Эргэлтийн үед үүссэн биеийн эзэлхүүний тооцоо. Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох вэ

Сэдэв: "Хувьсгалын биетүүдийн эзлэхүүнийг тодорхой интеграл ашиглан тооцоолох"

Хичээлийн төрөл:нэгтгэсэн.

Хичээлийн зорилго:интеграл ашиглан хувьсгалын биетүүдийн эзлэхүүнийг тооцоолж сурах.

Даалгаварууд:

хэд хэдэн геометрийн дүрсээс муруйн трапецийг тодорхойлох чадварыг нэгтгэх, муруйн трапецын талбайг тооцоолох чадварыг хөгжүүлэх;

гурван хэмжээст дүрсийн тухай ойлголттой танилцах;

эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг тооцоолж сурах;

логик сэтгэлгээ, чадварлаг математик яриа, зураг зурахдаа нарийвчлалыг хөгжүүлэх;

хичээлийн сонирхлыг хөгжүүлэх, математикийн үзэл баримтлал, дүр төрхтэй ажиллах, эцсийн үр дүнд хүрэх хүсэл эрмэлзэл, бие даасан байдал, тууштай байдлыг төлөвшүүлэх.

Хичээлийн үеэр

I. Зохион байгуулалтын мөч.

Группээс мэндчилж байна. Хичээлийн зорилгыг оюутнуудад хүргэх.

Би өнөөдрийн хичээлээ сургаалт зүйрлэлээр эхэлмээр байна. “Эрт урьд цагт бүхнийг мэддэг нэгэн мэргэн хүн амьдарч байжээ. Нэгэн хүн мэргэн хүн бүхнийг мэддэггүй гэдгийг батлахыг хүссэн юм. Алгандаа эрвээхэй бариад: "Мэргэн минь, надад хэлээч, аль эрвээхэй миний гарт байна: үхсэн үү эсвэл амьд уу?" Тэгээд тэр: "Амьд нь хэлвэл би түүнийг ална, үхсэн нь хэлвэл би түүнийг суллана" гэж боддог. Мэргэн бодсоны эцэст: "Бүх зүйл чиний гарт байна" гэж хариулав.

Тиймээс өнөөдөр үр бүтээлтэй ажиллаж, мэдлэгийн шинэ нөөцийг эзэмшиж, олж авсан чадвар, чадвараа ирээдүйн амьдрал, практик үйл ажиллагаандаа хэрэгжүүлцгээе "Бүх зүйл таны гарт".

II. Өмнө нь судалсан материалыг давтах.

Өмнө нь судалсан материалын гол санааг санацгаая. Үүнийг хийхийн тулд "Нэмэлт үгийг арилгах" даалгаврыг гүйцээцгээе.

(Оюутнууд нэмэлт үг хэлдэг.)

Зөв "Диференциал".Үлдсэн үгсийг нэг нийтлэг үгээр нэрлэхийг хичээ. (Интеграл тооцоо.)

Интеграл тооцоололтой холбоотой үндсэн үе шат, ойлголтуудыг санацгаая.

Дасгал хийх.Цоорхойг нөхөх. (Оюутан гарч ирээд маркераар шаардлагатай үгсийг бичнэ.)

Тэмдэглэлийн дэвтэр дээр ажиллах.

Ньютон-Лейбницийн томъёог Английн физикч Исаак Ньютон (1643-1727), Германы гүн ухаантан Готфрид Лейбниц (1646-1716) нар гаргаж авсан. Математик бол байгалиасаа ярьдаг хэл учраас энэ нь гайхмаар зүйл биш юм.

Энэ томъёог практик асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрхэн ашигладаг талаар авч үзье.

Жишээ 1: Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол

Шийдэл:Координатын хавтгайд функцүүдийн графикийг байгуулъя . Зургийн олох шаардлагатай хэсгийг сонгоцгооё.

III. Шинэ материал сурах.

Дэлгэц дээр анхаарлаа хандуулаарай. Эхний зураг дээр юу харагдаж байна вэ? (Зураг нь хавтгай дүрсийг харуулж байна.)

Хоёр дахь зураг дээр юу харагдаж байна вэ? Энэ зураг тэгш үү? (Зураг нь гурван хэмжээст дүрсийг харуулж байна.)

Сансарт, дэлхий дээр, өдөр тутмын амьдралдаа бид зөвхөн хавтгай дүрстэй төдийгүй гурван хэмжээст дүрстэй тулгардаг, гэхдээ ийм биетүүдийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох вэ? Жишээ нь: гариг, сүүлт од, солир гэх мэт эзэлхүүн.

Хүмүүс байшин барихдаа ч, нэг савнаас нөгөө сав руу ус асгахдаа ч эзэлхүүний талаар боддог. Эзлэхүүнийг тооцоолох дүрэм, техник гарч ирэх ёстой байсан бөгөөд тэдгээр нь хэр үнэн зөв, үндэслэлтэй байсан нь өөр асуудал юм.

1612 он нь алдарт одон орон судлаач Иоганнес Кеплерийн амьдарч байсан Австрийн Линц хотын оршин суугчдын хувьд, ялангуяа усан үзмийн хувьд маш их үр өгөөжтэй жил байв. Хүмүүс дарсны торх бэлтгэж, түүний хэмжээг хэрхэн бодитоор тодорхойлохыг мэдэхийг хүсч байв.

Ийнхүү Кеплерийн авч үзсэн бүтээлүүд нь 17-р зууны сүүлийн улиралд оргилдоо хүрсэн бүхэл бүтэн судалгааны урсгалын эхлэлийг тавьсан юм. I. Newton, G.V нарын бүтээлүүд дэх дизайн. Лейбниц дифференциал ба интегралын тооцоо. Энэ үеэс эхлэн хувьсагчийн математик математикийн мэдлэгийн системд тэргүүлэх байр суурийг эзэлдэг.

Өнөөдөр та бид хоёр ийм практик үйл ажиллагаанд оролцох болно, тиймээс

Бидний хичээлийн сэдэв: "Тодорхой интеграл ашиглан эргэлтийн биеийн эзлэхүүнийг тооцоолох."

Та дараах даалгаврыг гүйцэтгэснээр хувьсгалын биетийн тодорхойлолтыг сурах болно.

"Лабиринт".

Дасгал хийх.Төөрөгдөлтэй нөхцөл байдлаас гарах арга замыг хайж, тодорхойлолтыг бич.

IVЭзлэхүүнийг тооцоолох.

Тодорхой интеграл ашиглан та тодорхой биеийн эзэлхүүнийг, тухайлбал эргэлтийн биеийг тооцоолж болно.

Хувьсгалт бие нь муруй трапецийг суурийн эргэн тойронд эргүүлснээр олж авсан бие юм (Зураг 1, 2).

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг томъёоны аль нэгийг ашиглан тооцоолно:

1. OX тэнхлэгийн эргэн тойронд.

2. , хэрэв муруй трапецын эргэлт op-amp-ийн тэнхлэгийн эргэн тойронд.

Оюутнууд үндсэн томъёог дэвтэрт бичдэг.

Багш самбар дээрх жишээнүүдийн шийдлүүдийг тайлбарлана.

1. Шулуунаар хүрээлэгдсэн муруйн трапецын ординатын тэнхлэгийг тойрон эргэснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол. x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Шийдэл.

Хариулт: 1163 см3.

2. Парабол трапецийг х тэнхлэгийг тойруулан эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол. y = , x = 4, y = 0.

Шийдэл.

В. Математикийн симулятор.

2. Өгөгдсөн функцийн бүх эсрэг деривативуудын олонлогийг нэрлэнэ

A) тодорхойгүй интеграл;

B) функц,

B) ялгах.

7. Шулуунаар хязгаарлагдсан муруйн трапецын абсцисса тэнхлэгийг тойрон эргэснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол.

Д/З. Шинэ материалыг нэгтгэх

Х тэнхлэгийн эргэн тойронд дэлбээ эргэхэд үүссэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол y = x2, y2 = x.

Функцийн графикуудыг байгуулъя. y = x2, y2 = x. y2 = x графикийг у = хэлбэрт шилжүүлье.

Бидэнд V = V1 - V2 байна. Функц бүрийн эзлэхүүнийг тооцоолъё:

Дүгнэлт:

Тодорхой интеграл нь математикийн судалгааны тодорхой үндэс суурь бөгөөд практик асуудлыг шийдвэрлэхэд орлуулашгүй хувь нэмэр оруулдаг.

"Интеграл" сэдэв нь математик ба физик, биологи, эдийн засаг, технологийн хоорондын уялдаа холбоог тодорхой харуулж байна.

Орчин үеийн шинжлэх ухааны хөгжлийг интеграл ашиглахгүйгээр төсөөлөхийн аргагүй юм. Үүнтэй холбогдуулан дунд мэргэжлийн боловсролын хүрээнд үүнийг судалж эхлэх шаардлагатай байна!

VI. Дүгнэлт.(Тайлбарын хамт.)

Агуу Омар Хайям - математикч, яруу найрагч, гүн ухаантан. Тэр биднийг хувь заяаныхаа эзэн байхыг уриалдаг. Ингээд түүний уран бүтээлээс түүвэрлэн сонсоё.

Энэ амьдрал нэг хором гэж чи хэлдэг.
Үүнийг үнэлж, түүнээс урам зориг аваарай.
Үүнийг зарцуулах тусам энэ нь өнгөрөх болно.
Бүү март: тэр бол таны бүтээл.

Хувьсгалын биетүүдийн эзлэхүүнийг олохын тулд интеграл ашиглана

Математикийн практик ач тус нь ямар ч биш байгаатай холбоотой юм

Математикийн тусгай мэдлэг нь төхөөрөмжийн зарчим, орчин үеийн технологийн ашиглалтыг ойлгоход хэцүү болгодог. Хүн бүр амьдралынхаа туршид нэлээд төвөгтэй тооцоолол хийх, түгээмэл хэрэглэгддэг тоног төхөөрөмжийг ашиглах, лавлах номноос шаардлагатай томъёог олох, асуудлыг шийдвэрлэх энгийн алгоритмуудыг бий болгох шаардлагатай болдог. Орчин үеийн нийгэмд өндөр түвшний боловсрол шаарддаг олон мэргэжлүүд математикийн шууд хэрэглээтэй холбоотой байдаг. Ийнхүү математик нь оюутны хувьд мэргэжлийн чухал хичээл болж хувирдаг. Алгоритм сэтгэлгээг бий болгоход математик тэргүүлэх үүрэг гүйцэтгэдэг бөгөөд энэ нь өгөгдсөн алгоритмын дагуу ажиллах, шинэ алгоритм барих чадварыг хөгжүүлдэг.

Хувьсгалын биетүүдийн эзлэхүүнийг тооцоолоход интеграл ашиглах сэдвийг судалж байхдаа би сонгох ангийн оюутнуудад "Интеграл ашиглан хувьсгалын биетүүдийн эзлэхүүн" сэдвийг авч үзэхийг санал болгож байна. Энэ сэдвийг авч үзэх арга зүйн зөвлөмжийг доор харуулав.

1. Хавтгай дүрсний талбай.

Алгебрийн хичээлээс бид практик шинж чанартай асуудлууд тодорхой интеграл гэсэн ойлголтыг бий болгосныг бид мэднэ..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=". >

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" өргөн "127" өндөр "25 src=">.

y=f(x) хугархай шугам, Ox тэнхлэг, x=a, x=b шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн муруйн трапецийг Үхрийн тэнхлэгийг тойрон эргэснээр үүссэн эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид тооцоолно. томъёог ашиглан

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" өргөн "352" өндөр "283 src=">Y

3.Цилиндрийн эзэлхүүн.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Конусыг АС хөл байрлах Үхрийн тэнхлэгийн эргэн тойронд ABC (C = 90) тэгш өнцөгт гурвалжинг эргүүлснээр олж авна.

AB сегмент нь y=kx+c шулуун шугам дээр байрладаг бөгөөд https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src="> байна.

a=0, b=H (H нь конусын өндөр), дараа нь Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src=" гэж үзье. ">.

5.Таслагдсан конусын эзэлхүүн.

Тэгш өнцөгт трапец хэлбэрийн ABCD (CDOx) -ийг Ox тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр таслагдсан конусыг олж авч болно.

AB хэрчим нь y=kx+c шулуун дээр байрладаг ба энд , c=r.

Шулуун шугам нь А (0;r) цэгийг дайран өнгөрдөг тул.

Тиймээс шулуун шугам нь https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src="> шиг харагдаж байна.

a=0, b=H (H нь таслагдсан конусын өндөр), дараа нь https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src" гэж бичнэ. ="> = .

6. Бөмбөгний эзлэхүүн.

Бөмбөгийг Ox тэнхлэгийн эргэн тойронд төвтэй (0;0) тойрог эргүүлэх замаар олж авч болно. Ox тэнхлэгээс дээш байрлах хагас тойрог нь тэгшитгэлээр өгөгдсөн

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" өргөн "13" өндөр "16 src=">x R.

Үүнээс бусад нь Тодорхой интеграл ашиглан хавтгай дүрсийн талбайг олох (7.2.3-ыг үзнэ үү)сэдвийн хамгийн чухал хэрэглээ юм эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг тооцоолох. Материал нь энгийн, гэхдээ уншигч бэлтгэлтэй байх ёстой: та шийдэх чадвартай байх ёстой тодорхойгүй интегралууддунд зэргийн төвөгтэй бөгөөд Ньютон-Лейбницийн томъёог хэрэглэнэ тодорхой интеграл, nМөн танд маш сайн зурах ур чадвар хэрэгтэй. Ерөнхийдөө интеграл тооцоололд олон сонирхолтой програмууд байдаг; тодорхой интеграл ашиглан та дүрсийн талбай, эргэлтийн биеийн эзэлхүүн, нумын урт, биеийн гадаргуугийн талбайг тооцоолж болно. болон бусад олон. Координатын хавтгай дээр ямар нэгэн хавтгай дүрсийг төсөөлөөд үз дээ. Танилцуулсан уу? ... Одоо энэ дүрсийг хоёр аргаар эргүүлж, эргүүлж болно:

– x тэнхлэгийн эргэн тойронд ;

– ордны тэнхлэгийн эргэн тойронд .

Хоёр тохиолдлыг хоёуланг нь авч үзье. Эргэлтийн хоёрдахь арга нь ялангуяа сонирхолтой бөгөөд энэ нь хамгийн их хүндрэл учруулдаг боловч үнэн хэрэгтээ шийдэл нь x тэнхлэгийг тойрон илүү түгээмэл эргэлттэй бараг ижил байдаг. Хамгийн алдартай эргэлтийн төрлөөс эхэлье.

Хавтгай дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр үүссэн биеийн эзэлхүүний тооцоо ҮХЭР

Жишээ 1

Нэг тэнхлэгийн эргэн тойронд шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийг эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Шийдэл:Талбайг олох асуудал шиг, шийдэл нь хавтгай дүрс зурахаас эхэлдэг. Өөрөөр хэлбэл, онгоцонд XOYшугамаар хязгаарлагдсан дүрсийг бүтээх шаардлагатай бөгөөд тэгшитгэл нь тэнхлэгийг зааж өгдөг гэдгийг мартаж болохгүй. Энд байгаа зураг нь маш энгийн:

Хүссэн хавтгай дүрсийг цэнхэр өнгөөр будсан бөгөөд энэ нь тэнхлэгийг тойрон эргэлддэг. Эргэлтийн үр дүнд үр дүн нь тэнхлэг дээр хоёр хурц оргил бүхий бага зэрэг өндгөвч хэлбэртэй нисдэг таваг юм. ҮХЭР, тэнхлэгийн тэгш хэмтэй ҮХЭР. Үнэн хэрэгтээ бие нь математикийн нэртэй байдаг, лавлах номноос хараарай.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох вэ? Хэрэв тэнхлэгийг тойрон эргэхийн үр дүнд бие үүссэн болҮХЭР, энэ нь оюун санааны хувьд жижиг зузаантай зэрэгцээ давхаргад хуваагддаг dx, тэдгээр нь тэнхлэгт перпендикуляр байна ҮХЭР. Бүх биеийн эзэлхүүн нь ийм энгийн давхаргын эзэлхүүний нийлбэртэй тэнцүү байх нь ойлгомжтой. Давхарга бүр нь дугуй зүсмэл нимбэгний өндөртэй цилиндр юм dxба үндсэн радиустай е(x). Дараа нь нэг давхаргын эзэлхүүн нь суурийн талбайн π-ийн үржвэр юм еЦилиндрийн өндөрт 2 ( dx), эсвэл π∙ е 2 (x)∙dx. Бүхэл бүтэн эргэлтийн талбай нь үндсэн эзэлхүүний нийлбэр эсвэл харгалзах тодорхой интеграл юм. Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг дараахь томъёогоор тооцоолж болно.

"a" ба "be" интеграцийн хязгаарыг хэрхэн тогтоохыг дууссан зургаас хялбархан таах боломжтой. Функц... энэ функц юу вэ? Зургийг харцгаая. Хавтгайн дүрс нь дээд талд байгаа параболын графикаар хязгаарлагддаг. Энэ бол томьёонд тусгагдсан функц юм. Практик даалгаврын хувьд хавтгай дүрсийг заримдаа тэнхлэгийн доор байрлуулж болно ҮХЭР. Энэ нь юу ч өөрчлөгдөхгүй - томьёо дахь функц нь квадрат: е 2 (x), Тиймээс, Хувьсгалын биеийн эзлэхүүн үргэлж сөрөг биш байдаг, энэ нь маш логик юм. Энэ томъёог ашиглан эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг тооцоолъё.

Өмнө дурьдсанчлан интеграл нь бараг үргэлж энгийн байдаг, гол зүйл бол болгоомжтой байх явдал юм.

Хариулт:

Хариултдаа та хэмжээсийг - куб нэгжийг зааж өгөх ёстой. Өөрөөр хэлбэл, бидний эргэлтийн биед ойролцоогоор 3.35 "шоо" байдаг. Яагаад куб гэж нэгж? Учир нь энэ бол хамгийн түгээмэл жор юм. Куб сантиметр, шоо метр, шоо километр гэх мэт байж болно, энэ бол таны төсөөлж буй хэдэн ногоон эрчүүдийг нисдэг таваганд хийж чадах юм.

Жишээ 2

Тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн биеийн эзэлхүүнийг ол ҮХЭРшугамаар хязгаарлагдсан дүрс , , .

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Жишээ 3

, , шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийг болон абсцисса тэнхлэгийг тойруулан эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Шийдэл:, , , , шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийг зурган дээр тэгшитгэл гэдгийг марталгүй дүрсэлцгээе. x= 0 нь тэнхлэгийг заана Өө:

Хүссэн дүрс нь цэнхэр өнгөөр будагдсан байна. Энэ нь тэнхлэгийг тойрон эргэх үед ҮХЭРүр дүн нь хавтгай, өнцгийн гурилан бүтээгдэхүүн (хоёр конус гадаргуутай угаагч).

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг тооцоолъё биеийн эзэлхүүний ялгаа. Эхлээд улаанаар дугуйлсан дүрсийг харцгаая. Энэ нь тэнхлэгийг тойрон эргэх үед ҮХЭРүр дүн нь таслагдсан конус юм. Энэ таслагдсан конусын эзэлхүүнийг үүгээр тэмдэглэе В 1 .

Ногооноор дугуйлсан дүрсийг анхаарч үзээрэй. Хэрэв та энэ зургийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлбэл ҮХЭР, дараа нь та ижил тайрсан конусыг авах болно, зөвхөн бага зэрэг бага байна. Түүний эзэлхүүнийг үүгээр тэмдэглэе В 2 .

Эзлэхүүний зөрүү байгаа нь илт харагдаж байна В = В 1 - В 2 нь манай "пончик"-ийн хэмжээ юм.

Эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид стандарт томъёог ашигладаг.

1) Улаанаар дугуйлсан дүрс нь шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн тул:

2) Ногооноор дугуйлсан дүрс нь шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн тул:

3) Хүссэн эргэлтийн хэмжээ:

Хариулт:

Энэ тохиолдолд тайрсан конусын эзэлхүүнийг тооцоолох сургуулийн томъёог ашиглан шийдлийг шалгаж болох нь сонин байна.

Шийдвэр нь өөрөө ихэвчлэн богино хэлбэрээр бичигдсэн байдаг.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг томъёогоор тооцоолж болно:

Томъёонд интегралын өмнө тоо байх ёстой. Ийм зүйл тохиолдсон - амьдралд эргэдэг бүх зүйл энэ тогтмолтой холбоотой байдаг.

Дууссан зургаас "a" болон "be" гэсэн интеграцийн хязгаарыг хэрхэн тогтоохыг таахад хялбар гэж бодож байна.

Функц... энэ функц юу вэ? Зургийг харцгаая. Хавтгай дүрс нь дээд талын параболын графикаар хязгаарлагддаг. Энэ бол томьёонд тусгагдсан функц юм.

Практик даалгаврын хувьд хавтгай дүрсийг заримдаа тэнхлэгийн доор байрлуулж болно. Энэ нь юу ч өөрчлөгдөхгүй - томьёо дахь интеграл нь квадрат: иймээс интеграл нь үргэлж сөрөг биш байдаг , энэ нь маш логик юм.

Энэ томъёог ашиглан эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг тооцоолъё.

Өмнө дурьдсанчлан интеграл нь бараг үргэлж энгийн байдаг, гол зүйл бол болгоомжтой байх явдал юм.

Хариулт:

Хариултдаа та хэмжээсийг - куб нэгжийг зааж өгөх ёстой. Өөрөөр хэлбэл, бидний эргэлтийн биед ойролцоогоор 3.35 "шоо" байдаг. Яагаад куб гэж нэгж? Учир нь хамгийн түгээмэл жор. Куб сантиметр, шоо метр, шоо километр гэх мэт байж болно, энэ бол таны төсөөлж буй хэдэн ногоон эрчүүдийг нисдэг таваганд хийж чадах юм.

Жишээ 2

Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн биеийн эзэлхүүнийг ол.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Практикт ихэвчлэн тулгардаг өөр хоёр төвөгтэй асуудлыг авч үзье.

Жишээ 3

, ба шугамаар хязгаарлагдсан зургийн абсцисса тэнхлэгийг тойрон эргэснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Шийдэл: Зураг дээр тэгшитгэл нь тэнхлэгийг тодорхойлдог гэдгийг мартахгүйгээр ,,, шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийг дүрсэлцгээе.

Хүссэн дүрс нь цэнхэр өнгөөр будагдсан байна. Энэ нь тэнхлэгээ тойрон эргэвэл дөрвөн булантай сюрреал гурилан бүтээгдэхүүн болж хувирдаг.

Эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг тооцоолъё биеийн эзэлхүүний ялгаа.

Эхлээд улаанаар дугуйлсан дүрсийг харцгаая. Энэ нь тэнхлэгийг тойрон эргэх үед таслагдсан конусыг олж авна. Энэ таслагдсан конусын эзэлхүүнийг үүгээр тэмдэглэе.

Ногооноор дугуйлсан дүрсийг анхаарч үзээрэй. Хэрэв та энэ дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлбэл, та бас бага зэрэг жижиг зүсэгдсэн конус авах болно. Түүний эзлэхүүнийг -ээр тэмдэглэе.

Мэдээжийн хэрэг, эзлэхүүний ялгаа нь бидний "пончик" -ийн хэмжээ юм.

Эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид стандарт томъёог ашигладаг.

1) Улаанаар дугуйлсан дүрс нь шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн тул:

2) Ногооноор дугуйлсан дүрс нь шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн тул:

3) Хүссэн эргэлтийн биеийн хэмжээ:

Хариулт:

Шийдвэр нь өөрөө ихэвчлэн богино хэлбэрээр бичигдсэн байдаг.

Одоо жаахан амарч, геометрийн хуурмаг байдлын талаар танд хэлье.

Хүмүүс ихэвчлэн ботьтой холбоотой хуурмаг зүйлтэй байдаг бөгөөд үүнийг Перелман (өөр) номонд анзаарсан байдаг Хөгжилтэй геометр. Шийдвэрлэсэн асуудалд байгаа хавтгай дүрсийг хараарай - энэ нь талбайн хувьд жижиг юм шиг санагдаж, хувьсгалын биеийн эзэлхүүн нь 50 шоо нэгжээс илүү байгаа нь хэтэрхий том юм шиг санагддаг. Дашрамд дурдахад, дундаж хүн амьдралынхаа туршид 18 метр квадрат талбайтай ижил хэмжээний шингэнийг уудаг бөгөөд энэ нь эсрэгээрээ хэтэрхий жижиг хэмжээтэй юм шиг санагддаг.

Ер нь ЗХУ-ын боловсролын систем үнэхээр хамгийн шилдэг нь байсан. Перелманы 1950 онд хэвлэгдсэн ижил ном нь хошин шогийн хэлснээр маш сайн хөгжиж, асуудлыг шийдэх анхны, стандарт бус шийдлүүдийг эрэлхийлж, танд зааж өгдөг. Би саяхан зарим бүлгийг маш их сонирхож уншсан, би үүнийг санал болгож байна, энэ нь хүмүүнлэгийн хүмүүст ч хүртээмжтэй юм. Үгүй ээ, надад чөлөөт цаг, мэдлэг, харилцааны өргөн цар хүрээг санал болгож байна гэж инээмсэглэх шаардлагагүй.

Уянгын ухралт хийсний дараа бүтээлч даалгаврыг шийдэх нь зөв юм.

Жишээ 4

Шулуунаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийн тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол, энд.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Бүх тохиолдлууд нь хамтлагт тохиолддог гэдгийг анхаарна уу, өөрөөр хэлбэл, нэгтгэх бэлэн хязгаар нь үнэндээ өгсөн байна. Тригонометрийн функцүүдийн графикийг зөв зурж, хичээлийн материалыг танд сануулъя графикийн геометрийн хувиргалт : хэрэв аргумент хоёр хуваагдвал: , дараа нь графикуудыг тэнхлэгийн дагуу хоёр удаа сунгана. Хамгийн багадаа 3-4 оноо олохыг зөвлөж байна тригонометрийн хүснэгтийн дагуу зургийг илүү нарийвчлалтай дуусгах. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт. Дашрамд хэлэхэд, даалгаврыг оновчтой биш харин оновчтой шийдэж болно.

Хичээлийн төрөл: хосолсон.

Хичээлийн зорилго:интеграл ашиглан хувьсгалын биетүүдийн эзлэхүүнийг тооцоолж сурах.

Даалгаварууд:

хэд хэдэн геометрийн дүрсээс муруйн трапецийг тодорхойлох чадварыг нэгтгэх, муруйн трапецын талбайг тооцоолох чадварыг хөгжүүлэх;
гурван хэмжээст дүрсийн тухай ойлголттой танилцах;
эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг тооцоолж сурах;
логик сэтгэлгээ, чадварлаг математик яриа, зураг зурахдаа нарийвчлалыг хөгжүүлэх;
хичээлийн сонирхлыг хөгжүүлэх, математикийн үзэл баримтлал, дүр төрхтэй ажиллах, эцсийн үр дүнд хүрэх хүсэл эрмэлзэл, бие даасан байдал, тууштай байдлыг төлөвшүүлэх.

Хичээлийн үеэр

I. Зохион байгуулалтын мөч.

Группээс мэндчилж байна. Хичээлийн зорилгыг оюутнуудад хүргэх.

Тусгал. Тайван аялгуу.

-Би өнөөдрийн хичээлээ сургаалт зүйрлэлээр эхэлмээр байна. “Эрт урьд цагт бүхнийг мэддэг нэгэн мэргэн хүн амьдарч байжээ. Нэгэн хүн мэргэн хүн бүхнийг мэддэггүй гэдгийг батлахыг хүссэн юм. Алгандаа эрвээхэй бариад: "Мэргэн минь, надад хэлээч, аль эрвээхэй миний гарт байна: үхсэн үү эсвэл амьд уу?" Тэгээд тэр өөрөө: "Хэрэв амьд хүн гэвэл би түүнийг ална, үхсэн нь түүнийг суллана гэж хэлэх болно" гэж боддог. Мэргэн бодсоны эцэст хариулав: "Бүх зүйл таны гарт". (Танилцуулга.Слайд)

- Тиймээс өнөөдөр үр бүтээлтэй ажиллаж, шинэ мэдлэг олж авч, олж авсан ур чадвар, чадвараа ирээдүйн амьдрал, практик үйл ажиллагаандаа хэрэгжүүлцгээе. "Бүх зүйл таны гарт".

II. Өмнө нь судалсан материалыг давтах.

- Өмнө нь судалсан материалын гол санааг санацгаая. Үүнийг хийхийн тулд даалгавраа гүйцээцгээе "Нэмэлт үгийг хас."(Слайд.)

(Оюутан ID-д очно. Илүү үгийг арилгахын тулд баллуур ашигладаг.)

- Зөв "Диференциал". Үлдсэн үгсийг нэг нийтлэг үгээр нэрлэхийг хичээ. (Интеграл тооцоо.)

– Интеграл тооцоололтой холбоотой үндсэн үе шат, ойлголтуудыг санацгаая.

"Математикийн багц".

Дасгал хийх. Цоорхойг нөхөх. (Оюутан гарч ирээд шаардлагатай үгсийг үзгээр бичнэ.)

– Бид дараа нь интегралын хэрэглээний талаарх хураангуйг сонсох болно.

Тэмдэглэлийн дэвтэр дээр ажиллах.

– Ньютон-Лейбницийн томьёог Английн физикч Исаак Ньютон (1643–1727), Германы гүн ухаантан Готфрид Лейбниц (1646–1716) нар гаргаж авсан. Математик бол байгалиасаа ярьдаг хэл учраас энэ нь гайхмаар зүйл биш юм.

- Энэ томъёог практик асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрхэн ашигладаг талаар авч үзье.

Жишээ 1: Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол

Шийдэл: Координатын хавтгайд функцүүдийн графикийг байгуулъя . Зургийн олох шаардлагатай хэсгийг сонгоцгооё.

III. Шинэ материал сурах.

- Дэлгэцэнд анхаарлаа хандуулаарай. Эхний зураг дээр юу харагдаж байна вэ? (Слайд) (Зураг нь хавтгай дүрсийг харуулж байна.)

-Хоёр дахь зурагт юу харагдаж байна вэ? Энэ зураг тэгш үү? (Слайд) (Зураг нь гурван хэмжээст дүрсийг харуулж байна.)

– Сансарт, дэлхий дээр болон өдөр тутмын амьдралд бид зөвхөн хавтгай дүрстэй төдийгүй гурван хэмжээст дүрстэй тулгардаг, гэхдээ ийм биетүүдийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох вэ? Жишээлбэл, гариг, сүүлт од, солир гэх мэт эзэлхүүн.

– Хүмүүс байшин барихдаа ч, нэг савнаас нөгөө сав руу ус асгахдаа ч эзлэхүүнийг боддог. Эзлэхүүнийг тооцоолох дүрэм, техник гарч ирэх ёстой байсан бөгөөд тэдгээр нь хэр үнэн зөв, үндэслэлтэй байсан нь өөр асуудал юм.

Оюутны мессеж. (Тюрина Вера.)

- Тиймээс Кеплерийн авч үзсэн бүтээлүүд нь 17-р зууны сүүлийн улиралд оргилдоо хүрсэн бүхэл бүтэн судалгааны үндэс суурийг тавьсан юм. I. Newton, G.V нарын бүтээлүүд дэх дизайн. Лейбниц дифференциал ба интегралын тооцоо. Энэ үеэс эхлэн хувьсагчийн математик математикийн мэдлэгийн системд тэргүүлэх байр суурийг эзэлдэг.

- Өнөөдөр та бид хоёр ийм практик үйл ажиллагаа явуулах болно, тиймээс

Бидний хичээлийн сэдэв: "Тодорхой интеграл ашиглан эргэлтийн биеийн эзлэхүүнийг тооцоолох." (Слайд)

– Та дараах даалгаврыг гүйцэтгэснээр эргэлтийн биеийн тодорхойлолтыг сурах болно.

"Лабиринт".

Лабиринт (грек үг) нь газар доогуур орох гэсэн утгатай. Лабиринт бол зам, гарц, хоорондоо холбогдсон өрөөнүүдийн нарийн төвөгтэй сүлжээ юм.

Гэхдээ энэ тодорхойлолт нь "эвдэрсэн" байсан бөгөөд сум хэлбэрээр сэжүүр үлдээжээ.

Дасгал хийх. Төөрөгдөлтэй нөхцөл байдлаас гарах арга замыг хайж, тодорхойлолтыг бич.

Слайд. “Газрын зургийн заавар” Эзлэхүүнийг тооцоолох.

Тодорхой интеграл ашиглан та тодорхой биеийн эзэлхүүнийг, тухайлбал эргэлтийн биеийг тооцоолж болно.

Хувьсгалт бие нь муруй трапецийг суурийн эргэн тойронд эргүүлснээр олж авсан бие юм (Зураг 1, 2).

Эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг томъёоны аль нэгийг ашиглан тооцоолно.

1. OX тэнхлэгийн эргэн тойронд.

2. , хэрэв муруй трапецын эргэлт op-amp-ийн тэнхлэгийн эргэн тойронд.

Оюутан бүр зааврын карт авдаг. Багш гол санааг онцолдог.

– Багш самбар дээрх жишээнүүдийн шийдлийг тайлбарлана.

А.С.Пушкиний "Цар Салтан, түүний алдар суут, хүчирхэг хүү хунтайж Гуидон Салтанович ба үзэсгэлэнт хун гүнжийн тухай үлгэр" хэмээх алдарт үлгэрийн хэсгээс авч үзье. (Слайд 4):

…..
Тэгээд согтуу элч авчирсан
Тухайн өдөр захиалга дараах байдалтай байна.
"Хаан боярууддаа тушаажээ.
Цаг алдахгүйгээр,
Мөн хатан, үр удам
Усны ангал руу нууцаар хая."
Хийх зүйл алга: бойяр,
Тусгаар тогтнолын төлөө санаа зовж байна
Мөн залуу хатанд,
Түүний унтлагын өрөөнд олон хүн ирэв.
Тэд хааны хүслийг тунхаглав -
Тэр болон түүний хүү муу хувьтай,
Бид тогтоолыг чангаар уншиж,
Мөн яг тэр цагт хатан хаан
Тэд намайг хүүтэйгээ хамт торхонд хийж,
Тэд шавар шавхаж, машинаа жолоодов
Тэгээд тэд намайг окиян руу оруулав -
Энэ бол Салтан хаан зарлиг болсон юм.

Торхны эзэлхүүн ямар байх ёстой вэ гэвэл хатан хүү хоёр түүнд багтах уу?

- Дараах ажлуудыг анхаарч үзээрэй

1. Шулуунаар хүрээлэгдсэн муруйн трапецын ординатын тэнхлэгийг тойрон эргэснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол. x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Хариулт: 1163 см 3 .

Парабол трапецийг абсцисса тэнхлэгийг тойруулан эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол y = , x = 4, y = 0.

IV. Шинэ материалыг нэгтгэх

Жишээ 2. Дэлбээ нь х тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол. y = x 2 , y 2 = x.

Функцийн графикуудыг байгуулъя. y = x 2 , y 2 = x. Хуваарь y2 = xхэлбэрт шилжүүлэх y= .

Бидэнд байгаа V = V 1 – V 2Функц бүрийн эзлэхүүнийг тооцоолъё

-Одоо Оросын алдарт инженер, гавьяат академич В.Г.Шуховын загвараар баригдсан Москвагийн Шаболовка дахь радио станцын цамхагийг харцгаая. Энэ нь эргэлтийн гиперболоид хэсгүүдээс бүрдэнэ. Түүнээс гадна тэдгээр нь тус бүр нь зэргэлдээ тойргийг холбосон шулуун металл саваагаар хийгдсэн байдаг (Зураг 8, 9).

- Асуудлыг авч үзье.

Гиперболын нумуудыг эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол Зурагт үзүүлсэн шиг түүний төсөөллийн тэнхлэгийн эргэн тойронд. 8, хаана

шоо нэгж

Бүлгийн даалгавар. Сурагчид даалгавраар сугалаа сугалж, ватман цаасан дээр зураг зурж, бүлгийн төлөөлөгчдийн нэг нь ажлыг хамгаална.

1-р бүлэг.

Цохих! Цохих! Өөр нэг цохилт!
Бөмбөг хаалга руу нисдэг - BALL!
Мөн энэ бол тарвасны бөмбөг юм
Ногоон, дугуй, амттай.
Илүү сайн хараарай - ямар бөмбөг вэ!
Энэ нь тойргоос өөр юу ч биш юм.
Тарвасыг дугуйлан хайчилж ав
Мөн тэдгээрийг амтлаарай.

Хязгаарлагдмал функцийн OX тэнхлэгийг тойрон эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол

Алдаа! Хавчуурга тодорхойлогдоогүй байна.

- Энэ хүн хаана таарч байгааг надад хэлээч?

Байшин. 1 бүлгийн даалгавар. ЦИЛИНДР (слайд) .

"Цилиндр - энэ юу вэ?" - Би ааваасаа асуув.
Аав инээгээд: Дээд талын малгай бол малгай.
Зөв санаатай байхын тулд
Цилиндр бол цагаан тугалга лааз гэж хэлье.
Уурын завины хоолой - цилиндр,
Манай дээвэр дээрх хоолой бас

Бүх хоолой нь цилиндртэй төстэй.
Би ийм жишээ өгсөн -
Миний хайрт калейдоскоп,
Чи түүнээс нүдээ салгаж чадахгүй
Мөн энэ нь цилиндр шиг харагдаж байна.

- Дасгал хийх. Гэрийн даалгавар: функцийн график гаргаж, эзлэхүүнийг тооцоолох.

2-р бүлэг. КОНУСАН (слайд).

Ээж: Тэгээд одоо
Миний түүх конусын тухай байх болно.
Өндөр малгайтай оддыг харагч
Жилийн турш оддыг тоолдог.
CONE - оддыг ажиглагчийн малгай.
Тэр ийм л хүн. Ойлгосон уу? Ингээд л болоо.
Ээж нь ширээний ард зогсож байсан,
Би лонхонд тос асгав.
-Юүлүүр хаана байдаг вэ? Юүлүүр байхгүй.
Үүнийг хай. Хажуу талд бүү зогс.
- Ээж ээ, би хөдлөхгүй.
Конусын талаар илүү ихийг хэлээрэй.
– Юүлүүр нь услах савны конус хэлбэртэй.
Алив, түүнийг надад хурдан олоорой.
Би юүлүүр олдсонгүй
Гэхдээ ээж цүнх хийсэн,
Би цаасан цаасыг хуруугаараа ороов
Тэгээд тэр үүнийг цаасны хавчаараар овжиноор бэхэлсэн.
Газрын тос урсаж байна, ээж баяртай байна,
Конус яг л гарч ирэв.

Дасгал хийх. Абсцисса тэнхлэгийг тойрон эргэснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол

Байшин. 2-р бүлгийн даалгавар. ПИРАМИД(слайд).

Би зургийг харсан. Энэ зурган дээр
Элсэн цөлд ПИРАМИД байдаг.
Пирамид дахь бүх зүйл ер бусын,
Үүнд ямар нэгэн нууцлаг, нууцлаг зүйл байдаг.
Улаан талбай дээрх Спасская цамхаг
Энэ нь хүүхэд, насанд хүрэгчдэд маш сайн танил юм.
Хэрэв та цамхаг руу харвал энэ нь энгийн харагдаж байна.
Дээрээс нь юу байгаа юм бэ? Пирамид!

Дасгал хийх.Гэрийн даалгавар: функцийн графикийг зурж, пирамидын эзэлхүүнийг тооцоолох

– Бид интеграл ашиглан биеийн эзэлхүүний үндсэн томъёонд үндэслэн янз бүрийн биеийн эзэлхүүнийг тооцоолсон.

Энэ нь тодорхой интеграл нь математикийн судалгаанд үндэс суурь болж байгаагийн бас нэг баталгаа юм.

-За одоо жаахан амарцгаая.

Хос олоорой.

Математикийн домино аялгуу тоглодог.

"Миний хайж байсан зам хэзээ ч мартагдахгүй ..."

Судалгааны ажил. Интегралыг эдийн засаг, технологид ашиглах.

Хүчтэй оюутнууд болон математикийн хөлбөмбөгт зориулсан тестүүд.

Математикийн симулятор.

2. Өгөгдсөн функцийн бүх эсрэг деривативуудын олонлогийг нэрлэнэ

A) тодорхойгүй интеграл;

B) функц,

B) ялгах.

Д/З. Эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Тусгал.

Маягт дахь тусгалыг хүлээн авах syncwine(таван мөр).

1-р мөр - сэдвийн нэр (нэг нэр үг).

2-р мөрөнд - сэдвийг хоёр үг, хоёр нэр томъёогоор тайлбарлана.

3-р мөрөнд - энэ сэдвийн хүрээнд хийсэн үйлдлийг гурван үгээр тайлбарлана.

4-р мөр нь тухайн сэдэвт хандах хандлагыг харуулсан дөрвөн үгийн хэллэг юм (бүхэл бүтэн өгүүлбэр).

5-р мөр нь сэдвийн мөн чанарыг давтдаг ижил утгатай үг юм.

Эзлэхүүн.
Тодорхой интеграл, интегралдах функц.
Бид бүтээдэг, эргэдэг, тооцоолдог.
Муруй трапецийг эргүүлэх замаар олж авсан бие (түүний суурийн эргэн тойронд).
Эргэлтийн бие (эзэлхүүний геометрийн бие).

Дүгнэлт (слайд).

Тодорхой интеграл нь практик асуудлыг шийдвэрлэхэд орлуулашгүй хувь нэмэр оруулдаг математикийн судалгаанд тодорхой үндэс суурь болдог.
"Интеграл" сэдэв нь математик ба физик, биологи, эдийн засаг, технологийн хоорондын уялдаа холбоог тодорхой харуулж байна.
Орчин үеийн шинжлэх ухааны хөгжлийг интеграл ашиглахгүйгээр төсөөлөхийн аргагүй юм. Үүнтэй холбогдуулан дунд мэргэжлийн боловсролын хүрээнд үүнийг судалж эхлэх шаардлагатай байна!

Дүгнэлт. (Тайлбарын хамт.)

Энэ амьдрал нэг хором гэж чи хэлэх болно.
Үүнийг үнэлж, түүнээс урам зориг аваарай.
Үүнийг зарцуулах тусам энэ нь өнгөрөх болно.
Бүү март: тэр бол таны бүтээл.