгон авч, энэ үндэслэлийн зэрэгтэй уялдуулан юу хийх нь тэр бүр тодорхой байдаггүй.
Гэхдээ санаа зовох хэрэггүй: энд ид шид, "нууц" технологи байхгүй. Математикийн хувьд алгоритмчлах боломжгүй аливаа чадварыг дадлага хийх замаар хялбархан хөгжүүлж болно. Гэхдээ үүний тулд та янз бүрийн түвшний нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдэх хэрэгтэй болно. Жишээлбэл, иймэрхүү:
\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \баруун))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \баруун))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \баруун))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \баруун))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ төгсгөл(тэгцүүлэх)\]
Хэцүү үү? Аймшигтай юу? Асфальт дээр тахиа цохихоос хамаагүй амархан! Оролдоод үзье. Эхний тэгш бус байдал:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]
Энд бүх зүйл тодорхой байна гэж би бодож байна:
Бид анхны тэгш бус байдлыг дахин бичиж, бүх зүйлийг хоёр суурь болгон бууруулна.
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Баруун сум \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \баруун)\cdot \left(2-1 \баруун) \lt 0\]
Тийм ээ, тийм ээ, та зөв сонссон: Би дээр дурдсан оновчтой аргыг ашигласан. Одоо бид анхааралтай ажиллах хэрэгтэй: бидэнд бутархай-рациональ тэгш бус байдал байгаа (энэ нь хуваарьт хувьсагчтай тэгш бус байдал) тул аливаа зүйлийг тэгтэй тэнцүүлэхийн өмнө бид бүх зүйлийг нийтлэг хуваагч руу авчирч, тогтмол хүчин зүйлээс салах хэрэгтэй. .
\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \баруун)\cdot \left(2-1 \баруун) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \баруун)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Одоо бид стандарт интервалын аргыг ашиглаж байна. Тоологч тэг: $x=\pm 4$. Зөвхөн $x=0$ үед хуваагч тэг болно. Нийтдээ 3 цэгийг тоон шулуун дээр тэмдэглэх шаардлагатай (тэгш бус байдлын тэмдэг нь хатуу тул бүх цэгүүдийг хавчуулсан). Бид авах:
Илүү төвөгтэй тохиолдол: гурван үндэс Таны таамаглаж байгаачлан сүүдэрлэх нь зүүн талын илэрхийлэл сөрөг утгатай байх интервалуудыг тэмдэглэдэг. Тиймээс эцсийн хариулт нь нэг дор хоёр интервалыг агуулна.
Анхны тэгш бус байдал нь хатуу байсан тул интервалын төгсгөлийг хариултанд оруулаагүй болно. Энэ хариултыг дахин баталгаажуулах шаардлагагүй. Үүнтэй холбогдуулан экспоненциал тэгш бус байдал нь логарифмынхаас хамаагүй хялбар байдаг: ODZ байхгүй, хязгаарлалт байхгүй гэх мэт.
Дараагийн даалгавар руу шилжье:
\[((\left(\frac(1)(3) \баруун))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]
Энд бас асуудал байхгүй, учир нь бид $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$ гэдгийг аль хэдийн мэдэж байгаа тул тэгш бус байдлыг бүхэлд нь дараах байдлаар дахин бичиж болно.
\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((\left(((3)^(-1)) \баруун))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x) ))\Баруун сум ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \баруун) \баруун)\cdot \left(3-1 \баруун)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \right) \right. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Анхаарна уу: гурав дахь мөрөнд би жижиг зүйлд цаг үрэхгүй байхаар шийдсэн бөгөөд тэр даруй бүх зүйлийг (−2) хуваана. Минул эхний хаалтанд орсон (одоо хаа сайгүй давуу тал байгаа), хоёрыг тогтмол хүчин зүйлээр бууруулсан. Бие даасан болон туршилтын ажилд бодит тооцооллыг бэлтгэхдээ яг ийм зүйл хийх ёстой - та үйлдэл, өөрчлөлт бүрийг шууд тайлбарлах шаардлагагүй.
Дараа нь интервалын танил арга хэрэгжиж байна. Тоологч тэг: гэхдээ байхгүй. Учир нь ялгаварлагч сөрөг байх болно. Хариуд нь, хуваагчийг зөвхөн $x=0$ үед л шинэчилнэ - яг л өмнөх үеийнх шиг. За, $x=0$-ийн баруун талд бутархай эерэг утгыг, зүүн талд нь сөрөг утгыг авах нь тодорхой байна. Бид сөрөг утгыг сонирхож байгаа тул эцсийн хариулт нь: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.
\[((\left(0.16 \баруун))^(1+2x))\cdot ((\left(6.25 \баруун))^(x))\ge 1\]
Экспоненциал тэгш бус байдлын аравтын бутархайг юу хийх ёстой вэ? Энэ нь зөв: тэднээс салж, энгийн зүйл болгон хувирга. Энд бид орчуулах болно:
\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Баруун сум ((\зүүн(0.16 \баруун))^(1+2х)) =(\ зүүн(\frac(4)(25) \баруун))^(1+2х)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Баруун сум ((\зүүн(6.25 \баруун))^(x))=((\зүүн(\ frac(25)) (4)\баруун))^(x)). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Тэгэхээр бид экспоненциал функцүүдийн үндэс дээр юу олж авсан бэ? Мөн бид хоёр урвуу тоог авсан:
\[\frac(25)(4)=((\зүүн(\frac(4)(25) \баруун))^(-1))\Баруун сум ((\зүүн(\frac(25)(4) \ баруун))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \баруун))^(-1)) \баруун))^(x))=((\ зүүн(\frac(4)(25) \баруун))^(-x))\]
Тиймээс анхны тэгш бус байдлыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.
\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((\left(\frac(4)(25) \баруун))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \баруун) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \баруун))^(1+2x+\left(-x \баруун)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right)))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \баруун))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \баруун))^(0) ). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Мэдээжийн хэрэг, ижил суурьтай хүчийг үржүүлэхэд тэдгээрийн илтгэгчүүд нэмэгдэх бөгөөд энэ нь хоёр дахь мөрөнд болсон явдал юм. Нэмж дурдахад бид баруун талд байгаа нэгжийг, мөн 4/25-ийн суурь дахь хүч болгон төлөөлсөн. Үлдсэн зүйл бол оновчтой болгох явдал юм:
\[((\left(\frac(4)(25) \баруун))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \баруун))^(0)) \Баруун сум \left(x+1-0 \баруун)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \баруун)\ge 0\]
$\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, i.e. Хоёрдахь хүчин зүйл нь сөрөг тогтмол бөгөөд үүнийг хуваах үед тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөнө.
\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x+1-0\le 0\Баруун сум x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty;-1 \баруун]. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Эцэст нь одоогийн "багц" -ын сүүлчийн тэгш бус байдал:
\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \баруун))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]
Зарчмын хувьд энд байгаа шийдлийн санаа нь тодорхой байна: тэгш бус байдалд орсон бүх экспоненциал функцийг "3" суурь болгон бууруулах ёстой. Гэхдээ үүний тулд та үндэс, хүч чадлын талаар бага зэрэг оролдох хэрэгтэй болно.
\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Эдгээр баримтуудыг харгалзан анхны тэгш бус байдлыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.
\[\эхлэх(эгцлэх) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \баруун))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2))\баруун))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Тооцооллын 2, 3-р мөрөнд анхаарлаа хандуулаарай: тэгш бус байдалтай ямар нэгэн зүйл хийхээсээ өмнө үүнийг хичээлийн эхнээс ярьж байсан хэлбэрт оруулахаа мартуузай: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Хэрэв та зүүн эсвэл баруун талд зарим нэг солгой хүчин зүйл, нэмэлт тогтмол гэх мэт зүйлс байгаа бол, үндэслэлийг үндэслэлтэй болгох, "таслах" боломжгүй! Энэхүү энгийн баримтыг ойлгоогүйн улмаас тоо томшгүй олон ажлыг буруу гүйцэтгэсэн. Экспоненциал болон логарифмын тэгш бус байдлын шинжилгээг дөнгөж эхэлж байх үед би өөрөө оюутнуудтайгаа энэ асуудлыг байнга ажигладаг.
Гэхдээ даалгавар руугаа буцаж орцгооё. Энэ удаад оновчтой үндэслэлгүйгээр хийхийг оролдъё. Санаж үзье: зэрэглэлийн суурь нь нэгээс их байдаг тул гурвалсан тоог зүгээр л зурж болно - тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөхгүй. Бид авах:
\[\эхлэх(зохицуулах) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Тэгээд л болоо. Эцсийн хариулт: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.
Тогтвортой илэрхийллийг тусгаарлаж, хувьсагчийг орлуулах
Эцэст нь хэлэхэд, би бэлтгэлгүй оюутнуудад нэлээд хэцүү болсон дөрвөн экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдэхийг санал болгож байна. Тэдгээрийг даван туулахын тулд та зэрэгтэй ажиллах дүрмийг санах хэрэгтэй. Ялангуяа нийтлэг хүчин зүйлсийг хаалтанд оруулах.
Гэхдээ хамгийн чухал зүйл бол хаалтнаас яг юу гаргаж болохыг ойлгож сурах явдал юм. Ийм илэрхийллийг тогтвортой гэж нэрлэдэг - үүнийг шинэ хувьсагчаар тэмдэглэж, улмаар экспоненциал функцээс салж болно. Тиймээс, даалгавруудыг авч үзье:
\[\эхлэх(зохицуулах) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\зүүн(0.5 \баруун))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768. \\\төгсгөл(эгц)\]
Эхний мөрөөс эхэлцгээе. Энэ тэгш бус байдлыг тусад нь бичье.
\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]
$((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$ гэдгийг анхаарна уу, тиймээс баруун гар талыг дахин бичиж болно:
Тэгш бус байдалд $((5)^(x+1))$-аас бусад экспоненциал функц байхгүй гэдгийг анхаарна уу. Ерөнхийдөө $x$ хувьсагч өөр хаана ч байхгүй тул шинэ хувьсагчийг танилцуулъя: $((5)^(x+1))=t$. Бид дараах бүтээн байгуулалтыг авна.
\[\эхлэх(зохицуулах) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Бид анхны хувьсагч руу буцна ($t=((5)^(x+1))$), мөн тэр үед 1=5 0 гэдгийг санаарай. Бидэнд байгаа:
\[\эхлэх(зохицуулах) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Энэ бол шийдэл! Хариулт: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Хоёр дахь тэгш бус байдал руу шилжье:
\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]
Энд бүх зүйл адилхан. $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ гэдгийг анхаарна уу. Дараа нь зүүн талыг дахин бичиж болно:
\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t\баруун. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10т\ge 90; \\ & t\ge 9\Баруун сум ((3)^(x))\ge 9\Баруун сум ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Баруун сум x\in \left[ 2;+\infty \баруун). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Бодит туршилт, бие даасан ажлын шийдлийг ойролцоогоор ингэж гаргах хэрэгтэй.
За, илүү төвөгтэй зүйлийг туршиж үзье. Жишээлбэл, тэгш бус байдал энд байна:
\[((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]
Энд ямар асуудал байна вэ? Юуны өмнө, зүүн талын экспоненциал функцүүдийн суурь нь өөр: 5 ба 25. Гэхдээ 25 = 5 2, тиймээс эхний гишүүнийг хувиргаж болно:
\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((25)^(x+1.5))=((\left(((5)^(2)) \баруун))^(x+1.5))= ((5) ^(2х+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\төгсгөл(зохицуулах) )\]
Таны харж байгаагаар эхлээд бид бүгдийг нэг суурь дээр авчирсан бөгөөд дараа нь эхний нэр томъёог хоёрдугаарт амархан буулгаж болохыг анзаарсан - та зөвхөн экспонентыг өргөжүүлэх хэрэгтэй. Одоо та шинэ хувьсагчийг аюулгүйгээр оруулж болно: $((5)^(2x+2))=t$, тэгш бус байдлыг бүхэлд нь дараах байдлаар дахин бичих болно.
\[\эхлэх(зохицуулах) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Мөн дахин хэлэхэд ямар ч бэрхшээл гарахгүй! Эцсийн хариулт: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Өнөөдрийн хичээлээр эцсийн тэгш бус байдал руу шилжье.
\[((\left(0.5 \баруун))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768\]
Таны анхаарах ёстой хамгийн эхний зүйл бол мэдээжийн хэрэг эхний түвшний суурь дахь аравтын бутархай юм. Үүнээс салах шаардлагатай бөгөөд нэгэн зэрэг бүх экспоненциал функцийг нэг суурь болох "2" тоонд оруулах хэрэгтэй.
\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Баруун сум ((\зүүн(0.5 \баруун))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \баруун))^(-4х-8))=((2)^(4х+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Баруун сум ((16)^(x+1.5))=((\зүүн(((2)^(4)) \баруун))^( x+ 1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4х+8))-((2)^(4х+6)) \gt 768. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Гайхалтай, бид эхний алхмыг хийлээ - бүх зүйл ижил суурь руу хөтөлсөн. Одоо та тогтвортой илэрхийлэл сонгох хэрэгтэй. $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$ гэдгийг анхаарна уу. Хэрэв бид $((2)^(4x+6))=t$ шинэ хувьсагчийг оруулбал анхны тэгш бус байдлыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.
\[\эхлэх(зохицуулах) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0.5. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Мэдээжийн хэрэг, асуулт гарч ирж магадгүй юм: 256 = 2 8 гэдгийг бид хэрхэн олж мэдсэн бэ? Харамсалтай нь энд та хоёрын хүчийг (мөн гурав ба тавын хүчийг) мэдэх хэрэгтэй. За, эсвэл үр дүн гарах хүртэл 256-г 2-т хуваа (256 бол тэгш тоо тул та хувааж болно). Энэ нь иймэрхүү харагдах болно:
\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =(2)^(8)).\төгсгөл(зохицуулах) )\]
Гурав (9, 27, 81, 243 тоонууд нь түүний градусууд), долоо (49, 343 гэсэн тоонуудыг санахад таатай байх болно) нь мөн адил юм. Тав нь бас "сайхан" зэрэгтэй байдаг бөгөөд үүнийг та мэдэх хэрэгтэй:
\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]
Мэдээжийн хэрэг, хэрэв та хүсвэл эдгээр бүх тоог зүгээр л нэг нэгээр нь үржүүлснээр таны оюун ухаанд сэргэж болно. Гэсэн хэдий ч, та хэд хэдэн экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдэх ёстой бөгөөд дараагийнх бүр нь өмнөхөөсөө илүү хэцүү байвал таны хамгийн сүүлд бодох зүйл бол зарим тоонуудын хүч юм. Энэ утгаараа эдгээр асуудлууд нь интервалын аргаар шийдэгддэг "сонгодог" тэгш бус байдлаас илүү төвөгтэй байдаг.
Белгород улсын их сургууль
Хэлтэс алгебр, тооны онол, геометр
Ажлын сэдэв: Экспоненциал чадлын тэгшитгэл ба тэгш бус байдал.
Төгсөлтийн ажилфизик-математикийн факультетийн оюутан
Шинжлэх ухааны зөвлөх:
______________________________
Шүүгч: ________________________________
________________________
Белгород. 2006 он
| Оршил | 3 | ||
| Сэдэв I. | Судалгааны сэдвээр уран зохиолын дүн шинжилгээ. | ||
| Сэдэв II. | Экспоненциал тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг функцууд ба тэдгээрийн шинж чанарууд. | ||
| I.1. | Эрчим хүчний функц ба түүний шинж чанарууд. | ||
| I.2. | Экспоненциал функц ба түүний шинж чанарууд. | ||
| Сэдэв III. | Экспоненциал чадлын тэгшитгэл, алгоритм, жишээг шийдвэрлэх. | ||
| Сэдэв IV. | Экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх, шийдлийн төлөвлөгөө, жишээ. | ||
| Сэдэв В. | Сургуулийн сурагчидтай "Экспоненциал тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх" сэдвээр хичээл явуулсан туршлага. | ||
| В. 1. | Боловсролын материал. | ||
| В. 2. | Бие даасан шийдлийн асуудлууд. | ||
| Дүгнэлт. | Дүгнэлт, санал. | ||
| Ном зүй. | |||
| Хэрэглээ | |||
Оршил.
“...харж ойлгохын баяр баясгалан...”
А.Эйнштейн.
Энэ бүтээлээрээ би математикийн багшийн туршлагаа, математикийн шинжлэх ухаан, сурган хүмүүжүүлэх ухаан, дидактик, сэтгэл судлал, тэр байтугай гүн ухаан хүртэл гайхалтай уялдаатай хүний хичээл зүтгэл болох түүний хичээлд хандах хандлагыг тодорхой хэмжээгээр илэрхийлэхийг хичээсэн.
Сэтгэцийн эмчийн бүртгэлд хамрагдсан, математикийг үнэхээр сонирхдог хүүхдүүд, төгсөгчид, оюуны хөгжлийн туйлын түвшинд байгаа хүүхдүүдтэй ажиллах боломж надад олдсон.
Надад арга зүйн олон асуудлыг шийдвэрлэх боломж олдсон. Би шийдэж чадсан зүйлсийнхээ талаар ярихыг хичээх болно. Гэхдээ үүнээс ч илүү бүтэлгүйтсэн, тэр ч байтугай шийдэгдсэн юм шиг шинэ асуултууд гарч ирдэг.
Гэхдээ туршлагаас илүү чухал зүйл бол багшийн эргэцүүлэл, эргэлзээ юм: яагаад яг ийм, энэ туршлага байна вэ?
Тэгээд одоо зун өөр болж, боловсролын хөгжил илүү сонирхолтой болсон. Өнөөдөр "Бархасбадь дор" нь "хүн бүр, бүх зүйл" заах домогт оновчтой тогтолцоог эрэлхийлэх биш, харин хүүхэд өөрөө юм. Харин дараа нь - зайлшгүй - багш.
10-11-р ангид сургуулийн алгебрийн хичээл, шинжилгээний эхэн үед ахлах сургуулийн хичээлд орох улсын нэгдсэн шалгалт, их дээд сургуульд элсэх шалгалт өгөхдөө суурь ба илтгэгчийн үл мэдэгдэх зүйлийг агуулсан тэгшитгэл, тэгш бус байдал ажиглагддаг. нь экспоненциал тэгшитгэл ба тэгш бус байдал юм.
Тэд сургуульд бага анхаарал хандуулдаг; сурах бичигт энэ сэдвээр даалгавар бараг байдаггүй. Гэсэн хэдий ч тэдгээрийг шийдвэрлэх арга зүйг эзэмших нь надад маш их хэрэгтэй юм шиг санагдаж байна: энэ нь оюутнуудын сэтгэцийн болон бүтээлч чадварыг нэмэгдүүлж, бидний өмнө цоо шинэ давхрага нээгдэж байна. Асуудлыг шийдвэрлэхдээ оюутнууд судалгааны ажлын анхны ур чадварыг эзэмшиж, математикийн соёлыг баяжуулж, логик сэтгэлгээний чадварыг хөгжүүлдэг. Сургуулийн сурагчид шийдэмгий, зорилго тавих, бие даасан байдал зэрэг зан чанарын шинж чанаруудыг хөгжүүлдэг бөгөөд энэ нь ирээдүйд тэдэнд хэрэгтэй болно. Мөн сургалтын материалыг давтах, өргөжүүлэх, гүнзгийрүүлэх явдал байдаг.
Би курсын ажлаа бичиж, дипломын ажлынхаа энэ сэдвээр ажиллаж эхэлсэн. Энэ сэдвээр математикийн ном зохиолыг гүнзгий судалж, дүн шинжилгээ хийх явцад би экспоненциал тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх хамгийн тохиромжтой аргыг тодорхойлсон.
Энэ нь экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд (суурь нь 0-ээс их байх ёстой) болон ижил тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд (суурь нь 1-ээс их эсвэл 0-ээс их, гэхдээ 1-ээс бага) нийтлэг хүлээн зөвшөөрөгдсөн хандлагаас гадна оршино. , суурь нь сөрөг, 0 ба 1-тэй тэнцүү байх тохиолдолд тохиолдлуудыг мөн авч үзнэ.
Оюутнуудын бичгийн шалгалтын материалд хийсэн дүн шинжилгээ нь сургуулийн сурах бичигт экспоненциал функцийн аргументийн сөрөг утгын талаарх асуултыг тусгаагүй нь тэдэнд хэд хэдэн хүндрэл учруулж, алдаа гаргахад хүргэдэг болохыг харуулж байна. Мөн тэд олж авсан үр дүнг системчлэх үе шатанд асуудалтай тулгардаг бөгөөд тэгшитгэлд шилжсэний үр дагавар буюу тэгш бус байдлын үр дагавар нь гадны үндэс гарч ирж магадгүй юм. Алдааг арилгахын тулд бид анхны тэгшитгэл эсвэл тэгш бус байдал, экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм эсвэл экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх төлөвлөгөөг ашиглан тестийг ашигладаг.
Оюутнууд төгсөлтийн болон элсэлтийн шалгалтаа амжилттай өгөхийн тулд хичээл дээр, эсвэл нэмэлтээр сонгох хичээл, дугуйлан дээр экспоненциал тэгшитгэл, тэгш бус байдлын асуудлыг шийдвэрлэхэд илүү анхаарах шаардлагатай гэж би үзэж байна.
Тиймээс сэдэв , миний дипломын ажил дараах байдлаар тодорхойлогддог: "Экспоненциал чадлын тэгшитгэл ба тэгш бус байдал."
Зорилго Энэ ажлын дотроос:
1. Энэ сэдвээр бичсэн уран зохиолд дүн шинжилгээ хийх.
2. Экспоненциал тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын шийдлийн бүрэн дүн шинжилгээг өг.
3. Энэ сэдвээр янз бүрийн төрлийн хангалттай тооны жишээг өг.
4. Экспоненциал тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх аргуудыг хэрхэн хүлээж авахыг анги, сонгон, дугуйлангийн хичээлээр шалгана. Энэ сэдвийг судлахад тохирох зөвлөмжийг өгнө үү.
Сэдэв Бидний судалгаа бол экспоненциал тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх арга зүйг боловсруулах явдал юм.
Судалгааны зорилго, сэдэв нь дараахь асуудлыг шийдвэрлэхийг шаарддаг.
1. “Экспоненциал чадлын тэгшитгэл ба тэгш бус байдал” сэдвээр уран зохиол судал.
2. Экспоненциал тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх арга техникийг эзэмшинэ.
3. Сургалтын материалыг сонгож, “Экспоненциал тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх” сэдвээр янз бүрийн түвшний дасгалын системийг боловсруул.
Диссертацийн судалгааны явцад экспоненциал тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх янз бүрийн аргыг ашиглах талаар 20 гаруй бүтээлд дүн шинжилгээ хийсэн. Эндээс бид авдаг.
Дипломын ажлын төлөвлөгөө:
Оршил.
Бүлэг I. Судалгааны сэдвээр бичсэн уран зохиолын дүн шинжилгээ.
II бүлэг. Экспоненциал тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг функцууд ба тэдгээрийн шинж чанарууд.
II.1. Эрчим хүчний функц ба түүний шинж чанарууд.
II.2. Экспоненциал функц ба түүний шинж чанарууд.
III бүлэг. Экспоненциал чадлын тэгшитгэл, алгоритм, жишээг шийдвэрлэх.
IV бүлэг. Экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх, шийдлийн төлөвлөгөө, жишээ.
Бүлэг V. Энэ сэдвээр сургуулийн сурагчидтай хичээл хийх туршлага.
1. Сургалтын материал.
2.Бие даан шийдвэрлэх даалгавар.
Дүгнэлт. Дүгнэлт, санал.
Ашигласан уран зохиолын жагсаалт.
I бүлэг уран зохиолд дүн шинжилгээ хийсэн
