Пикийн томъёо
1. Танилцуулга
2. Пикийн томъёо. Үзүүлэн I.
Баталгаа II.
Нотлох баримт Ш.
3. Зорилго.
4. Оройнуудын координатыг ашиглан олон өнцөгтийн талбайн томъёо.
5. Даалгавар.
6. Уран зохиол
Пикийн томъёо.
1. Танилцуулга.
Бид түүхээс мэргэн ухааныг авдаг,
яруу найрагт - ухаан,
математикийн хувьд - ойлголт.
Ф.Бэкон
Зохиол нь энгийн алаг цаасан дээр өрнөнө.
Нүдний хажуугийн дагуух шугамууд нь тор үүсгэдэг бөгөөд нүдний дээд хэсэг нь энэ торны зангилаа юм. Зангилаанууд дээр оройтой олон өнцөгт зурж талбайг нь олъё.
Та үүнийг янз бүрийн аргаар хайж болно. Жишээлбэл, та олон өнцөгтийг нэлээд энгийн хэлбэрт оруулан хайчилж, талбайг нь олж, нэмж болно.
Гэхдээ энд биднийг маш их бэрхшээл хүлээж байна. Зураг нь тэгш өнцөгт, трапец, гурвалжинд амархан хуваагддаг бөгөөд түүний талбайг хүчин чармайлтгүйгээр тооцоолдог.
Хэдийгээр олон өнцөгт нь хангалттай энгийн мэт боловч түүний талбайг тооцоолох нь маш их ажил шаарддаг. Хэрэв олон өнцөгт илүү гоёмсог харагдаж байвал яах вэ? Оройнууд нь торны зангилаанууд дээр байрладаг олон өнцөгтүүдийн талбайг илүү хялбархан тооцоолж болох нь харагдаж байна: тэдгээрийн талбайг олон өнцөгтийн дотор болон хил дээр байрлах зангилааны тоотой холбодог томъёо байдаг. Энэхүү гайхамшигтай бөгөөд энгийн томъёог Pick formula гэж нэрлэдэг.
2. Пикийн томъёо.
Олон өнцөгтийн оройнууд (заавал гүдгэр байх албагүй) бүхэл тооны торны зангилаанууд дээр байрладаг. Дотор нь B торны зангилаанууд оршдог ба хил дээр G зангилаанууд байдаг. Түүний талбай нь B + -тэй тэнцүү гэдгийг баталцгаая 
– 1 (томьёог сонгох).
Үзүүлэн I.
Орой нь бүхэл тоон сүлжээний зангилаанууд дээр байрладаг, өөрөөр хэлбэл бүхэл тоон координаттай олон өнцөгтийг авч үзье.
Бид олон өнцөгтийг торны зангилааны оройтой гурвалжинд хуваадаг бөгөөд дотор болон хажуу талдаа зангилаа байхгүй.
гэж тэмдэглэе:
n- олон өнцөгтийн талуудын тоо;
м– дотор болон хажуу талдаа зангилаа агуулаагүй торны зангилааны оройтой гурвалжны тоо;
B - олон өнцөгт доторх зангилааны тоо,
Г – оройг оруулаад хажуугийн зангилааны тоо.
Эдгээр гурвалжны талбайнууд ижил бөгөөд тэнцүү байна.
Тиймээс олон өнцөгтийн талбай нь байна 
.
180 0 м .
Одоо энэ дүнг өөр аргаар олъё.
Аливаа дотоод зангилааны оройтой өнцгүүдийн нийлбэр нь 360 0 байна.
Дараа нь бүх дотоод зангилааны оройтой өнцгийн нийлбэр нь 360 0 В-тэй тэнцүү байна.
Хажуу талын зангилааны өнцгийн нийт нийлбэр нь орой дээр биш, 180 0 (G -) n).
Олон өнцөгтийн орой дээрх өнцгийн нийлбэр нь 180 0 ( n – 2) .
Бүх гурвалжны өнцгийн нийт нийлбэр нь 360 0 В + 180 0 (G - n) + 180 0 (n – 2).
Тэгэхээр 180 0 м= 360 0 В + 180 0 (G - n) + 180 0 (n – 2),
180 0 м= 360 0 V + 180 0 G – 180 0 n + 180 0 n– 180 0 2,
180 0 м= 360 0 V + 180 0 G – 360 0,
= B + 
– 1 ,
Үүнээс бид олон өнцөгтийн S талбайн илэрхийлэлийг олж авна.
С= B + – 1 ,
Пикийн томъёо гэж нэрлэдэг.
Зураг дээр: B = 24, D = 9, тиймээс,С = 24 + – 1 = 27,5.
Пикийн томъёог ашиглан эхний олон өнцөгтийн талбайг олцгооё.
B = 28 (ногоон цэг);
G = 20 (цэнхэр цэгүүд).
Бид S = авна 
= 37 кв. нэгж
Баталгаа II.
Бүхэл тоон торны зангилааны оройтой M олон өнцөгт бүрт f (M) = тоо онооно. 
, нийлбэрийг M-д хамаарах бүх торны зангилаанууд дээр хийж байгаа бөгөөд өнцөг 
дараах байдлаар тодорхойлогддог. 
= 
олон өнцөгтийн дотоод цэгийн хувьд, 
= 
оройноос бусад хилийн цэгийн хувьд ба – оройн өнцөг, хэрэв энэ зангилаа орой бол. f(M) = гэдгийг харахад амархан 
+ 
= B + – 1. f (M) тоо нь M олон өнцөгтийн талбайтай тэнцүү эсэхийг шалгах хэрэгтэй.
М олон өнцөгтийг торны зангилааны оройтой M 1 ба M 2 олон өнцөгт болгон хуваасан. Дараа нь f (M) = f (M 1) + f (M 2), учир нь зангилаа бүрийн хувьд өнцөг нэмэгддэг. Иймд Пикийн томьёо M, M 1, M 2 олон өнцөгтүүдийн хоёрын хувьд үнэн бол гурав дахь нь ч мөн адил байна.
Хэрэв M нь талуудтай тэгш өнцөгт бол хТэгээд q, торны шугамын дагуу чиглэсэн, дараа нь
f (M) = (p – 1)(q – 1) + 
= pq.
Энэ тохиолдолд Пикийн томъёо хүчинтэй байна. Диагональтай M тэгш өнцөгтийг M 1 ба M 2 гурвалжин болгон хайчилж, f (M) = f (M 1) + f (M 2) ба f (M 1) = f (M 2) гэдгийг ашиглан, Торны шугамын дагуу чиглэсэн хөлтэй ямар ч тэгш өнцөгт гурвалжны Pick томьёоны үнэн зөвийг батлахад хялбар байдаг. Тэгш өнцөгтөөс эдгээр гурвалжнуудын хэд хэдэн хэсгийг хайчилж авснаар та ямар ч гурвалжинг олж авах боломжтой.
Пикийн томъёоны нотолгоог дуусгахын тулд ямар ч олон өнцөгтийг салангид диагональуудаар гурвалжин болгон хувааж болно гэдгийг анхаарах хэрэгтэй.
Нотлох баримт Ш.
Зургийн талбай ба энэ зурагт орсон зангилааны тоо хоорондын хамаарал нь тэгш өнцөгтийн хувьд ялангуяа тод харагдаж байна.
Болъё A B C D- зангилааны оройтой тэгш өнцөгт ба торны шугамын дагуух талууд.
-ээр тэмдэглэе INтэгш өнцөгт дотор байрлах зангилааны тоо ба дамжин Г- түүний хил дээрх зангилааны тоо. Сүлжээг хагас нүдээр баруун тийш, хагас нүдийг доошлуулъя.
Дараа нь тэгш өнцөгтийн нутаг дэвсгэрийг зангилааны хооронд дараах байдлаар "тарааж" болно: тус бүр INзангилаанууд нь шилжсэн сүлжээний бүхэл бүтэн нүдийг "хяндаг" Г– 4 хилийн булангийн бус зангилаа нь хагас нүд, булангийн цэг бүр нь нүдний дөрөвний нэг юм. Тиймээс S тэгш өнцөгтийн талбай нь тэнцүү байна
Тиймээс, торны шугамын дагуу зангилаа, хажуу талдаа оройтой тэгш өнцөгтүүдийн хувьд бид томъёог тогтоосон. 
Энэ томьёо зөвхөн тэгш өнцөгтийн хувьд ч биш, мөн торны зангилааны оройтой дурын олон өнцөгтийн хувьд үнэн болохыг баталцгаая.
-ээр тэмдэглэе С
м
олон өнцөгтийн талбайМ
зангилаанууд дээр оройтой, мөн дамжинП
м
- хэмжээ 
, ХаанаIN
м
- доторх зангилааны тооМ,А Г
м
- хил дээрх зангилааны тоо. Тэгвэл Пикийн томъёог ингэж бичиж болно 
.
Бид томъёоны нотолгоог хэд хэдэн үе шатанд хуваана.
1-р алхам.
Хэрэв олон өнцөгт болМ
торон зангилааны оройнууд нь 2 олон өнцөгт хуваагданаМ
1
Тэгээд М
2
,
Мөн зөвхөн торны зангилаанууд дээр оройтой байна 
. Олон өнцөгт байгМ
олон өнцөгт болгон хуваасанМ
1
Тэгээд М
2
сегментээр зангилааны оройтой AB. Сегмент дээр унахаас бусад бүх зангилааAB,
томъёоны зүүн ба баруун талд тэнцүү хувь нэмэр оруулна. AB сегмент дээр байрлах зангилаануудыг авч үзье.
Хэрэв ийм зангилаа нь A ба B хооронд байрладаг бол (жишээлбэл, C) олон өнцөгтийн хувьдМ
энэ нь дотоод бөгөөд олон өнцөгтийн хувьдМ
1
Тэгээд М
2
- хилийн шугам. Тиймээс түүний оруулсан хувь нэмэрП
м
нь 1-тэй тэнцүү бөгөөд илэрхийлэл бүрт 
Тэгээд 
– 0.5 тус бүр, өөрөөр хэлбэл ийм зангилааны оруулсан хувь нэмэрП
м
Тэгээд 
тэнцүү байна.
А ба В зангилаануудыг авч үзье. Эдгээр нь хоёулангийнх нь хилийн зангилаа юм М, болон төлөө М 1 , М 2 .
Тиймээс эдгээр зангилаа бүрийн хувь нэмэрП
м
0.5 а инчтэй тэнцүү -
нэгж. Энэ нь А ба В зангилааны нийт хувь нэмэр гэсэн үг юмП
м
1-тэй тэнцүү байгаа нь тэдний оруулсан хувь нэмэрээс 1-ээр бага байна .
Гэхдээ 
, А.
Бүх зангилааны нийт "хувь нэмэр" -ээс П м 1-ийг хасах ба -аас 2-ыг хассан бөгөөд энэ нь А ба В зангилааны хувь нэмэрийн зөрүүг нөхдөг.
Тэгэхээр, .
Алхам 2.
Хэрэв олон өнцөгт бол Мторон зангилааны оройнууд нь хоёр олон өнцөгт хуваагдана М 1 Тэгээд М 2 (мөн зангилааны оройтой) ба томъёо нь зарим хоёр олон өнцөгтийн хувьд зөв байна ММ 1 , М 2 , тэгвэл энэ нь мөн гурав дахь олон өнцөгтийн хувьд үнэн юм.
Жишээлбэл, энэ нь үнэн байх болтугайМ
1
Тэгээд М
2
,
тэр бол 
. Дараа нь (эхний алхамаар),
гэхдээ дээр
эхний алхам) сүүлчийн илэрхийлэл нь тэнцүү байнаП
м
,
ба тэгш байдал 
мөн Оргил томьёо байдаг.
Алхам 3.
Торон зангилаанууд дээр оройнууд, торны шугаман дээр байрлах хөлтэй тэгш өнцөгт гурвалжны Пикийн томъёог баталъя.
Гурвалжин ABCтэгш өнцөгт болгон барина A B C D .
Тэгш өнцөгтүүдийн хувьд Пикийн томъёо зөв байна: С A B C D = П A B C D . Эхний алхамын дагуу П A B C D = П ABC + П ACD , П ABC = П ACD , Тэгэхээр П A B C D = 2P ABC . Гэхдээ С A B C D = 2 С ABC . Тийм ч учраас С ABC = П ABC .
Алхам 4.
Пикийн томьёо нь торны зангилааны оройтой дурын гурвалжинд хүчинтэй.
Зургийг судалж үзсэний дараа ойлгоход хялбар болно: ийм гурвалжинг тодорхой тэгш өнцөгтөөс сүлжээний шугамын дагуух талууд, хэд хэдэн тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт гурвалжнуудаас "таслах" замаар олж авч болно. Пикийн томьёо нь тэгш өнцөгт ба тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд үнэн тул (2-р алхамыг санаарай) анхны гурвалжинд ч мөн адил хамаарна.
Хэрэв олон өнцөгтийг торны зангилаанууд дээр оройтой гурвалжин болгон хайчилж чадвал Пикийн томъёо үнэн болохыг бид нотолсон.
3. Зорилго.
Зургийн талбайг ол:
1
.
B=9
G = 4
B=9
G = 5
Энэ сэдэв нь 10-11-р ангийн сурагчдад Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх ажлын хүрээнд сонирхолтой байх болно. Алаг цаасан дээр дүрсэлсэн дүрсийн талбайг тооцоолохдоо Пикийн томьёог ашиглаж болно (энэ ажлыг Улсын нэгдсэн шалгалтын тестийн материалд санал болгосон).
Хичээлийн үеэр
"Математикийн хичээл маш ноцтой юм
боломжийг алдахгүй байх нь ашигтай
үүнийг жаахан зугаатай болго"
(Б. Паскаль)
Багш:Сургуулийн сурах бичгүүдийн асуудалтай адилгүй, ер бусын асуудал байна уу? Тийм ээ, эдгээр нь алаг цаасан дээрх асуудлууд юм. Ийм даалгавар нь Улсын нэгдсэн шалгалтын туршилт, хэмжих материалд байдаг. Ийм бодлогуудын онцлог нь юу вэ, алаг цаасан дээрх асуудлыг ямар арга, техникээр шийддэг вэ? Энэ хичээлээр бид зурсан зургийн талбайг олохтой холбоотой алаг цаасны бодлогуудыг судалж, алаг цаасан дээр зурсан олон өнцөгтийн талбайг хэрхэн тооцоолох талаар сурах болно.
Багш:Судалгааны объект нь алаг цаасан дээрх асуудлууд байх болно.
Бидний судалгааны сэдэв нь алаг цаасан дээрх олон өнцөгтийн талбайг тооцоолох асуудал байх болно.
Мөн судалгааны зорилго нь Оргил томъёо байх болно.
B - олон өнцөгт доторх бүхэл цэгийн тоо
Г - олон өнцөгтийн хил дээрх бүхэл цэгийн тоо
Энэ бол алаг цаасны зангилааны оройтой огтлолцолгүйгээр дурын олон өнцөгтийн талбайг тооцоолох тохиромжтой томъёо юм.
Пик гэж хэн бэ? Оргил Георг Александров (1859-1943) - Австрийн математикч. Томьёог 1899 онд нээсэн.
Багш:Таамаглал дэвшүүлье: Pick томъёогоор тооцоолсон зургийн талбай нь геометрийн томъёогоор тооцоолсон зургийн талбайтай тэнцүү байна.
Алаг цаасан дээрх асуудлыг шийдвэрлэхэд бидэнд геометрийн төсөөлөл, бидний мэддэг маш энгийн мэдээлэл хэрэгтэй болно.
Тэгш өнцөгтийн талбай нь зэргэлдээ талуудын бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна.
Тэгш өнцөгт гурвалжны талбай нь тэгш өнцөг үүсгэх талуудын бүтээгдэхүүний хагастай тэнцүү байна.
Багш:Сүлжээний зангилаа нь сүлжээний шугамууд огтлолцдог цэгүүд юм.
Олон өнцөгтийн дотоод зангилаа нь цэнхэр өнгөтэй байна. Олон өнцөгтийн хил дээрх зангилаанууд нь хүрэн өнгөтэй байна.
Бид зөвхөн бүх орой нь алаг цаасны зангилаанд оршдог олон өнцөгтүүдийг авч үзэх болно.
Багш:Гурвалжингийн судалгаа хийцгээе. Эхлээд Пикийн томъёогоор гурвалжны талбайг тооцоолъё.
IN + Г/2 − 1 , Хаана IN Г- олон өнцөгтийн зааг дээрх бүхэл цэгүүдийн тоо.
B = 34, G = 15,
IN + Г/2 − 1 = 34 + 15 :2 − 1 = 40, 5 Хариулт: 40.5
Багш аа: Одоо геометрийн томъёог ашиглан гурвалжны талбайг тооцоолъё. Алаг цаасан дээр зурсан аливаа гурвалжны талбайг талууд нь зурсан гурвалжны оройг дайран өнгөрдөг тор шугамыг дагаж байгаа тэгш өнцөгт гурвалжин ба тэгш өнцөгтүүдийн талбайн нийлбэр буюу зөрүүгээр дүрслэн хялбархан тооцоолж болно. Оюутнууд дэвтэр дээрээ тооцоо хийдэг. Дараа нь тэдгээрийн үр дүнг самбар дээрх тооцооллын дагуу шалгана уу.
Багш:Судалгааны үр дүнг харьцуулж, дүгнэлт гарга. Pick томъёог ашиглан тооцоолсон зургийн талбай нь геометрийн томъёогоор тооцоолсон зургийн талбайтай тэнцүү болохыг бид олж мэдсэн. Тиймээс таамаглал зөв болсон.
Дараа нь багш геометрийн томъёо, Сонгох томъёог ашиглан "өөрийн" дурын олон өнцөгтийн талбайг тооцоолж, үр дүнг харьцуулахыг санал болгож байна. Математик судлалын вэбсайт дээр та Пикийн томъёогоор "тоглох" боломжтой.
Өгүүллийн төгсгөлд "Пик томьёо ашиглан дурын олон өнцөгтийн талбайг тооцоолох" сэдвээр хийсэн ажлын нэгийг санал болгож байна.
Илүү nжишээ:
Бүхэл оройтой олон өнцөгтийн талбай нь IN + Г/2 − 1 , Хаана INолон өнцөгт доторх бүхэл цэгийн тоо, ба Г- олон өнцөгтийн зааг дээрх бүхэл цэгүүдийн тоо.
B = 10, G = 6,
IN + Г/2 − 1 = 10 + 6 :2 − 1 = 12 ХАРИУЛТ: 12
Багш аа: Дараах асуудлуудыг шийдвэрлэхийг танд санал болгож байна.
Хариулт: 12
Хариулт: 13
Хариулт: 9
Хариулт: 11.5
Хариулт: 4
|
Буцаад урагшаа
Анхаар! Слайдыг урьдчилан үзэх нь зөвхөн мэдээллийн зорилгоор хийгдсэн бөгөөд үзүүлэнгийн бүх шинж чанарыг илэрхийлэхгүй байж болно. Хэрэв та энэ ажлыг сонирхож байвал бүрэн эхээр нь татаж авна уу.
Удирдагчид:
- Могутова Татьяна Михайловна
- Дерюшкина Оксана Валерьевна
Төслийн уриа:
"Хэрэв та сэлж сурахыг хүсч байвал усанд зоригтой ороорой.
Хэрэв та асуудлыг хэрхэн шийдэж сурахыг хүсч байвал тэдгээрийг шийдээрэй."
Д.Поя.
Төслийн сэдвийг сонгох нь санамсаргүй биш юм. "Эс" дээр зурсан олон өнцөгтийн талбайг олох аргууд нь маш сонирхолтой сэдэв юм.
Бид ийм даалгаврыг гүйцэтгэх янз бүрийн аргуудыг мэддэг: нэмэх арга, хасах арга гэх мэт.
Бид энэ сэдвийг маш их сонирхож байсан, бид маш их уран зохиол судалж, маш их баярласандаа сургуулийн сургалтын хөтөлбөрт мэдэгдээгүй өөр аргыг олсон, гэхдээ гайхалтай арга! Австрийн эрдэмтэн, математикч Георг Пикийн гаргасан томьёог ашиглан талбайн тооцоо.
Бид Оргил томъёог судлахаар шийдсэн бөгөөд түүний тусламжтайгаар газар нутгийг олох даалгавруудыг гүйцэтгэхэд маш хялбар болно!
Судалгааны зорилго
1. Сонгох томъёог судлах.
2. Алаг цаасан дээрх олон төрлийн бодлого, эдгээр асуудлыг шийдвэрлэх арга, аргын талаархи мэдлэгийг өргөжүүлэх.
Даалгаварууд:
1. Судалгааны материалыг сонгох, гол, сонирхолтой, ойлгомжтой мэдээллийг сонгох
2. Хүлээн авсан мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийж системчлэх
3. Цуглуулсан материалыг ангийнхандаа танилцуулах ажлын цахим танилцуулга хийх
4. Ажлын үр дүнд үндэслэн дүгнэлт гаргах.
5. Хамгийн сонирхолтой, ойлгомжтой жишээнүүдийг сонго.
Судалгааны аргууд:
1. Загварчлал
2. Барилга
3. Мэдээллийн шинжилгээ, ангилал
4. Харьцуулалт, ерөнхий дүгнэлт
5. Уран зохиолын болон интернетийн эх сурвалжийг судлах
Георг Пик бол Австрийн эрдэмтэн, математикч юм. Пик 1875 онд Вена хотын их сургуульд элсэн орсон. Тэрээр анхны бүтээлээ 17 настайдаа хэвлүүлжээ. Түүний математикийн сонирхлын хүрээ маш өргөн байсан. Түүний 67 бүтээл нь шугаман алгебр, интеграл тооцоо, геометр, функциональ анализ, потенциалын онол зэрэг математикийн олон салбарт зориулагдсан болно.
Олонд танигдсан теорем нь 1899 онд Пикийн бүтээлүүдийн цуглуулгад гарч ирэв.
Энэ теорем нь олны анхаарлыг татаж, энгийн, дэгжин байдлаараа биширч эхлэв.
Алаг цаасан дээр дүрсэлсэн олон өнцөгтийн талбайг тооцоолох томъёо болох Pick's томъёо нь USE болон OGE даалгавруудыг шийдвэрлэхэд тустай. Тийм ч учраас тэр биднийг маш их сонирхож байсан.
Пикийн томъёо нь хослолын геометр ба тооны геометрийн сонгодог үр дүн юм.
Пикийн теоремын дагуу олон өнцөгтийн талбай нь дараахтай тэнцүү байна.
G: 2 + V - 1
Г – олон өнцөгтийн зааг дээрх торны зангилааны тоо
B нь олон өнцөгт доторх торны зангилааны тоо юм.
Юуны өмнө бид торны зангилаа гэж юу болох, тэдгээрийн тоог хэрхэн зөв тооцоолох талаар судлах зорилт тавьсан. Энэ нь маш энгийн зүйл болж хувирав. Хэд хэдэн жишээ хэлье.
Дурын гурвалжинг өгье. Хил дээрх зангилааг улбар шараар, доторх зангилааг цэнхэр өнгөөр дүрсэлсэн байна. Зангилаа олох, тэдгээрийн тоог тоолох нь маш хялбар байдаг.
Энэ тохиолдолд G = 15, V = 35 байна
Жишээ №2Хил дээр 18 зангилаа байдаг, i.e. G = 18, 20 дотор зангилаа, V = 20.
Бас нэг жишээ. Дурын олон өнцөгт өгөгдсөн. Бид хил дээрх зангилааг тоолдог. Тэдгээрийн 14 нь олон өнцөгт дотор 43 зангилаа байдаг.G = 14, V = 43.
Бид эхний даалгавраа дуусгалаа!
Бидний ажлын хоёр дахь үе шат: олон өнцөгтийн талбайг тооцоолох.
Хэд хэдэн жишээг харцгаая.
Жишээ №1.
G = 14, B = 43, S = + 43 – 1 = 49
Жишээ №2.
G = 11, B = 5, S = + 5 – 1 = 9.5
Жишээ №3.
G = 15, B = 22, S = + 22 – 1 = 28.5
Жишээ № 4.
G = 8, B = 16, S = + 16 – 1 = 19
Жишээ №5
G = 10, B = 30, S = + 30 – 1 = 34
Бид таван жишээг 1-2 минут л дүгнэж үзсэн. Пикийн томъёог ашиглан талбайг тооцоолох нь хурдан төдийгүй маш хялбар юм!
Гэхдээ бид маш ноцтой асуулттай тулгарсан:
Пикийн теоремд итгэж болох уу?
Өөр өөр арга ашиглан талбайг тооцоолоход ижил үр дүн гарч байна уу?
Олон өнцөгтийн талбайг Пикийн томьёо болон ердийн аргаар, геометрийн томьёо, гүйцээх эсвэл хэсэг болгон хуваах аргуудыг ашиглан олъё. Бидний олж авсан үр дүн энд байна:
Жишээ №1.
Пикийн томъёог ашиглан олон өнцөгтийн талбайг тооцоолъё.
Хилийн болон дотор талын зангилааны тоог тоолъё. G = 3, V = 6.
Талбайг тооцоолъё: S = 6 + - 1 = 6.5
Олон өнцөгтийг тэгш өнцөгт болгоё. Тэгш өнцөгтийн талбай нь: 3 * 5 = 15, S? = = 3, S? = = 3 , S = = 2.5
S = 15-3-3-2.5 = 6.5
Үр дүн нь адилхан.
Жишээ №2.
G = 4, B = 9, S = 9 + - 1 = 10
Үүнийг тэгш өнцөгт болгон барьцгаая.
Тэгш өнцөгтийн талбай нь: 5 * 4 = 20, S 1 = 2 * 1 = 2, S 2 = 3,
S==2, S==1.5, S==2.5
Тэгш өнцөгтийн талбай нь
S = 20 – 2 – 3 – 2 – 1.5 – 2.5 = 10
Бид дахин ижил үр дүнд хүрсэн.
Өөр нэг жишээг харцгаая.
Жишээ №3
Пикийн томъёогоор талбайг тооцоолъё.
G = 5, B = 6, S = 6 + - 1 = 7.5
Гүйцэтгэх аргыг ашиглан талбайг тооцоолъё.
Тэгш өнцөгтийн талбай нь 5 4 = 20
S 1 = 2 * 1 = 2, S 2 = = 1, S 3 = 2 * 1 = 2, S 4 = = 1, S 5 = = 1, S 6 = = 2.5
S = 20 – 2 -1– 2 – 1 – 1 – 2.5 – 3 = 7.5
Үр дүн нь адилхан.
Танилцуулгад бид гурван жишээг авч үзсэн боловч бодит байдал дээр бид маш олон янзын жишээг харлаа. Үр дүн нь үргэлж ижил байсан: Pick томъёо болон бусад аргуудыг ашиглан талбайг тооцоолоход ижил үр дүн гарна.
Дүгнэлт: Пикийн томъёонд итгэж болно! Энэ нь үнэн зөв үр дүнг өгдөг.
Бид баяртай байна!
Бидний өмнө бас нэг асуулт гарч ирэв: аль тооцооллын арга нь хамгийн оновчтой, ашиглахад хамгийн тохиромжтой вэ?
Энэ асуултад хариулахын тулд өмнөх бүх ажлыг ашиглахад хангалттай. Гэхдээ бидний асуултад эцэст нь хариулах өөр гурван жишээг харцгаая.
Жишээ №2
Жишээ №3
Пикийн томъёог ашиглан хамгийн хачирхалтай хэлбэрийн олон өнцөгтийн талбайг тооцоолоход хялбар байдаг. Нэг жишээг харцгаая:
Дүгнэлт нь тодорхой байна: алаг цаасан дээр дүрсэлсэн олон өнцөгтийн талбайг тооцоолох хамгийн оновчтой арга: Пикийн томъёо!
Оргил томьёог ашиглан олон өнцөгтийн талбайг тооцоолохыг бид та бүхнийг урьж байна.
Хил дээрх зангилааны тоог тооцоол. Тэдгээрийг шараар харуулсан.
Дотор зангилааны тоог тооцоол, улаан.
Үүнийг томъёонд орлуулж, үр дүнг хэлнэ үү. Та нэг минутын дотор талбайг тооцоолсон.
Тиймээс Peak-ийн томъёо нь алаг цаасан дээрх олон өнцөгтийн талбайг тооцоолох бусад аргуудаас хэд хэдэн давуу талтай байдаг.
Олон өнцөгтийн талбайг тооцоолохын тулд та зөвхөн нэг томъёог мэдэх хэрэгтэй.
S = G:2 + V - 1.
Сонгох томъёог санахад маш хялбар байдаг.
Пика томъёо нь маш тохиромжтой бөгөөд хэрэглэхэд хялбар юм.
Талбайг нь тооцоолох шаардлагатай олон өнцөгт нь ямар ч хэлбэртэй, бүр хамгийн хачирхалтай байж болно.
Оргил томьёог ашиглан Улсын нэгдсэн шалгалт болон Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгавруудыг гүйцэтгэхэд хялбар байдаг.
2015 оны Улсын нэгдсэн шалгалтын хувилбаруудаас талбайг тооцоолох хэд хэдэн жишээг өгье.
Бид сургуулийнхаа 9-11-р ангийн сурагчдад Оргил томъёог ашиглахыг заахаар шийдсэн. Бид “Формула Пика” наадам хийсэн.
Бүх сурагчид илтгэлтэй маш сонирхолтой танилцаж, Pick томъёог ашиглаж сурсан.
30 минутын практик ажлын явцад оюутнууд олон тооны даалгавруудыг гүйцэтгэсэн. Сурагч бүр "Пика Формула" санамж бичгийг хүлээн авлаа.
Бид тэдэнд Улсын нэгдсэн шалгалт, улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэхэд нь тусалсан!
Сар ажилласны дараа бид 9-11-р ангийн сурагчдын дунд судалгаа явуулсан.
Дараах асуултуудыг тавьсан.
Асуулт 1:
Пикийн томъёо нь олон өнцөгтийн талбайг тооцоолох оновчтой арга мөн үү?
"Тийм" - оюутнуудын 100%.
Асуулт №2:
Та Pick томъёог ашигладаг уу?
"Тийм" - оюутнуудын 100%
Бидний ажил дэмий хоосон байсангүй! Бид баяртай байна!
Бид төслийнхөө танилцуулгыг интернетэд байршуулсан. Бидний бүтээлийг олон удаа үзсэн, татаж авсан.
Бид “Peak Formula” цомгийн загварыг гаргасан. Манай сургуулийн оюутнууд байнга хэрэглэдэг байсан, ялангуяа эхэндээ.
Төслийн үр дүн:
Төсөл дээр ажиллах явцад бид судалгааны сэдвээр лавлагаа, шинжлэх ухааны түгээмэл ном зохиолуудыг судалсан.
- Бид Пикийн теоремыг судалж, алаг цаасан дээр дүрсэлсэн дүрсүүдийн талбайг энгийн бөгөөд оновчтой олохыг сурсан.
- Бид алаг цаасан дээрх бодлого шийдвэрлэх мэдлэгээ өргөжүүлж, судалж буй асуудлын ангиллыг өөрсдөө тодорхойлж, тэдгээрийн олон талт байдалд итгэлтэй болсон.
- Бид 9-11-р ангийн сурагчдад зориулсан “Формула оргил” наадам зохион байгуулж, энэ томъёогоор талбайг олохыг зааж өгсөн. Бид маш олон сонирхолтой жишээ авсан.
- Бид үе тэнгийнхэндээ туслах зорилгоор цахим үзүүлэнг бүтээсэн.
- Сургуулийн сурагчдын байнга хэрэглэдэг “Оргилын томъёо” цомгийг бид зохион бүтээсэн.
Бидний ажлын оновчтой гэдэгт итгэлтэй байхын тулд таныг хоёр даалгаврыг биелүүлэхийг урьж байна.
Анхаарал тавьсанд баярлалаа!
Өөрөө огтлолцоогүй олон өнцөгтийг бүх орой нь бүхэл тоон координаттай цэгүүдэд (декартын координатын системд) байрладаг бол түүнийг тор гэнэ.
Пикийн теорем
Томъёо
Тэг биш талбайтай хэд хэдэн торны олон өнцөгт өгье.
Түүний талбайг -ээр тэмдэглэе; олон өнцөгт дотор байрлах бүхэл координат бүхий цэгүүдийн тоо - дамжуулан ; олон өнцөгтийн талууд дээр байрлах бүхэл координаттай цэгүүдийн тоо - дамжуулан .
Дараа нь харилцаа дуудагдсан Пикийн томъёо:
Ялангуяа, хэрэв I ба B утгууд нь тодорхой олон өнцөгтийн хувьд мэдэгдэж байгаа бол түүний талбайг оройн координатыг нь мэдэхгүй ч гэсэн тооцоолж болно.
Энэ хамаарлыг 1899 онд Австрийн математикч Георг Александр Пик нээж, баталжээ.
Баталгаа
Баталгаажуулалт нь хэд хэдэн үе шаттайгаар явагдана: хамгийн энгийн дүрсээс дурын олон өнцөгт хүртэл.
Илүү өндөр хэмжигдэхүүнүүдэд ерөнхий ойлголт
Харамсалтай нь энэхүү энгийн бөгөөд үзэсгэлэнтэй Peake томьёо нь илүү өндөр хэмжигдэхүүнүүдэд сайн ерөнхийлдөггүй.
Үүнийг 1957 онд тетраэдрийг (одоо гэж нэрлэдэг) авч үзэхийг санал болгосон Рив тодорхой харуулсан. Ривийн тетраэдр) дараах оройнуудтай:
ямар ч натурал тоо хаана байна. Дараа нь энэ тетраэдр нь дотор нь бүхэл координат бүхий нэг цэг агуулаагүй бөгөөд түүний хил дээр зөвхөн дөрвөн цэг, , , бусад цэгүүд байдаггүй. Тиймээс энэ тетраэдрийн хэмжээ, гадаргуугийн хэмжээ өөр байж болох бөгөөд дотор болон хил дээрх цэгүүдийн тоо өөрчлөгдөөгүй; иймээс Пикийн томьёо нь гурван хэмжээст тохиолдлын хувьд ч ерөнхий дүгнэлт хийхийг зөвшөөрдөггүй.
Гэсэн хэдий ч өндөр хэмжээст орон зайд ижил төстэй ерөнхий ойлголт байсаар байна - энэ Эрхартын олон гишүүнтүүд(Ehrhart олон гишүүнт), гэхдээ тэдгээр нь маш нарийн төвөгтэй бөгөөд зөвхөн зургийн доторх болон хил дээрх цэгүүдийн тооноос хамаардаггүй.
