Параллелограммд хэдэн тэнцүү өнцөг байдаг вэ? Параллелограммын диагональуудын шинж чанар

1. Параллелограммын тодорхойлолт.

Хэрэв бид хос параллель шугамыг өөр хос зэрэгцээ шугамтай огтолбол эсрэг талууд нь хос хосоороо параллель дөрвөн өнцөгтийг авна.

ABDC ба EFNM дөрвөн өнцөгт (Зураг 224) ВD || AC ба AB || CD;

EF || MN ба EM || ФН.

Эсрэг талууд нь хос хосоороо параллель байх дөрвөн өнцөгтийг параллелограмм гэнэ.

2. Параллелограммын шинж чанарууд.

Теорем. Параллелограммын диагональ нь түүнийг хоёр тэнцүү гурвалжинд хуваана.

ABDC параллелограмм байг (Зураг 225), үүнд AB || CD ба AC || ВД.

Та диагональ нь хоёр тэнцүү гурвалжинд хуваагддаг гэдгийг батлах хэрэгтэй.

CB диагональыг ABDC параллелограммаар зурцгаая. $\Delta$CAB = $\Delta$СДВ гэдгийг баталцгаая.

Хажуугийн NE нь эдгээр гурвалжинд нийтлэг байдаг; ∠ABC = ∠BCD, параллель AB ба CD ба хөндлөн огтлолын CB бүхий дотоод хөндлөн өнцөг; ∠ACB = ∠СВD, мөн адил АС ба BD параллель дотоод хөндлөн өнцгүүд ба секант CB.

Тиймээс $\Дельта$CAB = $\Delta$СДВ.

Үүнтэй адилаар AD диагональ параллелограммыг ACD ба ABD гэсэн хоёр тэнцүү гурвалжинд хуваана гэдгийг баталж болно.

Үр дагавар:

1 . Параллелограммын эсрэг талын өнцөг нь хоорондоо тэнцүү байна.

∠A = ∠D, энэ нь CAB ба CDB гурвалжингийн тэгшитгэлээс үүдэлтэй.

Үүний нэгэн адил, ∠C = ∠B.

2. Параллелограммын эсрэг талууд нь хоорондоо тэнцүү байна.

AB = CD ба AC = BD, учир нь эдгээр нь тэнцүү гурвалжны талууд бөгөөд ижил өнцгүүдийн эсрэг байрладаг.

Теорем 2. Параллелограммын диагональууд нь огтлолцох цэг дээр хоёр хэсэгт хуваагдана.

ABC параллелограммын диагональуудыг BC ба AD гэж үзье (Зураг 226). AO = OD, CO = OB гэдгийг баталцгаая.

Үүнийг хийхийн тулд эсрэг байрлалтай гурвалжнуудыг харьцуулж үзээрэй, жишээлбэл $\Дельта$AOB ба $\Delta$COD.

Эдгээр гурвалжинд AB = CD, параллелограммын эсрэг талууд шиг;

∠1 = ∠2, дотоод өнцгүүд нь параллель AB ба CD ба AD зүсэлттэй хөндлөн хэвтэх;

AB || тул ∠3 = ∠4 ижил шалтгаанаар CD болон SV нь тэдний секант юм.

Үүнээс үзэхэд $\Дельта$AOB = $\Delta$СОД. Мөн тэнцүү гурвалжинд ижил талууд нь ижил өнцгүүдийн эсрэг байрладаг. Тиймээс AO = OD ба CO = OB.

Теорем 3. Параллелограммын нэг талтай зэргэлдээх өнцгүүдийн нийлбэр нь тэнцүү байна 180°.

ABCD параллелограмм дээр бид диагональ АС-ыг зурж ABC ба ADC гэсэн хоёр гурвалжинг авна.

∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (зэрэгцээ шугамын хөндлөн өнцөг) ба АС тал нь нийтлэг байдаг тул гурвалжин тэнцүү байна.
$\Delta$ABC = $\Delta$ADC тэгшитгэлээс харахад AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D байна.

Нэг талтай зэргэлдээх өнцгүүдийн нийлбэр, жишээ нь A ба D өнцгүүд нь параллель шугамуудын нэг талт өнцгийн хувьд 180°-тай тэнцүү байна.

Чухал тэмдэглэл!
1. Хэрэв та томьёоны оронд gobbledygook-г харвал кэшээ цэвэрлэ. Үүнийг хөтөч дээрээ хэрхэн хийх талаар энд бичсэн болно:
2. Өгүүллийг уншиж эхлэхээсээ өмнө манай хөтөчөөс хамгийн хэрэгцээтэй эх сурвалжийг олж мэдэхийг анхаарна уу

1. Параллелограмм

"Параллелограмм" гэсэн нийлмэл үг үү? Мөн үүний цаана маш энгийн дүр байдаг.

За, бид хоёр зэрэгцээ шугам авсан:

Дахиад хоёр хөндлөн гарсан:

Мөн дотор нь параллелограмм байна!

Параллелограмм ямар шинж чанартай байдаг вэ?

Параллелограммын шинж чанарууд.

Өөрөөр хэлбэл, параллелограммыг бодлогод өгвөл та юу ашиглаж болох вэ?

Дараах теорем энэ асуултад хариулна.

Бүгдийг нарийвчлан зурцгаая.

Юу гэсэн үг вэ теоремын эхний цэг? Үнэн хэрэгтээ хэрэв танд параллелограмм байгаа бол та мэдээж хэрэг болно

Хоёрдахь цэг нь хэрэв параллелограмм байгаа бол дахин, мэдээжийн хэрэг:

Эцэст нь, гурав дахь цэг нь хэрэв танд параллелограмм байгаа бол дараахь зүйлийг анхаарч үзээрэй.

Ямар баялаг сонголт байгааг та харж байна уу? Асуудалд юу ашиглах вэ? Даалгаврын асуултанд анхаарлаа төвлөрүүлэхийг хичээ, эсвэл бүгдийг нэг нэгээр нь туршиж үзээрэй - зарим "түлхүүр" хийх болно.

Одоо өөрөөсөө өөр асуулт асууя: бид параллелограммыг "хараар" хэрхэн таних вэ? Дөрвөн өнцөгт юу тохиолдох ёстой вэ, тэгвэл бид түүнд параллелограммын "гарчиг" өгөх эрхтэй байх ёстой вэ?

Параллелограммын хэд хэдэн шинж тэмдэг энэ асуултад хариулдаг.

Параллелограммын шинж тэмдэг.

Анхаар! Эхлэх.

Параллелограмм.

Анхаарна уу: хэрэв та асуудлынхаа дор хаяж нэг тэмдгийг олсон бол танд параллелограмм байгаа нь гарцаагүй бөгөөд та параллелограммын бүх шинж чанарыг ашиглаж болно.

2. Тэгш өнцөгт

Энэ нь танд огт мэдээ биш байх гэж бодож байна

Эхний асуулт: тэгш өнцөгт нь параллелограмм мөн үү?

Мэдээжийн хэрэг! Эцсийн эцэст, тэр байна - санаж байна, бидний тэмдэг 3?

Эндээс мэдээжийн хэрэг тэгш өнцөгт нь аливаа параллелограммын нэгэн адил диагональуудыг огтлолцох цэгээр хагасаар хуваадаг.

Гэхдээ тэгш өнцөгт нь бас нэг онцлог шинж чанартай байдаг.

Тэгш өнцөгт өмч

Энэ өмч яагаад онцгой шинж чанартай байдаг вэ? Учир нь өөр ямар ч параллелограмм тэнцүү диагональ байдаггүй. Үүнийг илүү тодорхой томъёолъё.

Анхаарна уу: тэгш өнцөгт болохын тулд дөрвөн өнцөгт нь эхлээд параллелограмм болж, дараа нь диагональуудын тэгш байдлыг харуулах ёстой.

3. Алмаз

Мөн дахин асуулт: ромб параллелограмм уу, үгүй юу?

Бүтэн баруун талд - параллелограмм, учир нь түүнд болон (бидний онцлог 2-ыг санаарай).

Дахин хэлэхэд ромб нь параллелограмм учраас параллелограммын бүх шинж чанарыг агуулсан байх ёстой. Энэ нь ромбын эсрэг өнцөг нь тэнцүү, эсрэг талууд нь параллель, диагональууд нь огтлолцох цэг дээр хоёр хуваагддаг гэсэн үг юм.

Ромбын шинж чанарууд

Зураг луу хар:

Тэгш өнцөгтийн хувьд эдгээр шинж чанарууд нь ялгаатай, өөрөөр хэлбэл эдгээр шинж чанаруудын хувьд энэ нь зүгээр л параллелограмм биш, харин ромб юм гэж дүгнэж болно.

Алмазны шинж тэмдэг

Мөн дахин анхаарлаа хандуулаарай: диагональ нь перпендикуляр дөрвөн өнцөгт биш, харин параллелограмм байх ёстой. Үүнд итгэлтэй байна:

Үгүй ээ, мэдээжийн хэрэг, түүний диагональууд нь перпендикуляр бөгөөд диагональ нь өнцгийн биссектриса юм. Гэхдээ ... диагональууд нь огтлолцох цэгээр хагас хуваагддаггүй тул - Параллелограмм БИШ, тиймээс ромбус БИШ.

Өөрөөр хэлбэл, дөрвөлжин нь нэгэн зэрэг тэгш өнцөгт ба ромб юм. Юу болсныг харцгаая.

Яагаад гэдэг нь тодорхой байна уу? - ромбус нь А өнцгийн биссектрис бөгөөд энэ нь тэнцүү байна. Энэ нь (мөн түүнчлэн) хоёр өнцөгт хуваагддаг гэсэн үг юм.

За, энэ нь тодорхой байна: тэгш өнцөгтийн диагональууд тэнцүү; Ромбын диагональууд нь перпендикуляр бөгөөд ерөнхийдөө диагональуудын параллелограммыг огтлолцох цэгээр хагасаар хуваадаг.

ДУНДАЖ ТҮВШИН

Дөрвөн өнцөгтийн шинж чанарууд. Параллелограмм

Параллелограммын шинж чанарууд

Анхаар! Үг" Параллелограммын шинж чанарууд"Хэрэв таны даалгавар бол гэсэн үг Байнапараллелограмм, дараа нь дараах бүх зүйлийг ашиглаж болно.

Параллелограммын шинж чанарын тухай теорем.

Аливаа параллелограммд:

Энэ бүхэн яагаад үнэн, өөрөөр хэлбэл үнэн болохыг ойлгоцгооё БИД БАТЛАХ болнотеорем.

Тэгвэл яагаад 1) үнэн гэж?

Хэрэв энэ нь параллелограмм бол:

хөндлөн хэвтэж байна
загалмай шиг хэвтэж байна.

Энэ нь (II шалгуурын дагуу: ба - ерөнхий) гэсэн үг юм.

За, ингээд л болоо! - нотолсон.

Гэхдээ дашрамд хэлэхэд! Бид бас нотолсон 2)!

Яагаад? Гэхдээ (зураг харна уу), өөрөөр хэлбэл, яг учир нь.

Зөвхөн 3 үлдсэн).

Үүнийг хийхийн тулд та хоёр дахь диагональ зурах хэрэгтэй.

Одоо бид үүнийг харж байна - II шинж чанарын дагуу (өнцөг ба тэдгээрийн "хоорон дахь" тал).

Шинж чанар нь батлагдсан! Тэмдгүүд рүү шилжье.

Параллелограммын шинж тэмдэг

Параллелограммын тэмдэг нь дүрс нь параллелограмм гэдгийг "та яаж мэдэх вэ?" Гэсэн асуултанд хариулдаг гэдгийг санаарай.

Дүрсэнд иймэрхүү байна:

Яагаад? Яагаад гэдгийг ойлгоход таатай байх болно - энэ нь хангалттай. Гэхдээ хараарай:

За, бид яагаад 1 тэмдэг үнэн болохыг олж мэдсэн.

За, энэ нь бүр ч хялбар! Дахин диагональ зуръя.

Юу гэсэн үг вэ гэхээр:

БАЭнэ нь бас амархан. Гэхдээ ... өөр!

гэсэн үг, . Хөөх! Гэхдээ бас - секанттай дотоод нэг талт!

Тиймээс энэ нь тийм гэсэн үг юм.

Хэрэв та нөгөө талаас нь харвал дотоод нэг талдаа секанттай! Тиймээс.

Ямар агуу болохыг харж байна уу?!

Мөн дахин энгийн:

Яг адилхан, мөн.

Анхаар:олсон бол ядажТаны асуудалд параллелограммын нэг тэмдэг байгаа бол танд байна ягпараллелограмм ба та ашиглаж болно хүн бүрПараллелограммын шинж чанарууд.

Бүрэн тодорхой болгохын тулд диаграмыг харна уу:

Дөрвөн өнцөгтийн шинж чанарууд. Тэгш өнцөгт.

Тэгш өнцөгтийн шинж чанарууд:

1) цэг нь маш тодорхой байна - эцэст нь 3 () тэмдэг нь зүгээр л биелсэн

Мөн цэг 2) - маш чухал. Тиймээс үүнийг нотолж үзье

Энэ нь хоёр талд (болон - ерөнхий) гэсэн үг юм.

Гурвалжнууд тэнцүү тул гипотенузууд нь тэнцүү байна.

Үүнийг нотолсон!

Диагональуудын тэгш байдал нь бүх параллелограммуудын дунд тэгш өнцөгтийн өвөрмөц шинж чанар юм гэж төсөөлөөд үз дээ. Өөрөөр хэлбэл, энэ мэдэгдэл үнэн юм ^

Яагаад гэдгийг ойлгоцгооё?

Энэ нь (параллелограммын өнцөг гэсэн үг) гэсэн үг юм. Гэхдээ энэ нь параллелограмм гэдгийг дахин нэг удаа санацгаая, тиймээс.

гэсэн үг, . За, мэдээжийн хэрэг, тэд тус бүрдээ ийм байна! Эцсийн эцэст тэд нийтдээ өгөх ёстой!

Тиймээс тэд үүнийг нотолсон параллелограммгэнэт (!) диагональууд тэнцүү болж, дараа нь энэ яг тэгш өнцөгт.

Гэхдээ! Анхаар!Энэ тухай юм параллелограммууд! Зөвхөн хэн ч бишижил диагональтай дөрвөлжин нь тэгш өнцөгт, ба зөвхөнпараллелограмм!

Дөрвөн өнцөгтийн шинж чанарууд. Ромб

Мөн дахин асуулт: ромб параллелограмм уу, үгүй юу?

Бүтэн баруун талд - параллелограмм, учир нь энэ нь (Бидний онцлог 2-ыг санаарай).

Гэхдээ бас онцгой шинж чанарууд байдаг. Үүнийг томъёолъё.

Ромбын шинж чанарууд

Яагаад? Ромб бол параллелограмм учраас диагональуудыг нь хагасаар хуваана.

Яагаад? Тийм ээ, ийм учраас!

Өөрөөр хэлбэл диагональууд нь ромбын булангийн биссектрис болж хувирав.

Тэгш өнцөгтийн нэгэн адил эдгээр шинж чанарууд нь байна өвөрмөц, тэдгээр нь тус бүр нь ромбын тэмдэг юм.

Алмазны шинж тэмдэг.

Яагаад энэ вэ? Тэгээд хараарай,

гэсэн үг хоёулааЭдгээр гурвалжнууд нь ижил өнцөгтүүд юм.

Дөрвөн өнцөгт нь ромб байхын тулд эхлээд параллелограмм "болж", дараа нь 1 эсвэл 2-р шинж чанарыг харуулах ёстой.

Дөрвөн өнцөгтийн шинж чанарууд. Дөрвөлжин

Өөрөөр хэлбэл, дөрвөлжин нь нэгэн зэрэг тэгш өнцөгт ба ромб юм. Юу болсныг харцгаая.

Яагаад гэдэг нь тодорхой байна уу? Квадрат - ромб нь тэнцүү өнцгийн биссектрис юм. Энэ нь (мөн түүнчлэн) хоёр өнцөгт хуваагддаг гэсэн үг юм.

Яагаад? За, зүгээр л Пифагорын теоремыг хэрэглэе...

ХУРААНГУЙ БА ҮНДСЭН Формулууд

Параллелограммын шинж чанарууд:

Эсрэг талууд тэнцүү байна: , .
Эсрэг өнцөг нь тэнцүү байна: , .
Нэг талын өнцгүүдийн нийлбэр нь: , .
Диагональууд нь огтлолцох цэгээр хоёр хэсэгт хуваагдана: .

Тэгш өнцөгтийн шинж чанарууд:

Тэгш өнцөгтийн диагональууд тэнцүү байна: .
Тэгш өнцөгт бол параллелограмм (тэгш өнцөгтийн хувьд параллелограммын бүх шинж чанарууд биелдэг).

Ромбын шинж чанарууд:

Ромбын диагональууд перпендикуляр: .
Ромбын диагональууд нь түүний өнцгийн биссектрис юм: ; ; ; .
Ромб бол параллелограмм юм (ромбын хувьд параллелограммын бүх шинж чанарууд биелдэг).

Дөрвөлжингийн шинж чанарууд:

Квадрат нь ромб ба тэгш өнцөгтийг нэгэн зэрэг илэрхийлдэг тул дөрвөлжингийн хувьд тэгш өнцөгт ба ромбын бүх шинж чанарууд биелдэг. Мөн:

За ингээд сэдэв дууслаа. Хэрэв та эдгээр мөрүүдийг уншиж байгаа бол энэ нь таныг маш дажгүй гэсэн үг юм.

Учир нь хүмүүсийн ердөө 5% нь өөрөө ямар нэг зүйлийг эзэмших чадвартай байдаг. Хэрэв та дуустал нь уншсан бол та энэ 5% -д байна!

Одоо хамгийн чухал зүйл.

Та энэ сэдвээр онолыг ойлгосон. Би давтан хэлье, энэ бол үнэхээр гайхалтай! Та үе тэнгийнхнийхээ дийлэнх олонхоос аль хэдийн илүү болсон.

Асуудал нь энэ нь хангалтгүй байж магадгүй юм ...

Юуны төлөө?

Улсын нэгдсэн шалгалтыг амжилттай өгч, их, дээд сургуульд төсвөөр элссэнийхээ төлөө, ХАМГИЙН ЧУХАЛ насан туршдаа.

Би чамайг юунд ч итгүүлэхгүй, би нэг л зүйлийг хэлье...

Сайн боловсрол эзэмшсэн хүмүүс сураагүй хүмүүсээс хамаагүй их цалин авдаг. Энэ бол статистик.

Гэхдээ энэ нь гол зүйл биш юм.

Хамгийн гол нь тэд ИЛҮҮ АЗ ЖАРГАЛТАЙ байдаг (ийм судалгаанууд байдаг). Магадгүй тэдний өмнө олон боломжууд нээгдэж, амьдрал илүү гэрэл гэгээтэй болж байгаа юм болов уу? Мэдэхгүй...

Гэхдээ өөрийнхөөрөө бод...

Улсын нэгдсэн шалгалтанд бусдаас илүү байж, эцэст нь... аз жаргалтай байхын тулд юу хэрэгтэй вэ?

ЭНЭ СЭДВИЙН АСУУДЛЫГ ШИЙДВЭРЭЭР ГАРАА АВНА.

Шалгалтын үеэр танаас онол асуухгүй.

Танд хэрэгтэй болно цаг хугацааны эсрэг асуудлыг шийдвэрлэх.

Хэрэв та тэдгээрийг шийдэж амжаагүй бол (МАШ ИХ!) Та хаа нэгтээ тэнэг алдаа гаргах нь гарцаагүй, эсвэл зүгээр л цаг зав гарахгүй.

Энэ нь спорттой адил юм - баттай ялахын тулд та үүнийг олон удаа давтах хэрэгтэй.

Хүссэн газраасаа цуглуулгаа олоорой зайлшгүй шийдэл, нарийвчилсан дүн шинжилгээ хийхмөн шийд, шийд, шийд!

Та бидний даалгавруудыг (заавал биш) ашиглаж болно, бид мэдээж санал болгож байна.

Бидний даалгавруудыг илүү сайн ашиглахын тулд та одоо уншиж байгаа YouClever сурах бичгийн ашиглалтын хугацааг уртасгахад туслах хэрэгтэй.

Хэрхэн? Хоёр сонголт байна:

Энэ нийтлэл дэх бүх далд ажлуудын түгжээг тайлах -
Сурах бичгийн бүх 99 өгүүлэлд байгаа бүх далд даалгавруудыг нээх Сурах бичиг худалдаж аваарай - 499 рубль

Тийм ээ, бидний сурах бичигт ийм 99 өгүүлэл байгаа бөгөөд бүх даалгавар, тэдгээрт байгаа бүх далд текстийг шууд нээх боломжтой.

Бүх далд даалгаврууд руу нэвтрэх эрхийг сайтын ашиглалтын хугацаанд олгодог.

Дүгнэж хэлэхэд...

Хэрэв танд бидний даалгавар таалагдахгүй бол бусдыг хайж олоорой. Зөвхөн онол дээр бүү зогс.

“Ойлголоо”, “Би шийдэж чадна” гэдэг бол огт өөр чадвар юм. Танд хоёулаа хэрэгтэй.

Асуудлыг хайж олоод шийдээрэй!

Хотын төсвийн боловсролын байгууллага

Савинская дунд сургууль

Судалгаа

Параллелограмм ба түүний шинэ шинж чанарууд

Гүйцэтгэсэн: 8Б ангийн сурагч

MBOU Савинская дунд сургууль

Кузнецова Светлана, 14 настай

Дарга: математикийн багш

Тулчевская Н.А.

х.Савино

Иваново муж, Орос

2016 он

I. Танилцуулга ______________________________________________________ хуудас 3

II. Параллелограммын түүхээс ___________________________________хуудас 4

III Параллелограммын нэмэлт шинж чанарууд ____________________________хуудас 4

IV. Үл хөдлөх хөрөнгийн баталгаа ______________________________________ хуудас 5

В. Нэмэлт шинж чанарыг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх __________хуудас 8

VI. Параллелограммын шинж чанарыг амьдралд хэрэглэх ___________________хуудас 11

VII. Дүгнэлт ______________________________________________________хуудас 12

VIII. Уран зохиол _________________________________________________13-р хуудас

Оршил

"Тэнцүү оюун санааны дунд

цагт бусад нөхцлийн тэгш байдал

геометр мэддэг хүн илүү"

(Блэйз Паскаль).

Бид геометрийн хичээл дээр “Параллелограмм” сэдвийг судалж байхдаа параллелограммын хоёр шинж чанар, гурван шинж чанарыг судалж үзсэн боловч бодлого шийдэж эхлэхэд энэ нь хангалтгүй байсан.

Надад асуулт байсан: параллелограмм өөр шинж чанартай юу, тэд асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрхэн туслах вэ?

Мөн би параллелограммын нэмэлт шинж чанаруудыг судалж, тэдгээрийг асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрхэн ашиглаж болохыг харуулахаар шийдсэн.

Судалгааны сэдэв : параллелограмм

Судалгааны объект : параллелограммын шинж чанарууд
Ажлын зорилго:

сургуульд судлагдаагүй параллелограммын нэмэлт шинж чанаруудын томъёолол, нотолгоо;

асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд эдгээр шинж чанаруудыг ашиглах.

Даалгаварууд:

Параллелограмм үүссэн түүх, түүний шинж чанарын хөгжлийн түүхийг судлах;

Судалж буй асуудлын талаар нэмэлт ном зохиол хайх;

Параллелограммын нэмэлт шинж чанарыг судалж, батлах;

Асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд эдгээр шинж чанаруудын хэрэглээг харуулах;

Параллелограммын шинж чанарыг амьдралд хэрхэн ашиглах талаар авч үзье.
Судалгааны аргууд:

Боловсролын болон түгээмэл шинжлэх ухааны уран зохиол, интернетийн эх сурвалжтай ажиллах;

Онолын материалыг судлах;

Параллелограммын нэмэлт шинж чанарыг ашиглан шийдэж болох олон асуудлыг тодорхойлох;

Ажиглалт, харьцуулалт, дүн шинжилгээ, аналоги.

Судалгааны үргэлжлэх хугацаа : 3 сар: 2016 оны 1-3 сар

Геометрийн сурах бичигт бид параллелограммын дараах тодорхойлолтыг уншина. Параллелограмм нь эсрэг талууд нь хос хосоороо параллель байдаг дөрвөн өнцөгт юм.

"Параллелограмм" гэдэг үгийг "параллель шугам" гэж орчуулсан (Грек хэлний Parallelos - параллель ба грамм - шугам гэсэн үг) энэ нэр томъёог Евклид нэвтрүүлсэн. Евклид "Элементүүд" номондоо параллелограммын дараах шинж чанаруудыг нотолсон: параллелограммын эсрэг талууд ба өнцөг нь тэнцүү бөгөөд диагональ нь түүнийг хоёр хуваадаг. Евклид параллелограммын огтлолцлын цэгийг дурдаагүй. Зөвхөн Дундад зууны төгсгөлд параллелограммын бүрэн онол бий болсон бөгөөд зөвхөн 17-р зуунд параллелограммын тухай теоремууд сурах бичигт гарч ирсэн нь параллелограммын шинж чанарын тухай Евклидийн теоремоор батлагдсан байдаг.

III Параллелограммын нэмэлт шинж чанарууд

Геометрийн сурах бичигт параллелограммын зөвхөн 2 шинж чанарыг өгсөн болно.

Эсрэг өнцөг ба талууд тэнцүү байна

Параллелограммын диагональууд огтлолцох ба огтлолцлын цэгээр хуваагдана.

Геометрийн янз бүрийн эх сурвалжаас та дараах нэмэлт шинж чанаруудыг олж болно.

Параллелограммын зэргэлдээх өнцгүүдийн нийлбэр нь 180 0 байна

Параллелограммын өнцгийн биссектриса нь түүнээс тэгш өнцөгт гурвалжинг таслав;

Параллелограммын эсрэг өнцгүүдийн биссектриса нь параллель шулуунууд дээр байрладаг;

Параллелограммын зэргэлдээх өнцгүүдийн биссектриса нь зөв өнцгөөр огтлолцдог;

Параллелограммын бүх өнцгийн биссектрис огтлолцохдоо тэгш өнцөгт үүсгэдэг;

Параллелограммын эсрэг талын булангаас ижил диагональ хүртэлх зай тэнцүү байна.

Хэрэв та параллелограммын эсрэг талын оройг эсрэг талуудын дунд цэгүүдтэй холбовол өөр параллелограмм гарч ирнэ.

Параллелограммын диагональуудын квадратуудын нийлбэр нь түүний зэргэлдээх талуудын квадратуудын нийлбэрээс хоёр дахин их байна.

Хэрэв та параллелограммын хоёр эсрэг өнцгөөс өндрийг зурвал тэгш өнцөгтийг авна.

IV Параллелограммын шинж чанарын баталгаа

Параллелограммын зэргэлдээх өнцгүүдийн нийлбэр нь 180 байна 0

Өгсөн:

ABCD - параллелограмм

Нотлох:

A+
B=

Нотолгоо:

А ба
B – BC зэрэгцээ шугамтай дотоод нэг талт өнцөг AD ба секант AB гэсэн үг
A+
B=

Өгөгдсөн: A B C D - параллелограмм,

АК биссектриса
А.

Нотлох: AVK - хоёр талт

Нотолгоо:

1)
1=
3 (МЭӨ дээр хөндлөн хэвтэх AD ба секант АК),

2)
2=
3 учир нь АК нь биссектриса,

1= гэсэн үг
2.

3) ABC - гурвалжны 2 өнцөг тэнцүү тул ижил өнцөгт

. Параллелограммын өнцгийн биссектриса нь түүнээс тэгш өнцөгт гурвалжинг таслав

Өгөгдсөн: ABCD нь параллелограмм,

АК – биссектрис А,

CP - биссектрис C.

Нотлох:АК ║ SR

Нотолгоо:

1) АК нь биссектриса учир 1=2

2) 4=5 учир нь CP - биссектрис

3) 3=1 (хөндлөн хэвтэх өнцөг

МЭӨ ║ МЭ ба АК-секант),

4) A =C (параллелограммын шинж чанараар), 2=3=4=5 гэсэн үг.

4) 3 ба 4-р зүйлээс харахад 1 = 4, эдгээр өнцгүүд нь AK ба CP шулуун шугамууд ба BC зүсэлттэй тохирч байна.

энэ нь AK ║ CP гэсэн үг (шугамуудын параллелизм дээр үндэслэсэн)

. Параллелограммын эсрэг өнцгүүдийн биссектриса нь параллель шулуунууд дээр байрладаг

Параллелограммын зэргэлдээх өнцгүүдийн биссектриса нь зөв өнцгөөр огтлолцоно

Өгөгдсөн: ABCD - параллелограмм,

АК-биссектрис А,

АН-ын биссектрис Д

Нотлох:АН АК.

Нотолгоо:

1) 1=2, учир нь АК - биссектрис

1=2=x, тэгвэл A=2x,

2) 3=4, учир нь D Р – биссектрис

3=4=y, тэгвэл D=2y

3) A + D =180 0, учир нь параллелограммын зэргэлдээх өнцгүүдийн нийлбэр нь 180 байна

2) авч үзэх ОД

1+3=90 0, тэгвэл
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)

5. Параллелограммыг огтлолцох бүх өнцгийн биссектриса нь тэгш өнцөгт үүсгэдэг.

Өгөгдсөн: ABCD - параллелограмм, АК-биссектрис А,

DP-биссектрис D,

CM биссектрис C,

BF - биссектрис В.

Нотлох: KRNS - тэгш өнцөгт

Нотолгоо:

Өмнөх шинж чанарт үндэслэн 8=7=6=5=90 0 ,

KRNS нь тэгш өнцөгт гэсэн үг.

Параллелограммын эсрэг талын булангаас ижил диагональ хүртэлх зай тэнцүү байна.

Өгөгдсөн: ABCD-параллелограмм, АС-диагональ.

VC АС, Д.П. А.С.

Нотлох: BC=DP

Нотолгоо: 1) AB ║ CD ба секант АС-тай орших дотоод хөндлөн огтлолын хувьд DCP = KAB.

2) AKB= CDР (хажуу тал ба хоёр зэргэлдээ өнцгийн дагуу AB=CD CD P=AB K).

Мөн тэнцүү гурвалжинд харгалзах талууд нь тэнцүү бөгөөд энэ нь DP=BK гэсэн үг юм.

Өгөгдсөн: ABCD параллелограмм.

Нотлох: VKDP бол параллелограмм юм.

Нотолгоо:

1) BP=KD (AD=BC, K ба P цэгүүд

Эдгээр талыг хагасаар хуваа)

2) АД ║ KD (AD дээр хэвтэх МЭӨ)

Дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талууд тэнцүү ба параллель байвал дөрвөлжин нь параллелограмм болно.

Хэрэв та параллелограммын хоёр эсрэг өнцгөөс өндрийг зурвал тэгш өнцөгтийг авна.

Өгөгдсөн: ABCD нь параллелограмм юм. BD ба АС нь диагональ юм.

Нотлох: АС 2 +ВД 2 =2(AB 2 + МЭ 2 )

Нотолгоо: 1)АСУУ: А.С. ²=
+

2)Б РД : Б.Д 2 = Б Р 2 + РД 2 (Пифагорын теоремын дагуу)

3) А.С. ²+ Б.Д ²=SK²+А K²+Б Р²+РД ²

4) SC = BP = N(өндөр )

5) АС 2 +БД 2 = Х 2 + А TO 2 + Х 2 +ПД 2

6) Болъё Д K=А P=x, Дараа нь C TOД : Х 2 = CD 2 - X 2 Пифагорын теоремын дагуу )

7) AC²+BД ² = CД 2 - x²+ АК 1 ²+ CD 2 -Х 2 +ПД 2 ,

AC²+BД ²=2СД 2 -2х 2 + А TO 2 +ПД 2

8) А TO=AD+ X, РD=AD- X,

AC²+BД ² =2CD 2 -2х 2 +(МЭ +x) 2 +(МЭ -X) 2 ,

АС²+ IND²=2 ХАМТD²-2 X² +AD 2 +2МЭ X+ X 2 +AD 2 -МЭ 2 X+ X 2 ,
АС²+ IND²=2CD 2 +2МЭ 2 =2(CD 2 +AD 2 ).

В . Эдгээр шинж чанаруудыг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх

Нэг талтай зэргэлдээх параллелограммын хоёр өнцгийн биссектрисын огтлолцох цэг нь эсрэг талд хамаарна. Параллелограммын хамгийн богино тал нь 5 . Түүний том талыг ол.

Өгөгдсөн: ABCD нь параллелограмм,

АК - биссектрис
А,

D K - биссектриса
D , AB=5

Хай: Нар

шийдвэр

Шийдэл

Учир нь АК - биссектрис
Дараа нь ABC нь хоёр талт өнцөг юм.

Учир нь D K - биссектриса
D, тэгвэл DCK - ижил хажуу тал

DC =C K= 5

Дараа нь BC=VC+SC=5+5 = 10

Хариулт: 10

2. Параллелограммын аль нэг өнцгийн биссектриса нь параллелограммын талыг 7 см ба 14 см хэрчмүүдэд хуваавал түүний периметрийг ол.

1 тохиолдол

Өгөгдсөн:
А,

VK=14см, KS=7см

Олно: P параллелограмм

Шийдэл

VS=VK+KS=14+7=21 (см)

Учир нь АК - биссектрис
Дараа нь ABC нь хоёр талт өнцөг юм.

AB=BK= 14 см

Дараа нь P=2 (14+21) =70 (см)

болж байна

Өгөгдсөн: ABCD нь параллелограмм,

D K - биссектриса
Д

VK=14см, KS=7см

Хай: P параллелограмм

Шийдэл

VS=VK+KS=14+7=21 (см)

Учир нь D K - биссектриса
D, тэгвэл DCK - ижил хажуу тал

DC =C K= 7

Дараа нь P= 2 (21+7) = 56 (см)

Хариулт: 70см эсвэл 56см

3. Параллелограммын талууд 10см ба 3см.Том талтай зэргэлдээх хоёр өнцгийн биссектриса нь эсрэг талыг гурван хэрчим болгон хуваана. Эдгээр сегментүүдийг ол.

1 тохиолдол:биссектрис параллелограммын гадна огтлолцоно

Өгөгдсөн: ABCD – параллелограмм, AK – биссектрис
А,

D K - биссектриса
D , AB=3 см, ВС=10 см

Хай: VM, MN, NC

Шийдэл

Учир нь AM - биссектрис
Дараа нь AVM нь хоёр талт өнцөг юм.

Учир нь DN - биссектриса
D, тэгвэл DCN - ижил хажуу тал

DC=CN=3

Тэгвэл MN = 10 – (BM +NC) = 10 – (3+3)=4 см

Тохиолдол 2:биссектрис параллелограмм дотор огтлолцоно

Учир нь AN - биссектрис
Дараа нь ABN нь тэгш өнцөгт юм.

AB=BН = 3 Д

Мөн гүйдэг сараалжыг хаалганы үүдэнд шаардлагатай зайд шилжүүлэх хэрэгтэй

Параллелограммын механизм- дөрвөн бар механизм, холбоосууд нь параллелограмм үүсгэдэг. Үүнийг нугастай механизмаар орчуулах хөдөлгөөнийг хэрэгжүүлэхэд ашигладаг.

Тогтмол холбоос бүхий параллелограмм- нэг холбоос нь хөдөлгөөнгүй, эсрэгээр нь эргэлдэж, хөдөлгөөнгүйтэй зэрэгцээ хэвээр байна. Нэг нэгээр нь холбосон хоёр параллелограммууд нь төгсгөлийн холбоосыг хоёр градусын эрх чөлөөг өгч, хөдөлгөөнгүй холбоостой зэрэгцээ үлдээдэг.

Жишээ нь: автобусны шил арчигч, өргөгч, гурван хөл, өлгүүр, машины түдгэлзүүлэлт.

Тогтмол холбоос бүхий параллелограмм- гурван цэгийн хоорондох зайны тогтмол харьцааг хадгалах параллелограммын шинж чанарыг ашигладаг. Жишээ нь: зургийн пантограф - зургийн масштабыг нэмэгдүүлэх төхөөрөмж.

Ромб- бүх холбоосууд ижил урттай, эсрэг талын хос нугасны ойртох (агшилт) нь бусад хоёр нугасыг салгахад хүргэдэг. Бүх холбоосууд шахалтаар ажилладаг.

Жишээ нь - автомашины алмаз хэлбэртэй үүр, трамвайн пантограф.

Хайчэсвэл X хэлбэрийн механизм, мөн гэж нэрлэдэг Нюрнберг хайч- ромбо хувилбар - дундуур нь нугасаар холбосон хоёр холбоос. Механизмын давуу тал нь нягтрал, энгийн байдал, сул тал нь хоёр гулсах хос байх явдал юм. Цуврал холбосон хоёр (эсвэл түүнээс дээш) ийм механизм нь голд нь алмаз (ууд) үүсгэдэг. Өргөгч болон хүүхдийн тоглоомонд ашигладаг.

VII Дүгнэлт

Бага наснаасаа математикийн чиглэлээр хэн сурч байсан бэ?

тэр анхаарлыг хөгжүүлж, тархиа сургаж,

өөрийн хүсэл эрмэлзэл, тэсвэр тэвчээрийг төлөвшүүлдэг

зорилгодоо хүрэх тууштай байдал

А.Маркушевич

Ажлын явцад би параллелограммын нэмэлт шинж чанарыг нотолсон.

Эдгээр шинж чанаруудыг ашигласнаар та асуудлыг илүү хурдан шийдэж чадна гэдэгт би итгэлтэй байсан.

Би эдгээр шинж чанаруудыг хэрхэн ашиглаж байгааг тодорхой асуудлыг шийдвэрлэх жишээн дээр харуулав.

Манай геометрийн сурах бичигт байдаггүй параллелограммын талаар би маш их зүйлийг сурсан

Параллелограммын шинж чанарыг ашиглах жишээнүүдээс харахад геометрийн мэдлэг нь амьдралд маш чухал гэдэгт би итгэлтэй байсан.

Миний судалгааны ажлын зорилго биеллээ.

Насан туршдаа математикийн тусламжгүйгээр амьдарсан хүний тухай ном хэвлүүлсэн хүнд шагнал олгох болсон нь математикийн мэдлэгийн ач холбогдлын нотолгоо юм. Одоогоор ганц ч хүн энэ шагналыг аваагүй байна.

VIII Уран зохиол

Параллелограмм нь эсрэг талууд нь хос хосоороо параллель байдаг дөрвөн өнцөгт юм. Дараах зурагт ABCD параллелограммыг үзүүлэв. Энэ нь AB тал нь CD талтай, BC тал нь AD талтай параллель байна.

Таны таамаглаж байсанчлан параллелограмм нь гүдгэр дөрвөн өнцөгт юм. Параллелограммын үндсэн шинж чанаруудыг авч үзье.

Параллелограммын шинж чанарууд

1. Параллелограммын эсрэг өнцөг ба эсрэг талууд тэнцүү байна. Энэ өмчийг баталъя - дараах зурагт үзүүлсэн параллелограммыг авч үзье.

Диагональ BD нь үүнийг хоёр тэнцүү гурвалжинд хуваадаг: ABD ба CBD. BC ба AD ба AB ба CD параллель шулуунуудын BD хөндлөн огтлолцол дээр тус тус хөндлөн хэвтэж байгаа тул тэдгээр нь BD тал ба түүнтэй зэргэлдээх хоёр өнцгийн дагуу тэнцүү байна. Тиймээс AB = CD ба
МЭӨ = МЭ. Мөн 1, 2, 3, 4 өнцгүүдийн тэгш байдлаас харахад А өнцөг А = өнцөг1 + өнцөг3 = өнцөг2 + өнцөг4 = өнцөг С болно.

2. Параллелограммын диагональуудыг огтлолцох цэгээр хагасаар хуваана. O цэгийг ABCD параллелограммын АС ба BD диагональуудын огтлолцлын цэг гэж үзье.

Дараа нь AOB гурвалжин ба COD гурвалжин нь хажуу ба хоёр зэргэлдээ өнцгийн дагуу бие биетэйгээ тэнцүү байна. (Эдгээр нь параллелограммын эсрэг талууд тул AB = CD. Мөн өнцөг1 = өнцөг2 ба өнцөг3 = өнцөг4 нь AB ба CD шулуунууд AC ба BD таслагчтай огтлолцох үед хөндлөн өнцөгтэй адил байна.) Эндээс AO = OC гэсэн дүгнэлт гарна. ба OB = OD, үүнийг батлах шаардлагатай.

Бүх үндсэн шинж чанаруудыг дараах гурван зурагт үзүүлэв.

Параллелограммын тухай ойлголт

Тодорхойлолт 1

Параллелограммнь эсрэг талууд нь хоорондоо параллель байрладаг дөрвөн өнцөгт юм (Зураг 1).

Зураг 1.

Параллелограмм нь хоёр үндсэн шинж чанартай байдаг. Тэднийг нотлох баримтгүйгээр авч үзье.

Өмч 1: Параллелограммын эсрэг талууд ба өнцөг нь тэнцүү байна.

Үл хөдлөх хөрөнгө 2: Параллелограммаар зурсан диагональуудыг огтлолцох цэгээр нь хуваана.

Параллелограммын шинж тэмдэг

Параллелограммын гурван шинж чанарыг авч үзээд теорем хэлбэрээр үзүүлье.

Теорем 1

Дөрвөн өнцөгтийн хоёр тал нь хоорондоо тэнцүү ба зэрэгцээ байвал энэ дөрвөн өнцөгт параллелограмм болно.

Баталгаа.

Бидэнд $ABCD$ дөрвөн өнцөгт өгье. Үүнд $AB||CD$ болон $AB=CD$ диагональ $AC$ зуръя (Зураг 2).

Зураг 2.

$AB$ ба $CD$ параллель шулуунууд ба тэдгээрийн $AC$ секантыг авч үзье. Дараа нь

\[\ CAB өнцөг =\ DCA өнцөг \]

хөндлөн огтлолцсон булан шиг.

Гурвалжны тэгш байдлын $I$ шалгуурын дагуу,

Учир нь $AC$ нь тэдний нийтлэг тал бөгөөд нөхцөлөөр $AB=CD$. гэсэн үг

\[\өнцөг DAC=\өнцгийн ACB\]

$AD$ ба $CB$ шулуунууд ба тэдгээрийн секант $AC$-г авч үзье; хэвтэх өнцгүүдийн сүүлчийн тэгшитгэлээр бид $AD||CB$-ийг олж авна.) Иймээс $1$-ийн тодорхойлолтоор энэ дөрвөлжин параллелограмм байна.

Теорем нь батлагдсан.

Теорем 2

Дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талууд нь хоорондоо тэнцүү бол энэ нь параллелограмм юм.

Баталгаа.

Бидэнд $ABCD$ дөрвөн өнцөгт өгье. Үүнд $AD=BC$ ба $AB=CD$ байна. Дотор нь $AC$ диагональ зуръя (Зураг 3).

Зураг 3.

$AD=BC$, $AB=CD$, $AC$ нь нийтлэг тал тул гурвалжны тэгш байдлын $III$ шалгуураар,

\[\гурвалжин DAC=\гурвалжин ACB\]

\[\өнцөг DAC=\өнцгийн ACB\]

$AD$ ба $CB$ шулуунууд ба тэдгээрийн салангид $AC$-ыг авч үзье, хэвтэх өнцгүүдийн хамгийн сүүлчийн тэгшитгэлээр бид $AD||CB$-ийг олж авъя. Тиймээс $1$-ийн тодорхойлолтоор энэ дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм юм.

\[\ өнцөг DCA =\ өнцөг CAB \]

$AB$ ба $CD$ шулуунууд ба тэдгээрийн секант $AC$-ыг авч үзье, хэвтэх өнцгүүдийн сүүлчийн тэгшитгэлээр $AB||CD$-г олж авна. Тиймээс 1-р тодорхойлолтоор энэ дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм юм.

Теорем нь батлагдсан.

Теорем 3

Хэрэв дөрвөн өнцөгт зурсан диагональууд нь огтлолцох цэгээрээ хоёр тэнцүү хэсэгт хуваагдвал энэ дөрвөн өнцөгт параллелограмм болно.

Баталгаа.

Бидэнд $ABCD$ дөрвөн өнцөгт өгье. Дотор нь $AC$ ба $BD$ диагональ зурцгаая. Тэдгээрийг $O$ цэгээр огтолцгооё (Зураг 4).

Зураг 4.

Нөхцөлөөр $BO=OD,\ AO=OC$, $\өнцөг COB=\өнцөг DOA$ босоо байх тул гурвалжны тэгш байдлын $I$ шалгуураар,

\[\гурвалжин BOC=\гурвалжин AOD\]

\[\өнцгийн DBC=\өнцгийн BDA\]

$BC$ ба $AD$ шулуунууд ба тэдгээрийн секант $BD$-ыг авч үзье; хэвтэх өнцгүүдийн сүүлчийн тэгшитгэлээр бид $BC||AD$-ийг олж авна. Мөн $BC=AD$. Тиймээс $1$ теоремоор энэ дөрвөн өнцөгт параллелограмм байна.