Хичээлийн зорилго:

Тасралтгүй функцүүдийн шинж чанарт үндэслэн интервалын ерөнхий аргыг үр дүнтэй ашиглах мэдлэг, чадвар, чадварыг хөгжүүлэх;

Тэнцүү хувиргахад хүргэдэг үйлдлийн алгоритмыг боловсруулах;

Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ үүнийг хэрхэн бие даан хэрэглэхийг заах;

Мэдлэг, ур чадвар, чадварыг шинэ нөхцөлд шилжүүлэх.

Боловсрол: мэдлэг, ур чадвар, чадварыг системчлэх, нэгтгэх, нэгтгэх.

Боловсрол: бүрэн хэмжээний тууштай аргумент, үнэн зөв, бие даасан байдлын хэрэгцээг төлөвшүүлэх.

Хөгжүүлэлт: математик логикийг хөгжүүлэх, сэтгэлгээний математик хэв маягийг бий болгох (сэтгэлгээний явцыг тодорхой задлах), танин мэдэхүйн сонирхол.

1) Танилцуулга, хичээлийн зорилго, зорилтыг тодорхойлох - 2 мин.

2) Гэрийн даалгавраа шалгах - 2 мин. (урд талын ажил, өөрийгөө хянах).

3) Интервалын аргыг ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үе шатуудын математик үндэслэл - 4 минут (сурагчийн хариулт).

4) Тэгш бус байдлын шинж чанарыг давтах – 2 мин.

5) Суурь мэдлэгийг давтах, шинэчлэх замаар шинэ сургалтын материалыг эзэмших (судлах) бэлтгэх - 5 мин. (урд ажил, асуултын хариулт, асуудлын нөхцөл байдал).

6) Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх интервалын ерөнхий арга, анхны ойлголт – 13 мин. (Интервалын аргыг ашиглан тэгш бус байдлын хамтын шийдэл: самбар болон дэвтэр дээр).

7) Гэрийн даалгаврын талаархи мэдээлэл, гүйцэтгэх заавар - 1 мин.

8) Шинэ мэдлэгийг нэгтгэх - 15 мин. (бие даасан ажил - сонголт 1).

9) Хичээлийг дүгнэх, эргэцүүлэн бодох - 1 мин.

1) Танилцуулга, хичээлийн зорилго, зорилтыг тодорхойлох. (Багшийн түүх)

1) Сургуульд интервалын аргыг өргөнөөр ашиглах хэрэгцээ нь математик заах бүх үйл явцын үзэл суртлаас үүдэлтэй. Гол нь функциональ шугам (математикийн үндсийг судлах гол шугамуудын нэг) нь хүчирхэг технологийн дэмжлэг авдаг. Интервалын арга нь функцийн тэг, түүний тогтмол тэмдгийн интервал, монотон байдал зэрэг функциональ хамаарлын чухал шинж чанарууд дээр суурилдаг. Дараа нь тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын функциональ гарал үүсэл, тэдгээрийг шийдвэрлэх аргууд илүү тодорхой болно. Функцийн тасралтгүй байдлын категориуд, түүний графикийн хязгааргүй тасалдалтай цэгүүдийн ойролцоох байдал, язгуурын тухай теоремууд, тэмдгийн тогтмол байдал, туйлын цэгүүд, тэдгээрийн төрлүүд илүү тодорхой болно. Энэ бүхэн нь нэг функциональ бүхэл бүтэн органик байдлаар холбогддог.

Нөгөөтэйгүүр, ашигласан судалгааны объектуудын геометризаци нь үнэлж баршгүй ач холбогдолтой, i.e. Ашигласан функциональ хамаарлын математикийн бүх хэрэгслийг нүдээр болон дүрслэлээр илэрхийлнэ.

Интервалын аргын үндсэн зарчмууд:

• функциональ (ерөнхий) хандлага;
• функциональ шинж чанарыг геометржүүлэхэд найдах;
• судалгааны дүрслэл.

Энэ нь ижил төрлийн даалгаварт хэрэглэгддэг бусад аргуудтай харьцуулахад аргын дараах давуу талуудад хүргэдэг: зорилгодоо хүрэх энгийн байдал, хурд; харагдах байдал (мөн хянах эсвэл давхар шалгах чадвар); тооцоолох нөөц, цаг хугацааны хэмнэлт; Нөхцөл байдлыг бүхэлд нь хамрах хүрээ, ерөнхий сэтгэлгээ, дүн шинжилгээ хийх чадварыг бий болгох, хөгжүүлэх, түүнчлэн логик дүгнэлт хийх чадвартай.

2) Гэрийн даалгавраа шалгаж байна.(Слайд №4)

3) Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх интервалын аргын тухай түүх. (Оюутны хариулт).

Интервалын аргыг ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх математик үндэслэл.

1) Тэгш бус байдлыг авч үзье: (x-2)(x-3)>0. (слайдын дугаар 5)

Та үүнийг дараах байдлаар шийдэж болно: Хоёр хүчин зүйлийн үржвэр (хэсэг) нь зөвхөн хоёр хүчин зүйл ижил шинж тэмдэгтэй байвал эерэг байна, өөрөөр хэлбэл. тэгш бус байдал нь хоёр системийн хослолтой тэнцүү байна: (слайд №6)

Эхний системээс бид x >3, хоёр дахь x системээс авна< 2.

Үүний шийдэл нь хоёр системийн шийдлийг нэгтгэх явдал юм.

Хариулт:

График арга (слайдын дугаар 7)

Өөр нэг арга интервалын арга(слайдын дугаар 8).

Түүний санаа дараах байдалтай байна.

Олон гишүүнт (x-2)(x-3)-ын тэгийг (үндэс) тоон мөрөнд тэмдэглэе.

тэгш бус байдлын зүүн талд, i.e. 2 ба 3 дугаар.

Хүчин зүйл бүр эерэг байх тул x >3 (том язгуурын баруун талд) үед (x-2)(x-3)>0 болно.

Хэрэв та тэнхлэгийн дагуу сөрөг чиглэлд шилжих юм бол x=3 цэгээр дамжин өнгөрөхөд (x-3) хүчин зүйл тэмдэг өөрчлөгдөнө. Бүтээгдэхүүнд (x-2)(x-3) нэг сөрөг хүчин зүйл гарч ирэх бөгөөд үүний үр дүнд (x-2)(x-3)<0. При переходе через следующий корень появится еще один отрицательный множитель и произведение (х-2)(х-3)>0.

Одоо тэгш бус байдлын шийдлийг бичихэд хялбар байна:

Дүгнэлт: бүтээгдэхүүн нь зөвхөн x=2 ба x=3 цэгүүдийг дайран өнгөрөхөд тэмдгийг өөрчлөх боломжтой

тиймээс үүссэн интервал бүр дээрх тэмдгийг хадгална.

Энэхүү энгийн жишээнээс харахад интервалын аргын санааг ойлгоход хялбар боловч энэ нь түүний чухал давуу талыг харуулдаггүй.

Дараах жишээнд интервалын аргын оновчтой байдал ба түүний хүчийг авч үзье (слайд No9, 10,11, 12))

2) (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)(x-8)(x-9) тэгш бус байдлыг шийд. ( x-10)>0.

Энэхүү тэгш бус байдлыг олон систем ашиглан шийдвэрлэхийн тулд систем бүрт 10 тэгш бус байдал бүхий 512 системийн багцыг авч үзэх хэрэгтэй.

Интервалын аргыг ашиглая. Олон гишүүнтийн тэгийг тоон шулуун дээр тэмдэглэе. X>10 интервал дээр олон гишүүнт эерэг байх болно, учир нь хүчин зүйл бүр эерэг байна. Дараагийн үндэс бүрээр дамжих үед олон гишүүнт тэмдэг өөрчлөгдөнө, учир нь бүтээгдэхүүнд нэмэлт сөрөг хүчин зүйл гарч ирнэ. Одоо тэгш бус байдлын шийдлийг ээлжлэн тэмдэглэгээ ашиглан бичихэд хялбар болсон.

Интервалын аргын давуу тал.

• зорилгодоо хүрэх энгийн байдал, хурд;
• харагдах байдал (мөн хянах эсвэл давхар шалгах чадвар);
• тооцооллын ажлын хэмжээ, цаг хугацааны мэдэгдэхүйц бууралт;
• нөхцөл байдлыг бүхэлд нь хамрах хүрээ;
• ерөнхий сэтгэлгээ, дүн шинжилгээ хийх чадварыг бий болгох, хөгжүүлэх, түүнчлэн логик дүгнэлт хийх чадвартай.

Сэтгэгдэл. Тэг (үндэс) олоход хэцүү биш тул зүүн тал нь хүчин зүйлээр тооцогдох тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд маш тохиромжтой.

Даалгавар: Интервалын аргыг ашиглан тэгш бус байдлыг шийд (x+3) 3 (x-4) 2 (x-5)>0(Слайд 13)

4) Тэгш бус байдлын шинж чанарыг давтах.

a) Асуулт: Ямар тэгш бус байдлыг эквивалент гэж нэрлэдэг вэ?

(Эхний тэгш бус байдлын аль нэг шийдэл нь хоёр дахь, харин эсрэгээр хоёр дахь тэгш бус байдлын аль нэг шийдэл нь эхнийх нь шийдэл байвал хоёр тэгш бус байдлыг тэнцүү гэж нэрлэдэг).

Эсвэл: шийдлийн олонлог давхцаж байвал хоёр тэгш бус байдлыг эквивалент гэнэ.

Слайд 14. Тэгш бус байдлын шинж чанарыг давтах.

Слайд 15. Асуултанд хариулж, тайлбарла.

Тэгш бус байдал нь тэнцүү юу?

1) 4х-5<0 и 4х<5

2) -2x+5>0 ба 2х-5<0

3) -3х 2 +5х-7>0 ба 3х 2 -5х+7<0

4) (x+1)>0 ба (x 2 +5x+10)(x+1)>0

5) Суурь мэдлэгийг давтах, шинэчлэх замаар шинэ боловсролын материалыг өөртөө шингээхэд бэлтгэх (судлах) аман урд талын ажил.

Слайд 16. Цэг дэх тасралтгүй функцийн тодорхойлолт.

Слайд 17. Тасралтгүй функцүүдийн шинж чанар.

Слайд 18. Тасралтгүй байдлын интервалыг ол.

Слайд 19. Алдааг ол.

Слайд 20. Тэгш бус байдлыг амаар шийдвэрлэх,
график ашиглан.

Слайд 21, 22. Тэгш бус байдлыг эквивалент нөхцлөөр солих.

Тэгш бус байдлыг шийдэх

Энэ тэгш бус байдал нь f(x) нөхцөлтэй тэнцүү байна. < 0, тоолж байна

Тиймээс бид f(x) нөхцөл хангагдсан x-ийн бүх утгыг олох хэрэгтэй < 0.

6) Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх интервалын ерөнхий арга, анхны ойлголт – 10 мин. (Интервалын аргыг ашиглан тэгш бус байдлын хамтын шийдэл: самбар болон дэвтэр дээр).

Слайд 23. Алгоритм. Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх ерөнхий арга.

f(x)>0, f(x) тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх > 0, f(x)<0, f(x)< 0 интервалын аргаар. (Схем)

Слайд 24 ба 25. Алгоритм ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх. (Алгоритмын бүх цэгүүдэд тайлбар).

Слайд 26. Энэхүү тэгш бус байдлын шийдлийн график дүрслэл.

Слайд 27. Тэгш бус байдлыг самбар болон дэвтэр дээр гарга .

Слайд 28. Энэ тэгш бус байдлын шийдлийн график дүрслэл.

Слайд 29. Тэгш бус байдлыг самбар болон дэвтэр дээр гарга

Слайд 30. Энэ тэгш бус байдлын шийдлийн график дүрслэл.

Слайд 31, 32. Зураг ашиглан тэгш бус байдлыг амаар шийд

7) Гэрийн даалгаврын талаархи мэдээлэл.(Интервалын аргаар шийднэ сонголт №2)

8) Шинэ мэдлэгийг нэгтгэх (бие даасан ажил, сонголт No1).

9) Хичээлийг дүгнэж, бэлэн шийдлүүдийг ашиглан өөрийгөө хянах (слайд 33, 34, 35), ерөнхий интервалын аргын алгоритмыг давтах, түүний хэрэглээ.

10) Оюутны сурлагын дүн шинжилгээ, сэдвийн сонирхол.Энэ арга нь рационал, модуль, иррационал, экспоненциал, логарифм гэх мэт аливаа тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд түгээмэл байдаг, учир нь интервалын арга нь тэгшитгэлийн шийдлийг тэгшитгэлийн шийдэл болгон бууруулж өгдөг; тодорхойлолтын хүрээ, цэг дэх функцийн утгыг олох. хүндрэл учруулахгүй. Гэхдээ энэ аргыг ашиглах нь үндэслэлгүй, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх өөр аргыг ашиглах нь илүү оновчтой байдаг тэгш бус байдлын жишээг би өгөх ёстой байсан.

"Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд тасралтгүй байдлын хэрэглээ" танилцуулга. (35 слайд)

Функцийн тасралтгүй байдал. Хагарлын цэгүүд.

Бух алхаж, ганхаж, санаа алдан:
- Өө, самбар дуусч байна, би одоо унах болно!

Энэ хичээлээр бид функцийн тасралтгүй байдлын тухай ойлголт, тасалдлын цэгүүдийн ангилал, нийтлэг практик асуудлыг авч үзэх болно. функцүүдийн тасралтгүй байдлын судалгаа. Сэдвийн нэрнээс харахад олон хүн юу хэлэлцэхийг зөн совингоор таамаглаж, материалыг маш энгийн гэж боддог. Энэ бол үнэн. Гэхдээ энэ нь ихэвчлэн үл тоомсорлож, тэдгээрийг шийдвэрлэх өнгөц байдлаар шийтгэгддэг энгийн ажлууд юм. Тиймээс би нийтлэлийг сайтар судалж, бүх нарийн ширийн зүйл, арга техникийг олж авахыг зөвлөж байна.

Та юу мэдэж, чаддаг байх хэрэгтэй вэ?Нэг их биш. Хичээлийг сайн сурахын тулд энэ нь юу болохыг ойлгох хэрэгтэй функцийн хязгаар. Бэлтгэл багатай уншигчдын хувьд нийтлэлийг ойлгоход хангалттай Функцийн хязгаарлалт. Шийдлийн жишээмөн гарын авлага дахь хязгаарын геометрийн утгыг харна уу График ба энгийн функцүүдийн шинж чанарууд. Мөн танилцахыг зөвлөж байна графикийн геометрийн хувиргалт, ихэнх тохиолдолд дадлага хийх нь зураг зурахтай холбоотой байдаг. Ирээдүй нь хүн бүрт өөдрөг байна, тэр ч байтугай бүтэн данх ч гэсэн дараагийн эсвэл хоёр цагийн дотор даалгавраа өөрөө даван туулах боломжтой болно!

Функцийн тасралтгүй байдал. Хугарлын цэгүүд ба тэдгээрийн ангилал

Функцийн тасралтгүй байдлын тухай ойлголт

Бүх тооны шулуун дээр үргэлжилдэг зарим функцийг авч үзье.

Эсвэл илүү товчоор хэлбэл, бидний функц тасралтгүй (бодит тооны олонлог) дээр байна.

Тасралтгүй байдлын "филист" шалгуур нь юу вэ? Үргэлжилсэн функцийн графикийг цаасан дээрээс харандаа өргөхгүйгээр зурж болох нь ойлгомжтой.

Энэ тохиолдолд хоёр энгийн ойлголтыг тодорхой ялгах хэрэгтэй. функцийн домэйнТэгээд функцын тасралтгүй байдал. Ерөнхийдөө энэ нь ижил зүйл биш юм. Жишээлбэл:

Энэ функц нь бүх тооны мөрөнд тодорхойлогддог, өөрөөр хэлбэл for хүн бүр"Х"-ийн утга нь "y" гэсэн өөрийн гэсэн утгатай. Тодруулбал, хэрэв , дараа нь . Функцийн тодорхойлолтоор аргументийн утга нь дараахтай тохирч байх ёстой тул нөгөө цэг нь таслалтай гэдгийг анхаарна уу. цорын ганц зүйлфункцийн утга. Тиймээс, домэйнбидний үүрэг: .

Гэсэн хэдий ч Энэ функц тасралтгүй ажиллахгүй!Энэ үед тэр зовж байгаа нь илт байна цоорхой. Энэ нэр томъёо нь бас ойлгомжтой бөгөөд харагдахуйц бөгөөд энд харандааг ямар ч байсан цаасан дээрээс урах хэрэгтэй болно. Хэсэг хугацааны дараа бид таслах цэгийн ангиллыг авч үзэх болно.

Нэг цэг ба интервал дээрх функцийн тасралтгүй байдал

Математикийн тодорхой бодлогод бид цэг дээрх функцын тасралтгүй байдал, интервал дээрх функцийн тасралтгүй байдал, хагас интервал эсвэл сегмент дэх функцийн тасралтгүй байдлын тухай ярьж болно. Тэр бол, "зөвхөн тасралтгүй байдал" гэж байдаггүй– функц нь хаа нэгтээ тасралтгүй байж болно. Мөн бусад бүх зүйлийн үндсэн "барилгын материал" нь юм функцийн тасралтгүй байдал цэг дээр .

Математик анализын онол нь "дельта" ба "эпсилон" хөршүүдийг ашиглан цэг дээрх функцын тасралтгүй байдлын тодорхойлолтыг өгдөг боловч практикт хэрэглэгдэх өөр тодорхойлолт байдаг бөгөөд бид үүнийг анхаарч үзэх болно.

Эхлээд санацгаая нэг талын хязгаарлалтЭхний хичээлээр бидний амьдралд нэвтэрсэн хүмүүс функцын графикийн тухай. Өдөр тутмын нөхцөл байдлыг авч үзье:

Хэрэв бид тэнхлэгийг цэг рүү ойртуулах юм бол зүүн(улаан сум), дараа нь "тоглоом" -ын харгалзах утгууд нь тэнхлэгийн дагуу цэг рүү (час улаан сум) очно. Математикийн хувьд энэ баримтыг ашиглан тогтоодог зүүн гар талын хязгаар:

Оруулсан зүйлд анхаарлаа хандуулаарай (зүүн талд "x tends to ka" гэж уншина). "Нэмэлт" "хасах тэг" нь бэлгэддэг , үндсэндээ энэ нь бид зүүн талаас тоо руу ойртож байна гэсэн үг юм.

Үүний нэгэн адил, хэрэв та "ка" цэг рүү ойртвол баруун талд(цэнхэр сум), дараа нь "тоглоомууд" ижил утгатай болно, гэхдээ ногоон сумны дагуу, мөн баруун гар талын хязгаардараах байдлаар форматлагдсан болно.

"Нэмэлт" нь бэлгэддэг , мөн оруулга нь: "х баруун талд ka руу хандлагатай байна."

Хэрэв нэг талт хязгаар хязгаарлагдмал ба тэнцүү бол(бидний тохиолдол шиг): , тэгвэл бид ЕРӨНХИЙ хязгаар байгаа гэж хэлэх болно. Энэ нь энгийн, ерөнхий хязгаарлалт бол бидний "ердийн" функцийн хязгаар, төгсгөлтэй тоотой тэнцүү.

Хэрэв функц тодорхойлогдоогүй бол (график мөчир дээрх хар цэгийг цухуйлгавал) дээрх тооцоолол хүчинтэй хэвээр байгааг анхаарна уу. Хэд хэдэн удаа, ялангуяа нийтлэлд дурдсанчлан хязгааргүй жижиг функцууд дээр, илэрхийлэл нь "x" гэсэн утгатай хязгааргүй ойрхонцэгт ойртдог, харин ХАМААГҮЙ, функц өөрөө өгөгдсөн цэг дээр тодорхойлогдсон эсэх. Үүний сайн жишээг дараагийн догол мөрөнд функцэд дүн шинжилгээ хийх үед олох болно.

Тодорхойлолт: Тухайн цэг дэх функцийн хязгаар нь тухайн цэг дэх функцийн утгатай тэнцүү бол функц тухайн цэг дээр тасралтгүй байна: .

Тодорхойлолтыг дараах нэр томъёонд дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно.

1) Функц нь тухайн цэг дээр тодорхойлогдсон байх ёстой, өөрөөр хэлбэл утга нь байх ёстой.

2) Функцийн ерөнхий хязгаар байх ёстой. Дээр дурдсанчлан, энэ нь нэг талын хязгаарлалтын оршин тогтнох, тэгш байдлыг илэрхийлдэг. .

3) Өгөгдсөн цэг дэх функцийн хязгаар нь энэ цэг дэх функцийн утгатай тэнцүү байх ёстой: .

Хэрэв зөрчсөн бол ядаж нэггурван нөхцлийн аль нэг цэг дээр функц тасралтгүй байх шинж чанараа алддаг.

Интервал дахь функцийн тасралтгүй байдаловсгоотой бөгөөд маш энгийнээр томъёолсон: Хэрэв функц өгөгдсөн интервалын цэг бүрт тасралтгүй байвал тухайн интервал дээр тасралтгүй байна.

Ялангуяа олон функц нь хязгааргүй интервал дээр, өөрөөр хэлбэл бодит тооны олонлог дээр тасралтгүй байдаг. Энэ нь шугаман функц, олон гишүүнт, экспоненциал, синус, косинус гэх мэт. Ерөнхийдөө аливаа үндсэн функцдээр нь тасралтгүй тодорхойлолтын домэйнжишээлбэл, логарифм функц нь интервал дээр тасралтгүй байна. Одоо та үндсэн функцүүдийн график ямар байх талаар нэлээд сайн ойлголттой болсон гэж найдаж байна. Тэдний тасралтгүй байдлын талаар илүү дэлгэрэнгүй мэдээллийг Фихтенхольц хэмээх эелдэг хүнээс авах боломжтой.

Сегмент болон хагас интервал дээрх функцийн тасралтгүй байдлын хувьд бүх зүйл хэцүү биш боловч энэ талаар хичээл дээр ярих нь илүү тохиромжтой. сегмент дээрх функцийн хамгийн бага ба хамгийн их утгыг олох тухай, гэхдээ одоохондоо үүнд санаа зовох хэрэггүй.

Хагарлын цэгүүдийн ангилал

Функцуудын сэтгэл татам амьдрал нь бүх төрлийн онцгой цэгүүдээр баялаг бөгөөд эвдрэх цэгүүд нь тэдний намтар түүхийн зөвхөн нэг хуудас юм.

Анхаарна уу : ямар ч тохиолдолд би энгийн зүйл дээр анхаарлаа хандуулъя: таслах цэг нь үргэлж байдаг ганц цэг- "дараалан хэд хэдэн завсарлага" байхгүй, өөрөөр хэлбэл "завсарлага" гэж байдаггүй.

Эдгээр цэгүүд нь эргээд хоёр том бүлэгт хуваагддаг. Эхний төрлийн хагаралТэгээд хоёр дахь төрлийн хагарал. Цоорхойн төрөл бүр өөрийн гэсэн онцлог шинж чанартай байдаг бөгөөд бид яг одоо авч үзэх болно.

Эхний төрлийн тасалдал

Тасралтгүй байдлын нөхцөл нь тодорхой цэгт зөрчигдсөн бол ба нэг талын хязгаарлалт хязгаарлагдмал , дараа нь үүнийг дууддаг Эхний төрлийн тасалдалтын цэг.

Хамгийн өөдрөг тохиолдлоос эхэлье. Хичээлийн анхны санааны дагуу би онолыг "ерөнхий хэлбэрээр" хэлэхийг хүссэн боловч материалын бодит байдлыг харуулахын тулд тодорхой дүрүүдтэй хувилбар дээр тогтсон.

Мөнхийн дөлийн арын дэвсгэр дээрх шинээр гэрлэсэн хүмүүсийн зураг шиг гунигтай боловч дараах зургийг нийтээрээ хүлээн зөвшөөрдөг. Зурган дээрх функцийн графикийг дүрсэлцгээе.


Энэ функц нь цэгээс бусад бүх тооны шулуун дээр үргэлжилдэг. Үнэн хэрэгтээ хуваагч нь тэгтэй тэнцүү байж болохгүй. Гэсэн хэдий ч, хязгаарын утгын дагуу бид чадна хязгааргүй ойрхонЗүүн ба баруун талаасаа "тэг" рүү ойртох, өөрөөр хэлбэл нэг талын хязгаарлалтууд байдаг бөгөөд мэдээжийн хэрэг давхцаж байна.
(Тасралтгүй байдлын 2-р нөхцөл хангагдсан).

Гэхдээ тухайн цэг дээр функц тодорхойлогдоогүй тул тасралтгүй байдлын 1-р нөхцөл зөрчигдөж, энэ үед функц тасалдсан байна.

Энэ төрлийн завсарлага (одоо байгаа ерөнхий хязгаар) гэж нэрлэдэг засах боломжтой цоорхой. Яагаад салгах боломжтой вэ? Учир нь функц боломжтой дахин тодорхойлохтаслах цэг дээр:

Хачирхалтай харагдаж байна уу? Магадгүй. Гэхдээ ийм функцийн тэмдэглэгээ нь юу ч зөрчилддөггүй! Одоо цоорхойг хааж, бүгд баяртай байна:


Албан ёсны шалгалт хийцгээе:

2) - ерөнхий хязгаарлалт байдаг;
3)

Ийнхүү бүх гурван нөхцөл хангагдсан ба тухайн цэг дээрх функцийн тасралтгүй байдлын тодорхойлолтоор тухайн цэг дээр функц тасралтгүй байна.

Гэсэн хэдий ч, матан үзэн ядагч нар функцийг муугаар тодорхойлж болно, жишээлбэл :


Эхний хоёр тасралтгүй байдлын нөхцөл энд хангагдаж байгаа нь сонирхолтой юм.
1) – функцийг өгөгдсөн цэг дээр тодорхойлсон;
2) -Ерөнхий хязгаар гэж бий.

Гэхдээ гурав дахь хилийг даваагүй байна: , өөрөөр хэлбэл цэг дээрх функцийн хязгаар тэнцүү бишөгөгдсөн цэг дэх өгөгдсөн функцийн утга.

Тиймээс нэг цэгт функц тасалддаг.

Хоёр дахь, илүү гунигтай тохиолдол гэж нэрлэдэг Эхний төрлийн хагарал үсрэлттэй. Мөн уйтгар гуниг нь өрөөсгөл хязгаараас үүдэлтэй байдаг хязгаарлагдмал, ялгаатай. Хичээлийн хоёр дахь зураг дээр жишээг үзүүлэв. Ийм цоорхой нь ихэвчлэн тохиолддог хэсэгчлэн тодорхойлсон функцууд, аль хэдийн өгүүлэлд дурдсан байдаг график хувиргалтын тухай.

Хэсэгчилсэн функцийг авч үзье мөн бид түүний зургийг дуусгах болно. Графикийг хэрхэн бүтээх вэ? Маш энгийн. Хагас интервал дээр бид параболын фрагмент (ногоон), интервал дээр шулуун шугамын сегмент (улаан), хагас интервал дээр шулуун шугам (цэнхэр) зурдаг.

Түүнчлэн тэгш бус байдлын улмаас квадрат функцийн утгыг (ногоон цэг), тэгш бус байдлын улмаас шугаман функцийн утгыг (цэнхэр цэг) тодорхойлно.

Хамгийн хэцүү тохиолдолд та графикийн хэсэг тус бүрийг цэгцтэй барих хэрэгтэй (эхний хэсгийг үзнэ үү). Функцийн графикуудын тухай хичээл).

Одоо бид зөвхөн гол зүйлийг л сонирхох болно. Үүнийг тасралтгүй байдлын үүднээс авч үзье:

2) Нэг талын хязгаарыг тооцоолъё.

Зүүн талд бид улаан шугамын сегменттэй тул зүүн талын хязгаар нь:

Баруун талд цэнхэр шулуун шугам, баруун гар талын хязгаар:

Үүний үр дүнд бид хүлээн авсан хязгаарлагдмал тоо, Тэгээд тэд тэнцүү биш. Нэг талын хязгаарлалт учраас хязгаарлагдмал, ялгаатай: , тэгвэл бидний функц тэсвэрлэдэг үсрэлттэй эхний төрлийн тасалдал.

Цоорхойг арилгах боломжгүй нь логик юм - өмнөх жишээн дээрх функцийг цаашид тодорхойлж, "хамтдаа наах" боломжгүй юм.

Хоёр дахь төрлийн тасалдалтын цэгүүд

Ихэвчлэн хагарлын бусад бүх тохиолдлыг энэ ангилалд ухаалаг байдлаар ангилдаг. Би бүх зүйлийг жагсаахгүй, учир нь практик дээр асуудлын 99% нь танд тулгарах болно төгсгөлгүй цоорхой– зүүн гартай эсвэл баруун гартай үед, ихэвчлэн хоёр хязгаар нь хязгааргүй байдаг.

Мэдээжийн хэрэг, хамгийн тод зураг бол тэг цэг дээрх гипербола юм. Энд нэг талын хязгаарлалт нь хязгааргүй юм: , тиймээс функц нь цэг дээр хоёр дахь төрлийн тасалдалд өртдөг.

Би нийтлэлүүдээ аль болох олон төрлийн агуулгаар дүүргэхийг хичээдэг тул хараахан гараагүй байгаа функцийн графикийг харцгаая.

стандарт схемийн дагуу:

1) Энэ үед хуваагч тэг болж байгаа тул функц тодорхойлогдоогүй байна.

Мэдээжийн хэрэг, функц нь тухайн үед тасалдсан гэж бид шууд дүгнэж болно, гэхдээ энэ нь ихэвчлэн нөхцөл шаардагддаг тасалдлын шинж чанарыг ангилах нь зүйтэй юм. Үүний тулд:

Бичлэг хийхдээ бид хэлэх гэсэн юм гэдгийг сануулъя хязгааргүй бага сөрөг тоо, мөн оруулгын доор - хязгааргүй бага эерэг тоо.

Нэг талт хязгаарууд нь хязгааргүй бөгөөд энэ нь функц нь цэг дээр 2-р төрлийн тасалдалд ордог гэсэн үг юм. Y тэнхлэг нь босоо асимптотграфикийн хувьд.

Нэг талын хязгаар хоёулаа байх нь ердийн зүйл биш боловч тэдгээрийн зөвхөн нэг нь хязгааргүй байдаг, жишээлбэл:

Энэ бол функцийн график юм.

Бид тасралтгүй байдлын цэгийг шалгана:

1) Энэ үед функц тодорхойлогдоогүй байна.

2) Нэг талын хязгаарыг тооцоолъё:

Ийм өрөөсгөл хязгаарыг тооцоолох аргын талаар бид лекцийн сүүлийн хоёр жишээнд ярих болно, гэхдээ олон уншигчид бүгдийг аль хэдийн харж, таамаглаж байсан.

Зүүн талын хязгаар нь төгсгөлтэй бөгөөд тэгтэй тэнцүү (бид "цэг өөрөө очдоггүй"), харин баруун гар талын хязгаар нь хязгааргүй бөгөөд графикийн улбар шар мөчир нь төгсгөлгүй ойртдог. босоо асимптот, тэгшитгэлээр өгөгдсөн (хар тасархай шугам).

Тиймээс функц нь муудаж байна хоёр дахь төрлийн тасалдалцэг дээр.

1-р төрлийн тасархайн хувьд функцийг тасалдлын цэг дээр өөрөө тодорхойлж болно. Жишээлбэл, хэсэгчилсэн функцийн хувьд Координатын эхэнд хар тод цэг тавьж болно. Баруун талд нь гиперболын салбар, баруун талын хязгаар нь хязгааргүй юм. Бараг хүн бүр энэ график ямар байх талаар ойлголттой байдаг гэж би бодож байна.

Хүн бүрийн тэсэн ядан хүлээж байсан зүйл:

Функцийг тасралтгүй байдлыг хэрхэн шалгах вэ?

Нэг цэгийн тасралтгүй байдлын функцийг судлах нь тасралтгүй байдлын гурван нөхцлийг шалгахаас бүрдэх нэгэнт тогтсон ердийн схемийн дагуу явагддаг.

Жишээ 1

Функцийг судлах

Шийдэл:

1) Хамрах хүрээний цорын ганц цэг бол функц тодорхойлогдоогүй газар юм.

2) Нэг талын хязгаарыг тооцоолъё:

Нэг талын хязгаар нь хязгаарлагдмал бөгөөд тэнцүү байна.

Тиймээс тухайн үед функц нь салгаж болох тасалдалд ордог.

Энэ функцийн график ямар харагдаж байна вэ?

Би хялбарчлахыг хүсч байна , мөн энэ нь энгийн параболыг олж авсан мэт санагдаж байна. ГЭХДЭЭАнхны функц нь цэг дээр тодорхойлогдоогүй тул дараах заалт шаардлагатай:

Зураг зурцгаая:

Хариулах: функц нь салгаж болох тасалдлаас бусад бүхэл тооны шулуун дээр тасралтгүй байна.

Функцийг цаашид сайн эсвэл тийм ч сайн биш байдлаар тодорхойлж болох боловч нөхцөл байдлын дагуу үүнийг хийх шаардлагагүй.

Энэ бол алс холын жишээ гэж та хэлж байна уу? Огт үгүй. Практикт ийм тохиолдол олон арван удаа тохиолдсон. Сайтын бараг бүх даалгаврууд нь бие даасан бодит ажил, тестээс ирдэг.

Дуртай модулиудаасаа салцгаая:

Жишээ 2

Функцийг судлах тасралтгүй байдлын төлөө. Функцийн тасалдал байгаа бол тэдгээрийн мөн чанарыг тодорхойлно уу. Зургийг гүйцэтгэнэ.

Шийдэл: Зарим шалтгааны улмаас оюутнууд айж, модультай функцүүдэд дургүй байдаг, гэхдээ тэдэнд төвөгтэй зүйл байхгүй. Хичээл дээр бид ийм зүйлийг аль хэдийн бага зэрэг хөндсөн. Графикийн геометрийн хувиргалт. Модуль нь сөрөг биш тул дараах байдлаар өргөжүүлнэ. , энд "альфа" нь зарим илэрхийлэл юм. Энэ тохиолдолд бидний функцийг хэсэгчлэн бичих ёстой:

Гэхдээ хоёр ширхэгийн бутархайг -ээр багасгах ёстой. Өмнөх жишээн дээрх шиг бууралт нь үр дагаваргүйгээр явагдахгүй. Хуваагч нь тэг болж байгаа тул анхны функц нь тухайн цэг дээр тодорхойлогдоогүй байна. Тиймээс систем нь нөхцөлийг нэмж зааж өгөх ёстой бөгөөд эхний тэгш бус байдлыг хатуу болгоно.

Одоо МАШ АШИГТАЙ шийдвэр гаргах аргын тухай: ноорог дээрх ажлыг дуусгахын өмнө зураг зурах нь давуу талтай (нөхцөлд шаардлагатай эсэхээс үл хамааран). Энэ нь нэгдүгээрт, тасралтгүй болон тасалдсан цэгүүдийг нэн даруй олж харах, хоёрдугаарт, нэг талын хязгаарыг олоход алдаа гарахаас 100% хамгаалах болно.

Зургаа хийцгээе. Бидний тооцооллын дагуу цэгийн зүүн талд параболын хэсэг (цэнхэр өнгө), баруун талд нь параболын хэсэг (улаан өнгө) зурах шаардлагатай бөгөөд функц нь тодорхойлогдоогүй байна. өөрөө зааж:

Хэрэв эргэлзэж байвал хэд хэдэн x утгыг аваад функцэд залгана уу (модуль нь боломжит хасах тэмдгийг устгадаг гэдгийг санаарай) графикийг шалгана уу.

Тасралтгүй байдлын функцийг аналитик байдлаар авч үзье.

1) Функц нь цэг дээр тодорхойлогдоогүй тул энэ нь тасралтгүй биш гэж шууд хэлж болно.

2) Тасралтгүй байдлын мөн чанарыг тогтооцгооё, үүний тулд бид нэг талын хязгаарыг тооцоолно.

Нэг талт хязгаарууд нь хязгаарлагдмал бөгөөд ялгаатай байдаг бөгөөд энэ нь функц нь цэг дээр үсрэлттэй 1-р төрлийн тасалдалтай гэсэн үг юм. Хязгаарыг олохдоо таслах цэг дээрх функц тодорхойлогдсон эсэх нь хамаагүй гэдгийг дахин анхаарна уу.

Одоо үлдсэн бүх зүйл бол зураг төслийг ноорогоос шилжүүлж (энэ нь судалгааны тусламжтайгаар хийгдсэн юм шиг ;-)) даалгаврыг биелүүлэх явдал юм.

Хариулах: Үсрэлтээр эхний төрлийн тасалдал үүсэхээс бусад тохиолдолд функц нь бүх тооны шулуун дээр тасралтгүй байна.

Заримдаа тэд тасархай үсрэлтийн нэмэлт заалтыг шаарддаг. Үүнийг энгийнээр тооцдог - баруун хязгаараас та зүүн хязгаарыг хасах хэрэгтэй: , өөрөөр хэлбэл завсарлагааны цэг дээр бидний функц 2 нэгжээр доошоо үсэрсэн (хасах тэмдэг бидэнд хэлдэг).

Жишээ 3

Функцийг судлах тасралтгүй байдлын төлөө. Функцийн тасалдал байгаа бол тэдгээрийн мөн чанарыг тодорхойлно уу. Зураг зурах.

Энэ бол таны бие даан шийдвэрлэх жишээ, хичээлийн төгсгөлд шийдлийн жишээ юм.

Функц нь гурван хэсгээс бүрдэх үед даалгаврын хамгийн алдартай, өргөн тархсан хувилбар руу шилжье.

Жишээ 4

Функцийн тасралтгүй байдлыг шалгаж, функцийн графикийг зур .

Шийдэл: Функцийн гурван хэсэг нь харгалзах интервалууд дээр үргэлжилдэг нь тодорхой тул хэсгүүдийн хоорондох "холбох" хоёр цэгийг шалгахад л үлддэг. Нэгдүгээрт, ноорог зураг хийцгээе, би нийтлэлийн эхний хэсэгт барилгын техникийн талаар хангалттай дэлгэрэнгүй тайлбарласан. Цорын ганц зүйл бол бид онцгой цэгүүдийг анхааралтай дагаж мөрдөх ёстой: тэгш бус байдлын улмаас утга нь шулуун шугамд (ногоон цэг), тэгш бус байдлын улмаас параболад (улаан цэг) хамаарна.


За зарчмын хувьд бүх зүйл тодорхой байна =) Шийдвэрийг албажуулах л үлдлээ. Хоёр "холбох" цэг бүрийн хувьд бид тасралтгүй байдлын 3 нөхцлийг шалгадаг.

би)Бид тасралтгүй байдлын цэгийг шалгадаг

1)

Нэг талт хязгаарууд нь хязгаарлагдмал бөгөөд ялгаатай байдаг бөгөөд энэ нь функц нь цэг дээр үсрэлттэй 1-р төрлийн тасалдалтай гэсэн үг юм.

Тасралтгүй үсрэлтийг баруун ба зүүн хязгаарын зөрүүгээр тооцоолъё.
, өөрөөр хэлбэл, график нэг нэгжийг хөдөлгөв.

II)Бид тасралтгүй байдлын цэгийг шалгадаг

1) – функц өгөгдсөн цэг дээр тодорхойлогддог.

2) Нэг талын хязгаарыг ол:

– нэг талын хязгаар нь хязгаарлагдмал, тэнцүү байдаг нь ерөнхий хязгаартай гэсэн үг.

3) – нэг цэг дэх функцийн хязгаар нь тухайн цэг дэх энэ функцийн утгатай тэнцүү байна.

Эцсийн шатанд бид зургийг эцсийн хувилбарт шилжүүлж, дараа нь эцсийн хөвчийг тавьдаг.

Хариулах: Үсрэлтээр эхний төрлийн тасалдал үүсэхээс бусад тохиолдолд функц нь бүх тооны шулуун дээр тасралтгүй байна.

Жишээ 5

Функцийг тасралтгүй байдлын үүднээс судалж, графикийг нь байгуул .

Энэ бол бие даан шийдвэрлэх жишээ, богино шийдэл, хичээлийн төгсгөлд асуудлын ойролцоо жишээ юм.

Нэг цэгт функц тасралтгүй байх ёстой, нөгөө үед тасалдал байх ёстой гэсэн сэтгэгдэл танд төрж магадгүй юм. Практикт энэ нь үргэлж тийм байдаггүй. Үлдсэн жишээнүүдийг үл тоомсорлож болохгүй - хэд хэдэн сонирхолтой, чухал шинж чанарууд байх болно:

Жишээ 6

Функц өгсөн . Цэг дэх тасралтгүй байдлын функцийг судал. График байгуулах.

Шийдэл: нэн даруй ноорог дээрх зургийг дахин гүйцэтгэнэ:

Энэ графикийн онцлог нь хэсэгчилсэн функцийг абсцисса тэнхлэгийн тэгшитгэлээр өгдөг. Энд энэ хэсгийг ногоон өнгөөр ​​зурсан боловч тэмдэглэлийн дэвтэр дээр ихэвчлэн энгийн харандаагаар тодоор тодруулсан байдаг. Мэдээжийн хэрэг, бидний хуцны тухай бүү мартаарай: утга нь шүргэгч мөчир (улаан цэг), утга нь шулуун шугамд хамаарна.

Зургаас бүх зүйл тодорхой харагдаж байна - функц нь бүх тооны шугамын дагуу тасралтгүй явагддаг бөгөөд 3-4 ижил төстэй жишээнүүдийн дараа бүрэн автоматжуулалтад хүргэсэн шийдлийг албан ёсны болгоход л үлддэг.

би)Бид тасралтгүй байдлын цэгийг шалгадаг

1) – функц нь өгөгдсөн цэг дээр тодорхойлогддог.

2) Нэг талын хязгаарыг тооцоолъё:

, энэ нь ерөнхий хязгаарлалттай гэсэн үг.

Тогтмолын хязгаар нь тогтмолтой тэнцүү гэсэн өчүүхэн баримтыг сануулъя. Энэ тохиолдолд тэгийн хязгаар нь өөрөө тэгтэй тэнцүү байна (зүүн гар талын хязгаар).

3) – нэг цэг дэх функцийн хязгаар нь тухайн цэг дэх энэ функцийн утгатай тэнцүү байна.

Тиймээс тухайн цэг дээрх функцийн тасралтгүй байдлын тодорхойлолтоор функц нь цэг дээр тасралтгүй байна.

II)Бид тасралтгүй байдлын цэгийг шалгадаг

1) – функц нь өгөгдсөн цэг дээр тодорхойлогддог.

2) Нэг талын хязгаарыг ол:

Мөн энд - нэгийн хязгаар нь тухайн нэгжтэй тэнцүү байна.

-Ерөнхий хязгаар гэж бий.

3) – нэг цэг дэх функцийн хязгаар нь тухайн цэг дэх энэ функцийн утгатай тэнцүү байна.

Тиймээс тухайн цэг дээрх функцийн тасралтгүй байдлын тодорхойлолтоор функц нь цэг дээр тасралтгүй байна.

Ердийнх шигээ судалгаа хийсний дараа бид зургаа эцсийн хувилбарт шилжүүлдэг.

Хариулах: функц нь цэгүүд дээр тасралтгүй байна.

Тасралтгүй байдлын үүднээс функцийг бүхэлд нь судлах талаар биднээс юу ч асуугаагүй бөгөөд томъёолох нь математикийн сайн хэлбэр гэж тооцогддогийг анхаарна уу. нарийн бөгөөд тодорхойтавьсан асуултын хариулт. Дашрамд хэлэхэд, хэрэв нөхцөл байдал таныг график барихыг шаарддаггүй бол та үүнийг бүтээхгүй байх бүрэн эрхтэй (хэдийгээр дараа нь багш үүнийг хийхийг албадах боломжтой).

Үүнийг өөрөө шийдэх жижиг математикийн "хэлний мушгиа":

Жишээ 7

Функц өгсөн . Цэг дэх тасралтгүй байдлын функцийг судал. Хэрэв байгаа бол таслах цэгүүдийг ангил. Зургийг гүйцэтгэнэ.

Бүх "үг"-ийг зөв "дуудаж" үзээрэй =) Графикийг илүү нарийвчлалтай зур, үнэн зөв, энэ нь хаа сайгүй илүүдэхгүй байх болно;-)

Таны санаж байгаагаар би зургийг нэн даруй ноорог болгон дуусгахыг зөвлөж байсан боловч үе үе та график ямар байгааг шууд олж чадахгүй жишээнүүдтэй тулгардаг. Тиймээс зарим тохиолдолд эхлээд нэг талын хязгаарыг олж, зөвхөн дараа нь судалгаанд үндэслэн салбаруудыг дүрслэх нь давуу талтай. Сүүлийн хоёр жишээнд бид нэг талын хязгаарыг тооцоолох арга техникийг сурах болно.

Жишээ 8

Функцийг тасралтгүй байдлын үүднээс шалгаж, түүний бүдүүвч графикийг байгуул.

Шийдэл: муу талууд нь тодорхой байна: (тэжээлийн хуваагчийг тэг болгон бууруулна) ба (бүхэл бутархайн хуваагчийг тэг болгон бууруулна). Энэ функцийн график ямар харагдах нь тодорхойгүй байгаа тул эхлээд судалгаа хийсэн нь дээр гэсэн үг.

Тодорхойлолт 4. Хэрэв функц нь энэ сегментийн цэг бүрт тасралтгүй байвал (а цэг дээр энэ нь баруун талдаа үргэлжилсэн, өөрөөр хэлбэл, b цэг дээр зүүн талдаа тасралтгүй байдаг, өөрөөр хэлбэл) функцийг сегмент дээр тасралтгүй гэж нэрлэдэг.

Бүх үндсэн үндсэн функцууд нь тодорхойлолтынхоо хүрээнд тасралтгүй байдаг.

Интервал дээр тасралтгүй үргэлжлэх функцүүдийн шинж чанарууд:

• 1) Хэрэв функц нь интервал дээр тасралтгүй байвал энэ интервал дээр хязгаарлагдана (Вейерштрассын эхний теорем).
• 2) Хэрэв функц нь сегмент дээр тасралтгүй байвал энэ сегмент дээр хамгийн бага утга ба хамгийн их утгад хүрнэ (Weierstrass-ийн хоёр дахь теорем) (2-р зургийг үз).
• 3) Хэрэв функц нь сегмент дээр тасралтгүй бөгөөд төгсгөлд нь өөр өөр тэмдгийн утгыг авдаг бол сегмент дотор дор хаяж нэг цэг байна (Болзано-Коши теорем).

Функцын тасрах цэг ба тэдгээрийн ангилал

функцын тасралтгүй байдлын цэгийн сегмент

Тасралтгүй байдлын нөхцөл хангагдаагүй цэгүүдийг энэ функцийн таслах цэг гэж нэрлэдэг. Хэрэв функцийн тасархай цэг бол 1, 2-т заасан функцийн тасралтгүй байдлын гурван нөхцлийн дор хаяж нэг нь хангагдаагүй болно, тухайлбал:

1) Функц нь цэгийн ойролцоо тодорхойлогддог боловч тухайн цэг дээр тодорхойлогдоогүй. 2-р жишээнд авч үзсэн функц а) энэ цэг дээр тодорхойлогдоогүй тул тухайн цэг дээр тасалдалтай байна.

2) Функц нь цэг болон түүний эргэн тойронд тодорхойлогддог, нэг талт хязгаарууд байдаг ба гэхдээ тэдгээр нь хоорондоо тэнцүү биш: . Жишээлбэл, жишээ 2-ын b) функц нь цэг болон түүний ойролцоо тодорхойлогддог, гэхдээ a.

3) Функц нь цэг болон түүний эргэн тойронд тодорхойлогддог, нэг талт хязгаарууд байдаг бөгөөд тэдгээр нь хоорондоо тэнцүү боловч цэг дээрх функцийн утгатай тэнцүү биш: . Жишээлбэл, функц. Энд тасрах цэг байна: энэ үед функц тодорхойлогддог, нэг талт хязгаарууд байдаг ба бие биетэйгээ тэнцүү, гэхдээ, өөрөөр хэлбэл.

Функцийн тасрах цэгүүдийг дараах байдлаар ангилна.

Тодорхойлолт 5. Хэрэв энэ цэгт хязгаарлагдмал хязгаарууд байгаа боловч тэдгээр нь хоорондоо тэнцүү биш байвал тухайн цэгийг нэгдүгээр төрлийн функцийн тасралт цэг гэнэ: . Хэмжигдэхүүнийг функцийн цэг дээрх үсрэлт гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 6. Хэрэв энэ цэг дээр хязгаарлагдмал хязгаарууд байгаа ба тэдгээр нь хоорондоо тэнцүү бол тухайн цэгийг функцийн зөөврийн тасалдлын цэг гэж нэрлэдэг: , гэхдээ функц өөрөө цэг дээр тодорхойлогдоогүй, эсвэл тодорхойлогддог, гэхдээ.

Тодорхойлолт 7. Хэрэв энэ цэгт ядаж нэг талт хязгаар (эсвэл) байхгүй эсвэл хязгааргүйтэй тэнцүү байвал цэгийг хоёр дахь төрлийн функцийн тасалдал гэж нэрлэдэг.

Жишээ 3. Дараах функцүүдийн таслах цэгийг олж, төрлийг нь тодорхойлно уу: a) b)

Шийдэл. a) Функц нь интервалаар тодорхойлогддог ба тасралтгүй байх ба эдгээр интервал тус бүр дээр тасралтгүй элементар функцээр тодорхойлогддог. Иймээс өгөгдсөн функцийн таслах цэгүүд нь зөвхөн функц нь аналитик даалгавраа өөрчлөх цэгүүд байж болно, жишээлбэл. оноо ба Функцийн нэг талт хязгаарыг цэг дээр олъё.

Нэг талын хязгаарууд байдаг бөгөөд хязгаарлагдмал боловч бие биентэйгээ тэнцүү биш тул цэг нь эхний төрлийн тасалдлын цэг юм. Функцийн үсрэлт:

Бидний олсон цэгийн хувьд.

Хэрэв f(x) нь f(x0) хандлагатай бол x нь x0 руу чиглэдэг бол функцийг x0 цэг дээр тасралтгүй гэж хэлнэ. Энэ тохиолдолд f(x) - A = f(x) - f(x0) = ∆f. Хэрэв f функц нь тодорхой А интервалын цэг бүрт тасралтгүй байвал энэ функц нь бүх А интервалд тасралтгүй байх болно. Энэ тохиолдолд А интервалыг өөрөө дуудна. тасралтгүй байдлын зөрүүфункцууд f.

Сургуулийн математикийн хичээл дээр судлагдсан тасралтгүй функцүүдийн график нь хатуу шугам тул "цааснаас харандаа өргөхгүйгээр" зурж болно. Хэрэв зарим интервалд (a;b) f функц тасралтгүй бөгөөд алга болдоггүй бол энэ интервалд тогтмол тэмдэгтэй байх болно.

Энэ өмчийг ойлгоход маш хялбар байдаг. Үхрийн тэнхлэгийн дээр байрлах функц нь нэмэх тэмдэгтэй, Ox тэнхлэгийн доор байрлах функц нь хасах тэмдэгтэй байна. Хэрэв функцийн шугам нь Ox тэнхлэгтэй огтлолцохгүй бол (функц нь Ox тэнхлэг дээр тэг байна) тэмдэгээ өөрчлөхгүй нь тодорхой.

Интервалын арга

Функцийн тасралтгүй байдлын шинж чанаруудын нэг гайхалтай хэрэглээ бол нэг хувьсагчийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг интервалын арга юм. Зарим функц нь А интервал дээр тасралтгүй байх ба энэ интервалд хамаарах хязгаарлагдмал тооны цэгүүдэд алга болно.

Дээр өгөгдсөн шинж чанарыг ашигласнаар эдгээр цэгүүд нь А интервалыг бүхэлд нь функц тэмдэгээ хадгалах интервалд хуваана. Бүх интервалын шинж тэмдгийг тодорхойлохын тулд эдгээр интервалуудын аль нэгний тэмдгийг мэдэхэд хангалттай.

Үргэлжилдэггүй функцийн жишээ

Одоогоор бид зөвхөн тасралтгүй функцуудтай тулгарсан. Гэхдээ тодорхойлогдсон цэг бүрт тасралтгүй үргэлжлэх функцүүд байдаг. Жишээлбэл, f(x) = (x) функц, энд (x) нь х тооны бутархай хэсэг юм. Түүний графикийг дараах зурагт үзүүлэв.

Аливаа бүхэл тоотой тэнцүү x0 цэг дэх функцын тасралтгүй байдлын үндсэн шинж чанар хангагдахгүй гэдгийг харахад хялбар байдаг. Гэхдээ үүнтэй зэрэгцэн f(x) = (x) функц нь x нь бүхэл тоотой тэнцүү цэгүүдээс бусад нь тодорхойлогдсон бусад бүх цэгүүдэд тасралтгүй байна. График дээр ийм цэгүүдийг цоорсон дугуйгаар тэмдэглэв.

Үргэлжилсэн боловч тухайн цэг дээр ялгах боломжгүй функцууд

Тодорхойлолтын хүрээний цэг бүрт тасралтгүй үйл ажиллагаа явуулдаг функцүүд байдаг. Гэхдээ тэр үед тэд зарим үед деривативгүй байх болно. Жишээлбэл, y=|x| функц нь бүхэл тоон шугамын дагуу үргэлжилсэн боловч x = 0 цэг дээр ялгах боломжгүй. Доорх нь энэ функцийн график юм.

Энэ хичээлээр бид функцийн тасралтгүй байдлыг хэрхэн тогтоох талаар сурах болно. Бид үүнийг нэг талыг барьсан хязгаарыг ашиглан хийх болно - баруун, зүүн, гэхдээ тэдгээр нь мөн гэж бичигдсэн ч аймшигтай биш юм.

Гэхдээ функцийн тасралтгүй байдал гэж юу вэ? Бид хатуу тодорхойлолтыг олж авах хүртэл цаасан дээрээс харандаагаа өргөхгүйгээр зурж болох шугамыг төсөөлөхөд хялбар байдаг. Хэрэв ийм шугам зурсан бол энэ нь тасралтгүй байна. Энэ шугам нь тасралтгүй функцийн график юм.

Графикийн хувьд функц нь тухайн цэг дээр график нь "тасрахгүй" бол тухайн цэг дээр тасралтгүй байна. Ийм тасралтгүй функцийн график нь доорх зурагт үзүүлэв.

Функцийн тасралтгүй байдлыг хязгаараар тодорхойлох.Хэрэв гурван нөхцөл хангагдсан бол функц нь цэг дээр тасралтгүй байна.

1. Функц нь цэг дээр тодорхойлогддог.

Хэрэв жагсаасан нөхцлүүдийн дор хаяж нэг нь хангагдаагүй бол функц нь тухайн цэг дээр тасралтгүй ажиллахгүй. Энэ тохиолдолд функц нь тасалдсан гэж тэд хэлдэг бөгөөд график тасалдсан график дээрх цэгүүдийг функцийн тасалдал гэж нэрлэдэг. x=2 цэгт тасалдсан ийм функцийн графикийг доорх зурагт үзүүлэв.

Жишээ 1.Чиг үүрэг е(x) дараах байдлаар тодорхойлогддог.

Энэ функц нь түүний салбаруудын хилийн цэг бүрт, өөрөөр хэлбэл цэгүүдэд тасралтгүй байх уу x = 0 , x = 1 , x = 3 ?

Шийдэл. Бид хилийн цэг бүрт функцийн тасралтгүй байдлын гурван нөхцөлийг шалгадаг. Эхний нөхцөл хангагдсан, тэрнээс хойш функцийг тодорхойлсонхилийн цэг бүр дээр функцийн тодорхойлолтоос хамаарна. Үлдсэн хоёр нөхцлийг шалгахад л үлддэг.

Цэг x= 0. Энэ үед зүүн талын хязгаарыг олъё:

.

Баруун талын хязгаарыг олъё:

x= 0 нь энэ цэгийг багтаасан функцийн салбар, өөрөөр хэлбэл хоёр дахь салбарыг олох ёстой. Бид тэдгээрийг олдог:

Бидний харж байгаагаар функцийн хязгаар ба цэг дээрх функцийн утга x= 0 тэнцүү байна. Тиймээс функц нь цэг дээр тасралтгүй байна x = 0 .

Цэг x= 1. Энэ үед зүүн талын хязгаарыг олъё:

Баруун талын хязгаарыг олъё:

Функцийн хязгаар ба функцийн утга x= 1 нь энэ цэгийг багтаасан функцийн салбар, өөрөөр хэлбэл хоёр дахь салбарыг олох ёстой. Бид тэдгээрийг олдог:

.

Функцийн хязгаар ба функцийн утга x= 1 тэнцүү байна. Тиймээс функц нь цэг дээр тасралтгүй байна x = 1 .

Цэг x= 3 . Энэ үед зүүн талын хязгаарыг олъё:

Баруун талын хязгаарыг олъё:

Функцийн хязгаар ба функцийн утга x= 3 нь энэ цэгийг багтаасан функцийн салбар, өөрөөр хэлбэл хоёр дахь салбарыг олох ёстой. Бид тэдгээрийг олдог:

.

Функцийн хязгаар ба функцийн утга x= 3 тэнцүү байна. Тиймээс функц нь цэг дээр тасралтгүй байна x = 3 .

Гол дүгнэлт: энэ функц нь хилийн цэг бүрт тасралтгүй байна.

Нэг цэг дээр функцийн тасралтгүй байдлыг өөрөө тогтоогоод дараа нь шийдлийг хар

Функцийн тасралтгүй өөрчлөлтийг үсрэлтгүйгээр аажмаар өөрчлөх гэж тодорхойлж болох бөгөөд аргумент дахь бага зэргийн өөрчлөлт нь функцэд бага зэрэг өөрчлөлт ороход хүргэдэг.

Функцийн энэхүү тасралтгүй өөрчлөлтийг жишээгээр тайлбарлая.

Ширээн дээрх утсан дээр жин өлгөх хэрэгтэй. Энэ ачааллын нөлөөгөөр утас сунадаг тул зай лутсыг түдгэлзүүлсэн цэгээс ачаалал нь ачааны массаас хамаарна м, тэр бол л = е(м) , м≥0 .

Хэрэв та ачааллын массыг бага зэрэг өөрчилвөл зай лбага зэрэг өөрчлөгдөх болно: жижиг өөрчлөлтүүд мжижиг өөрчлөлтүүд таарч байна л. Гэсэн хэдий ч ачааны масс нь утасны суналтын бат бэхтэй ойролцоо байвал ачааны масс бага зэрэг нэмэгдэх нь утас тасрахад хүргэдэг: зай логцом нэмэгдэж, түдгэлзүүлэх цэгээс ширээний гадаргуу хүртэлх зайтай тэнцүү болно. Функцийн график л = е(м) зурагт үзүүлэв. Хэсэг дээр энэ график нь тасралтгүй (хатуу) шугам бөгөөд нэг цэг дээр тасалдсан байна. Үр дүн нь хоёр салбараас бүрдсэн график юм. -аас бусад бүх цэгүүдэд функц л = е(м) үргэлжилдэг боловч нэг цэгт тасалдалтай байдаг.

Тасралтгүй байдлын үүднээс функцийг судлах нь бие даасан ажил эсвэл функцийг бүрэн судлах, түүний графикийг байгуулах үе шатуудын нэг байж болно.

Интервал дээрх функцийн тасралтгүй байдал

Функцийг зөвшөөр y = е(x) интервалаар тодорхойлсон ] а, б[ ба энэ интервалын цэг бүрт тасралтгүй байна. Дараа нь интервалд тасралтгүй гэж нэрлэдэг ] а, б[ . ]- ∞ хэлбэрийн интервал дээрх функцийн тасралтгүй байдлын тухай ойлголтыг ижил төстэй байдлаар тодорхойлсон. б[ , ]а, + ∞[ , ]- ∞, + ∞[ . Одоо функцийг үзье y = е(x) интервал дээр тодорхойлсон [ а, б] . Интервал ба хэрчим хоорондын ялгаа: интервалын хилийн цэгүүд интервалд ордоггүй, харин сегментийн хилийн цэгүүд сегментэд багтдаг. Энд бид нэг талын тасралтгүй гэж нэрлэгддэг зүйлийг дурдах хэрэгтэй: цэг дээр а, сегмент дээр үлдсэн [ а, б] , бид зөвхөн баруун талаас, мөн цэг рүү ойртож чадна б- зөвхөн зүүн талд. Функцийг [ интервал дээр тасралтгүй гэж хэлнэ. а, б] , хэрэв энэ сегментийн бүх дотоод цэгүүдэд үргэлжилсэн бол тухайн цэгийн баруун талд үргэлжилдэг ацэг дээр тасралтгүй үлдэнэ б.

Тасралтгүй функцийн жишээ нь аль ч энгийн функц байж болно. Энгийн функц бүр нь тодорхойлогдсон интервал дээр тасралтгүй байна. Жишээлбэл, ба функцууд нь дурын интервал дээр тасралтгүй байна [ а, б], функц нь [ интервал дээр тасралтгүй байна 0 , б] , функц нь цэг агуулаагүй аль ч сегмент дээр тасралтгүй байна а = 2 .

Жишээ 4.Тасралтгүй байдлын үүднээс функцийг шалгана уу.

Шийдэл. Эхний нөхцлийг шалгацгаая. Функц нь 3 ба 3-р цэгүүдэд тодорхойлогдоогүй байна. Бүх тооны шугамын дагуу функцийн тасралтгүй байх нөхцөлүүдийн дор хаяж нэг нь хангагдаагүй байна. Тиймээс энэ функц нь интервал дээр үргэлжилдэг

Жишээ 5.Параметрийн ямар утгыг тодорхойлох атурш тасралтгүй тодорхойлолтын домэйнфункц

Шийдэл.

Баруун талын хязгаарыг дараахаас олъё:

.

Мэдээжийн хэрэг, цэг дээрх үнэ цэнэ x= 2 тэнцүү байх ёстой сүх :

а = 1,5 .

Жишээ 6.Ямар параметрийн утгыг тодорхойлох аТэгээд бтурш тасралтгүй тодорхойлолтын домэйнфункц

Шийдэл.
Тухайн цэг дээрх функцийн зүүн талын хязгаарыг олъё.

.

Тиймээс цэг дээрх утга нь 1 байх ёстой:

Зүүн талын функцийг цэг дээр олъё.

Мэдээжийн хэрэг, тухайн цэг дэх функцийн утга нь дараахтай тэнцүү байх ёстой.

Хариулт: Функц нь хэзээ тодорхойлолтын бүх домэйн дээр тасралтгүй байна а = 1; б = -3 .

Тасралтгүй функцүүдийн үндсэн шинж чанарууд

Математик нь юуны түрүүнд хөдөлгөөний янз бүрийн хуулиудыг судалснаар тасралтгүй функцийн тухай ойлголттой болсон. Орон зай, цаг хугацаа нь хязгааргүй бөгөөд хамаарал, жишээлбэл, замууд сцаг үеэс т, хуулиар илэрхийлсэн с = е(т) , үргэлжилсэн жишээг өгдөг функцууд е(т). Халсан усны температур мөн тасралтгүй өөрчлөгддөг бөгөөд энэ нь мөн цаг хугацааны тасралтгүй функц юм. Т = е(т) .

Математикийн шинжилгээнд тасралтгүй функцүүдийн зарим шинж чанарууд нотлогддог. Эдгээр шинж чанаруудын хамгийн чухал зүйлийг танилцуулъя.

1. Хэрэв интервал дээр үргэлжилсэн функц нь интервалын төгсгөлд өөр өөр тэмдгийн утгуудыг авдаг бол энэ интервалын аль нэг цэгт тэгтэй тэнцүү утгыг авна. Илүү албан ёсны мэдэгдэлд энэ шинж чанарыг анхны Болзано-Коши теорем гэж нэрлэдэг теоремд өгсөн болно.

2. Үйл ажиллагаа е(x), интервал дээр тасралтгүй [ а, б], төгсгөлийн цэгүүдийн утгуудын хоорондох бүх завсрын утгыг авдаг, өөрөөр хэлбэл хооронд е(а) Мөн е(б). Илүү албан ёсны мэдэгдэлд энэ шинж чанарыг Болзано-Коши хоёр дахь теорем гэж нэрлэдэг теоремд өгсөн болно.